Formeln för produkten av korang

Korankproduktformeln är en matematisk formel som uttrycker kodimensionen för den uppsättning punkter där kärnan av mappningsderivatan har en given dimension som produkten av koranken för den givna mappningen i förbilden och bilden.

Formulering

Korrekturen för en linjär mappning i förbilden (i bilden) är numret (respektive ), där är rankningen av mappningen . Korangerna är relaterade till kärnans dimension (vi betecknar den med ) med formlerna: och [1] . ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $mr$ $nr$ $r$ $A$ $A$ $i$ $mr=i$ $nr=n-m+i$

Låta vara en smidig kartläggning av släta grenrör och dimensioner och , respektive. Symbolen betecknar dess derivata vid en punkt , det vill säga den linjära mappningen av tangentrymden . $f:M^{m}\to N^{n}$ $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ ${\displaystyle f_{*x))$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$

En punkt hör till mängden om dimensionen på derivatans kärna vid denna punkt är . Uppsättningarna täcker förvisso hela mångfalden , men som regel är inte alla uppsättningar i denna kedja icke-tomma (till exempel om det finns en ojämlikhet , av vilken det, med hänsyn till förhållandet , det följer att , att är, uppsättningen är tom). ${\displaystyle x\in M^{m))$ $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ ${\displaystyle f_{*x))$ $i$ ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m))$ $M^{m}$ $n>m$ $r\leq n<m$ $mr=i$ $i>0$ $\Sigma ^{0}$

Sats. För att kartlägga i allmän position är alla uppsättningar jämna undervarianter i . I det här fallet finns det ett samband $f:M^{m}\to N^{n}$ ${\displaystyle \Sigma ^{i))$ $M^{m}$

m-\dim \,\Sigma ^{i}=(mr)(nr),

var är rankningen av kartläggningen som kallas corrankproduktformeln [1] . $r=mi$ $f_{*x},$

Värdet som beräknas med denna formel kan vara negativt. Det betyder att motsvarande uppsättning är tom. ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i))$ ${\displaystyle \Sigma ^{i))$

Följd. I utrymmet för typmatriser bildar uppsättningen rangmatriser en jämn gren av kodimension [1] . $(m, n)$ $r$ $(mr)(nr)$

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, - Alla upplagor.