Elementära matristransformationer

Elementära matristransformationer

Elementära matristransformationer är de matristransformationer som bevarar ekvivalensen av matriser. Sålunda ändrar inte elementära transformationer lösningsmängden för systemet av linjära algebraiska ekvationer som denna matris representerar.

Elementära transformationer används i Gauss - metoden för att reducera en matris till en triangulär eller stegvis form .

Definition

Elementära strängtransformationer kallas:

permutation av två valfria rader i matrisen;
multiplikation av valfri rad i matrisen med konstanten , , medan matrisens determinant ökas med k gånger; $k$ $k\neq 0$
tillägg till valfri rad i matrisen för en annan rad, multiplicerat med någon konstant.

I vissa linjära algebrakurser särskiljs inte permutationen av matrisrader som en separat elementär transformation på grund av det faktum att permutationen av två matrisrader kan erhållas genom att multiplicera valfri rad i matrisen med en konstant och addera till valfri rad av matrisen en annan rad multiplicerad med konstanten , . $k$ $k\neq 0$ $k$ $k\neq 0$

Elementära kolumntransformationer definieras på liknande sätt .

Elementära transformationer är reversibla .

Beteckningen indikerar att matrisen kan erhållas genom elementära transformationer (eller vice versa). $A\sim B$ $A$ $B$

Egenskaper

Rangordna invarians under elementära transformationer

Sats (om ranginvarians under elementära transformationer).
Om , då .

A\sim B

\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B

Ekvivalens av SLAE under elementära transformationer

Låt oss kalla elementära transformationer över systemet med linjära algebraiska ekvationer :

permutation av ekvationer;
multiplicera en ekvation med en konstant som inte är noll;
addition av en ekvation till en annan, multiplicerad med någon konstant.

Det vill säga elementära transformationer över dess expanderade matris. Då är följande påstående sant:

Sats (om ekvivalensen av ekvationssystem under elementära transformationer).
Systemet av linjära algebraiska ekvationer som erhålls genom elementära transformationer över det ursprungliga systemet är ekvivalent med det.

Kom ihåg att två system sägs vara likvärdiga om deras lösningsuppsättningar är desamma.

Hitta inversa matriser

Sats (om att hitta den inversa matrisen).
Låt determinanten för matrisen vara icke-noll, låt matrisen definieras av uttrycket . Sedan, med en elementär transformation av matrisens rader till identitetsmatrisen i kompositionen , sker transformationen till samtidigt .

A_{{n\ gånger n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\ gånger 2n))

A

E

B

E

A^{{-1}}

Reduktion av matriser till stegform

Visa artikel: Stegvy efter rader

Låt oss introducera begreppet stegmatriser: En matris har en stegvis form om:

A

Alla nollrader i matrisen är de sista; $A$
För alla rader som inte är noll i matrisen (låt, för att vara bestämda, dess antal vara ), gäller följande: om är det första elementet som inte är noll i raden , då . $A$ $k$ ${\displaystyle a_{kj))$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Då är följande påstående sant:

Sats (om reduktion av matriser till en stegvis form).
Vilken matris som helst genom elementära transformationer endast över rader kan reduceras till en stegvis form.

Relaterade definitioner

Elementär matris. En matris A är elementär om multiplikation av en godtycklig matris B med den leder till elementära radtransformationer i matris B.

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linear Algebra: A Textbook for High Schools . - 6:e uppl., raderad. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 sid.