Volymform

En volymform är en högredimensionell differentialform på ett jämnt grenrör (det vill säga en -form på ett -dimensionellt grenrör) som inte försvinner vid någon punkt. $n$ $n$

Volymformen tillåter oss att definiera integralen av en funktion över ett grenrör. Med andra ord, formen på volymen definierar måttet över vilka funktioner kan integreras.

Egenskaper

En slät grenrör tillåter en volymform om och bara om den är orienterbar.
På ett grenrör med volymform kan divergensen för ett vektorfält definieras med hjälp av följande identiteter: $\omega$ $X$ $(\operatörsnamn {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

där betecknar Lie-derivatan med avseende på , är den yttre differentialen av , och är substitutionsoperationen i .

{\mathcal {L}}_{X}

X

d

X\;\lrcorner \;\omega

X

\omega

Exempel

På valfri Lie-grupp erhålls ett naturligt val av volymform från formen vid enhet genom höger (eller vänster) förskjutningar. Sådana former kallas höger- och vänsterinvarianta. Som en konsekvens är varje Lie-grupp orienterbar. Motsvarande mått kallas Haarmåttet .

Ett symplektiskt grenrör av dimension har en naturlig volymform . $(M,\omega )$ $2{\cdot }n$ $\omega ^{{\wedge n}}$

Alla orienterade pseudo-riemannska (inklusive riemannska ) grenrör har en naturlig volymform, som i lokala koordinater kan uttryckas som $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

där är det absoluta värdet av determinanten för representationsmatrisen för den metriska tensorn .

|g|

Volymform

Egenskaper

Exempel

Litteratur