Maurer-Cartan form

Maurer-Cartan-formen är en bestämd 1-form på en Lie-grupp G med värden i dess Lie-algebra , som bär grundläggande infinitesimal information om strukturen för denna grupp. Det användes i stor utsträckning av Eli Cartan som huvudkomponenten i hans metod för att flytta riktmärken . Förutom namnet Cartan bär det namnet Ludwig Maurer .

Byggnad

Lie-algebra identifieras med tangentrymden för Lie-gruppen G vid identiteten och betecknas med T e G . Maurer–Cartan-formen ω  är en 1-form globalt definierad på G , vilket är en linjär avbildning av tangentrymden T g G för varje g ∈ G till T e G . Det definieras som translationen av vektorn Tg G under verkan av ett vänsterskifte på gruppen:

Intern konstruktion

Om G är inbäddad i GL( n ) av en matrisvärderad mappning g =( g ij ) , då kan formen ω skrivas explicit som

I denna mening är Maurer-Cartan-formen alltid den vänstra logaritmiska derivatan av g .

Litteratur

• Cartan E. J. Riemannsk geometri i en ortogonal ram . -M.: Moscow State Universitys förlag, [1926-1927] 1960
• Cartan E. Zh Geometry of Riemannian spaces . -M.-L: NKTP USSR:s förlag, [1928] 1936
• Cartan E. Zh. Moving frame-metod, teori om kontinuerliga grupper och generaliserade utrymmen . -M.-L.: Statens förlag för teknisk och teoretisk. litteratur, [1930]1933
• Kartan E. Zh Teorin om ändliga kontinuerliga grupper och differentialgeometri presenterad av den rörliga rammetoden . -M.: MSU förlag, [1930] 1963
• Kartan E. Zh Externa differentialsystem och deras geometriska tillämpningar . -M.: Moscow State Universitys förlag, [1926-1927,1945] 1962
• Cartan E. Zh Geometry of Lie-grupper och symmetriska utrymmen . -M.: förlag IL, 1949