Taylor-Peano formel

Taylor - Peano formel Låt , vara gränspunkten för uppsättningen och . Om funktionen är differentierbar vid punkten är Taylor-Peano- formeln giltig för alla $f:{\mathbb C}\to {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\in D_{f}$ $f$ $n$ $z_{0}$ $z\in D_{f}$

f(z)=\summa \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(ett)

där ε n (z) är en kontinuerlig funktion i punkten z 0 och ε n ( z 0 ) = 0. Vi tillämpar metoden för matematisk induktion . Om n = 0, så är påståendet uppenbart för ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ). Antag att påståendet i satsen är giltigt efter att ha ersatt n med n − 1 och att funktionen f är n gånger differentierbar i betydelsen Fermat-Lagrange vid punkten z 0. Enligt definitionen finns det en n − 1 Fermat-Lagrange differentierbar funktion φ vid punkten z 0 så att ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

Genom antagande

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

där är en funktion kontinuerlig i punkten z 0 och . Från jämställdhet (2) och (3) får vi: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\summa \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\right)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ n},$

vilket är ekvivalent med formel (1) för . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Litteratur

A.K.Boyarchuk "Funktioner av en komplex variabel: teori och praktik" Referensbok om högre matematik. T.4 M.: Redaktionell URSS, 2001. - 352s.