Procas ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 november 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Procas ekvationer är en generalisering av Maxwells ekvationer , designade för att beskriva massiva partiklar med spin 1. Procas ekvationer skrivs vanligtvis som

\partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0

{\displaystyle F^{kl}=\partial ^{k}A^{l}-\partial ^{l}A^{k))

var är den antisymmetriska elektromagnetiska fälttensorn : ${\displaystyle \ F^{ik))$

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

Procas ekvationer kan också representeras som

\partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0

(\partial _{k}\partial ^{k}+m^{2})A^{l}=0

Procas ekvationer är inte gauge-invarianta .

Lagrangisk densitet

Vi betraktar fyrpotentialfältet A μ = (φ/ c , A ), där φ är den elektrostatiska potentialen , A är den magnetiska potentialen . Den lagrangiska densiteten ges enligt följande:

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}(\partial ^{\mu }A^{\nu}-\partial ^{\nu}A^{\ mu })(\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu}A_{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2))}A^{\nu }A_{\nu }.

där c är ljusets hastighet och ħ är den reducerade Planck-konstanten .

Härledning av ekvationen

Euler-Lagrange rörelseekvationen för en sådan lagrangian, även kallad Procas ekvation , har följande form:

\partial _{\mu }(\partial ^{\mu}A^{\nu}-\partial ^{\nu}A^{\mu })+\left({\frac {mc}{ \hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0

vilket motsvarar följande ekvation

\left[\partial _{\mu}\partial ^{\mu}+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\nu }=0

På villkor

\partial _{\mu }A^{\mu }=0

som bara är Lorentz-mätaren . Förutsatt att m = 0, förvandlas ekvationerna till Maxwells ekvationer i vakuum (det vill säga frånvaron av laddningar och strömmar antyds). Proca-ekvationen är nära besläktad med Klein-Gordon-Fock-ekvationen .

I mer bekanta termer är ekvationen:

\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \phi }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi

\Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \phi}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A}

Procas ekvation kan också härledas från gruppteoretiska överväganden som en ekvation som är invariant under Poincaré-transformationer och beskriver vågfunktionen hos en elementarpartikel med massa , spin , positiv energi, fixerad P-paritet. [ett] $m$ $ett$

Anteckningar

↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetrigrupper och elementarpartiklar. - L., Leningrad State University , 1983. - sid. 324

Litteratur

Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantfält. — M.: Nauka, 1980. — 320 sid. (sid. 29, 33).
Ryder L. Kvantfältteori. - M .: Mir, 1987. - 511 s., (s. 86-87).
Itsikson K., Zyuber Zh.-B. Kvantfältteori. Volym 1. - M .: Mir, 1984. - 448 sid. (sid. 166).

Se även

Länkar

Procas ekvation i "Physical Encyclopedia"