Riemann-von Mangoldt formel

Riemann-von Mangoldt- formeln är ett uttryck som beskriver fördelningen av nollor i Riemanns zeta-funktion ; antalet nollor i zetafunktionen med en imaginär del som är större än 0 och inte överstiger ett givet tal uppfyller följande relation [1] : $T$

N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O( \log {T})

Först gavs av Riemann i hans arbete "Om antalet primtal som inte överstiger ett givet värde" ( 1859 ) , slutligen bevisat av Mangoldt 1905 .

År 1918 härledde den finske matematikern Josef Bäcklund ( Ralf Josef Bäcklund ; 1888–1949) en explicit feluppskattning för alla : $T>2$

\left\vert {N(T)-\left(({\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T} {2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0{,}137\log T+0{,}443\log \log T+4{, }350

Anteckningar

↑ Weisstein .

Litteratur

Edwards HMRiemanns zeta-funktion. - New York - London: Academic Press, 1974. - V. 58. - (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 0-12-232750-0 .
Ivic Aleksandar. Teorin om Hardys Z - funktion. - Cambridge: Cambridge University Press , 2013. - V. 196. - (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-1-107-02883-8 .
Patterson SJ En introduktion till teorin om Riemanns zeta-funktion. - Cambridge: Cambridge University Press , 1988. - V. 14. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-33535-3 .
Weisstein Eric W. Riemann -von Mangoldt Formula . Mathworld .