Hermitisk interpolation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 februari 2016; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hermitisk interpolation är en polynominterpolationsmetod , uppkallad efter den franske matematikern Charles Hermite . Hermitpolynomen är nära besläktade med Newtonpolynomen.

I motsats till Newtons interpolation , konstruerar hermitisk interpolation ett polynom vars värden vid valda punkter är desamma som värdena för den ursprungliga funktionen vid dessa punkter, och alla derivator av polynomet upp till någon ordning m vid de givna punkterna är samma som värdena för funktionens derivator. Detta betyder att n ( m + 1) värden

{\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n -1}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n -1}'),\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{( m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matris}}

måste vara känd, medan Newtonsk interpolation bara behöver de första n värdena. Det resulterande polynomet kan inte ha grad mer än n ( m + 1) − 1, medan den maximala graden av Newtonpolynomet är lika med n − 1. (I det allmänna fallet behöver m inte vara fixerad, dvs. vid vissa punkter värdet av fler derivator än i andra, i vilket fall polynomet kommer att ha graden N − 1, där N är antalet kända värden.)

Användning

Ett enkelt fall

När du använder delade skillnader för att beräkna hermitpolynomet är det första steget att kopiera varje punkt m gånger. (Här betraktar vi det enkla fallet där för alla punkter .) Därför, givet en punkt , och ett värde och en funktion f som vi vill interpolera. Låt oss definiera en ny datauppsättning $m=1$ $n+1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))$ $f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})$ $f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})$

{\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1))

Så att

{\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i))

Låt oss nu definiera en delad skillnadstabell för poängen . Men för vissa delade skillnader ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1))$

z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i })}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}

vad är osäkerhet! I det här fallet ersätter vi denna delade skillnaden med värdet och beräknar de andra på vanligt sätt. $f'(z_{i})$

Allmänt fall

I det allmänna fallet antar vi att derivatorna av funktionen f upp till ordningen k inklusive är kända vid dessa punkter. Då innehåller datamängden k kopior . När du skapar en delad skillnadstabell för kommer samma värden att beräknas som $x_{i}$ ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N))$ $x_{i}$ $j=2,3,\ldots ,k$

{\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!)}}

Till exempel,

f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2))

f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6))

och så vidare.

Exempel

Låt oss överväga en funktion . Genom att beräkna värdena för funktionen och dess två första derivator vid punkter får vi följande data: $f(x)=x^{8}+1$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\))$

x	ƒ ( x )	ƒ '( x )	ƒ ''( x )
−1	2	−8	56
0	ett	0	0
ett	2	åtta	56

Eftersom vi arbetar med två derivator bygger vi en uppsättning . Den delade skillnadstabellen ser då ut så här: ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\))$

{\begin{matrix}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1))=-8&&&&&&&\\z_ {1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})} {1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_ {3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_ {1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac { f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}= 0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}= 0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5} ,z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_ {6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1} }=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''( z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{8})}{1}}=8&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&& \\\end{matris}}

och få ett polynom

{\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+ 1 )^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}( x +1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x + 56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}- 30x ^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^ { 4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6 }+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}

ta koefficienterna för diagonalen för den dividerade skillnadstabellen och multiplicera koefficienten med talet k med , som för att få Newtonpolynomet. $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})$

Hermitiskt interpolationsfel

Låt oss kalla det funna polynomet H och den ursprungliga funktionen f . För poäng definieras felfunktionen som $x\in [x_{0},x_{n}]$

f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_ {i}}

där c är okänd från intervallet , K är det totala antalet givna värden plus ett, och är antalet kända derivator vid varje punkt plus ett. $[x_{0},x_{N}]$ $k_i$ $x_{i}$

Se även

Newtons interpolationsformler