Jacobi formel

Jacobi- formeln är en formel som relaterar determinanten för en matris som uppfyller en differentialekvation i början av integrationsintervallet med determinanten för en matris i slutet av integrationsintervallet.

Formulering

Låta vara en lösning av ekvationen , där är matriser. Sedan: $X(t)$ ${\dot {X}}=A(t)X$ $X,A$

\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)

Bevis

Det kan bevisas att [1] . I den bevisbara formeln . Funktionen uppfyller alltså villkoret . Därför , där [2] . ${\dot {(\det X)))=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ $y(t)=\det X(t)$ ${\dot {(\ln y)))={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ $c=y(0)=\det X(0)$

Anteckningar

↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 276.
↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 273.

Litteratur

Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .