Automorf funktion

En automorf funktion är en funktion som är analytisk i någon domän och tillfredsställer relationen i denna domän , där  är ett element i någon räknebar undergrupp av gruppen linjär-fraktionella transformationer av det komplexa planet.

Historik

Klassen av automorfa funktioner, som generaliserar klassen av elliptiska funktioner , introducerades och studerades av den franske matematikern Henri Poincaré på 1880-talet.

Under hela 1800-talet deltog praktiskt taget alla framstående matematiker i Europa i utvecklingen av teorin om elliptiska funktioner, som visade sig vara extremt användbar för att lösa differentialekvationer . Ändå rättfärdigade dessa funktioner inte riktigt de förhoppningar som ställdes till dem, och många matematiker började fundera på om det var möjligt att utöka klassen av elliptiska funktioner så att de nya funktionerna skulle kunna tillämpas på de ekvationer där elliptiska funktioner är värdelösa.

Poincaré hittade först denna idé i en artikel av Lazar Fuchs , den mest framstående specialisten under dessa år på linjära differentialekvationer ( 1880 ). Under loppet av flera år utvecklade Poincaré Fuchs idé långt och skapade teorin om en ny klass av funktioner, som han, med sedvanlig likgiltighet för prioritetsfrågor för Poincaré, föreslog att kalla fuchsiska funktioner ( franska  les fonctions fuchsiennes ) - även om han hade all anledning att ge denna klass ett eget namn. Fallet slutade med att Felix Klein föreslog namnet "automorfa funktioner", vilket var fixat inom vetenskapen [1] . Poincaré härledde expansionen av dessa funktioner till serier och bevisade additionssatsen. Dessa upptäckter "kan med rätta betraktas som toppen av hela utvecklingen av teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel under 1800-talet" [2] .

När han utvecklade teorin om automorfa funktioner upptäckte Poincaré deras samband med Lobatsjovskijs geometri , vilket gjorde det möjligt för honom att presentera många frågor om teorin om dessa funktioner i geometriskt språk. Han publicerade en visuell modell av Lobachevskys geometri , med vilken han illustrerade material om funktionsteorin.

Efter Poincarés arbete förvandlades elliptiska funktioner från en prioriterad vetenskapsriktning till ett begränsat specialfall av en mer kraftfull allmän teori. På 1900-talet utvidgades Poincares resultat till fallet med funktioner av flera variabler (se till exempel modulära funktioner ). Försök har gjorts att ytterligare generalisera klassen av automorfa funktioner ( automorfa former ).

Applikation

Automorfa funktioner används i stor utsträckning inom många områden inom de exakta vetenskaperna [3] . Särskilt:

• De låter dig lösa alla linjära differentialekvationer med algebraiska koefficienter.
• Möjligheten till uniformering av algebraiska kurvor bevisas , det vill säga deras representation genom automorfa funktioner. Detta är det 22:a Hilbert-problemet , löst av Poincaré 1907 .
• Metoderna för denna teori tillämpas effektivt i algebraisk geometri , teorin om algebraiska grupper, teorin om sorter och även i talteori .

Litteratur

• Golubev VV Envärdiga analytiska funktioner. Automorfa funktioner . Moskva: Fizmatlit, 1961.
• Klein F. föreläser om matematikens utveckling under 1800-talet . Volym I, kapitel 8. M.-L.: GONTI, 1937. 432 sid.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik, i tre volymer. - M . : Nauka, 1978-1987. - T. 2.
• Poincare A. Utvalda verk, i tre volymer. Volym 3. M .: Nauka, 1971-1974.
• Ford L. P., Automorphic functions, transl. från engelska, M.-L., 1936;
• Shimura G. Introduktion till den aritmetiska teorin för automorfa funktioner. M.: Mir, 1973.
• Golubev VV Föreläsningar om analytisk teori för differentialekvationer. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 sid.

Länkar

• Silvestrov VV Automorfa funktioner - en generalisering av periodiska funktioner  // Soros Educational Journal. - 2000. - Nr 3 . - S. 124-127 .

Anteckningar

1. ↑ Poincare A. Utvalda verk i tre volymer, Dekret. op. - T. 3. - S. 690-695.
2. ↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Dekret. op. - T. 2. - S. 247.
3. ↑ Silvestrov V. V. Automorfa funktioner - en generalisering av periodiska funktioner  // Soros Educational Journal. - 2000. - Nr 3 . - S. 124-127 .