Karakterisering (algebra)

En egenskap  är ett numeriskt värde som används i allmän algebra för att beskriva vissa egenskaper hos ringar eller fält .

För en ring är egenskapen det minsta heltal så att likheten gäller för varje element :

,

och om ett sådant nummer inte finns, då .

Om det finns en enhet i ringen , kan egenskapen definieras som det minsta naturliga talet som inte är noll , så att , men om det inte finns något sådant tal, så är egenskapen lika med noll.

Egenskaperna för ringen av heltal , fältet för rationella tal , fältet för reella tal , fältet för komplexa tal är lika med noll. Egenskapen för restringen är . Egenskapen för det finita fältet , där  är ett primtal,  är ett positivt heltal, är lika med .

En trivial ring med ett enda element  är den enda ringen med egenskap .

Om en icke-trivial ring med enhet och inga nolldelare har positiv egenskap , då är det ett primtal. Därför är kännetecknet för ett fält antingen , eller ett primtal . I det första fallet innehåller fältet som ett underfält ett fält som är isomorft till fältet av rationella tal , i det andra fallet innehåller fältet som ett underfält ett fält som är isomorft till fältet av rester . I båda fallen kallas detta underfält ett enkelt fält (innehålls av ).

Egenskapen för ett ändligt fält är alltid positiv, men det faktum att egenskapen för ett fält är positiv betyder inte att fältet är ändligt. Som motexempel kan man nämna fältet för rationella funktioner med koefficienter i och fältets algebraiska stängning .

Om  är en kommutativ ring av prime egenskap , då för alla , . För sådana ringar kan man definiera en Frobenius-endomorfism .

Litteratur