Algebraisk kurva

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 oktober 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

En algebraisk kurva , eller en plan algebraisk kurva , är resultatet av att kartlägga uppsättningen nollor i ett polynom med två variabler på ett plan som punkter. Graden av ett givet polynom kallas graden, eller ordningen, av en algebraisk kurva. Sådana kurvor från första till åttonde graden kallas räta linjer , koniska linjer , kuber , kvarts, pentik, sextik, septik, oktik. Till exempel är enhetscirkeln en konisk, en algebraisk kurva av andra graden. Den ges av ekvationen x 2 + y 2 = 1 , där graden av polynomet x 2 + y 2 − 1 [1] är två.

Av många tekniska skäl är det praktiskt att överväga inte bara de verkliga utan också de komplexa rötterna av motsvarande polynom, och även att generalisera definitionen till fallet med ett godtyckligt basfält .

I algebraisk geometri definieras en plan affin algebraisk kurva över ett fält k som uppsättningen av punkter K 2 som är rötter till ett polynom i två variabler med koefficienter i k , där K är den algebraiska stängningen av fältet k . Punkterna i denna kurva, vars alla koordinater ligger i k , kallas k -punkter. Till exempel hör en punkt till enhetscirkeln som betraktas ovan, men tillhör inte dess verkliga del. Polynomet x 2 + y 2 + 1 definierar en algebraisk kurva vars reella del är tom . $(2,{\sqrt {-3}})$

Mer generellt kan man överväga algebraiska kurvor som inte finns i ett plan, utan i ett utrymme med ett stort antal dimensioner eller i ett projektivt utrymme . Det visar sig att många egenskaper hos en algebraisk kurva inte beror på valet av en specifik inbäddning i något utrymme, vilket leder till den allmänna definitionen av en algebraisk kurva: En algebraisk kurva är en algebraisk variation av dimension 1. Denna definition kan vara omformulerad enligt följande: en algebraisk kurva är en algebraisk varietet, alla algebraiska subvarieteter som består av en punkt.

Exempel på algebraiska kurvor

Rationella kurvor

En rationell kurva , även känd som en unikursal kurva , är en kurva som är birationellt likvärdig med en affin linje (eller projektiv linje ); med andra ord en kurva som medger en rationell parametrisering.

Mer specifikt kan en rationell kurva i n -dimensionellt utrymme parametriseras (förutom ett visst antal isolerade "singulära punkter") med n rationella funktioner av en enda parameter t .

Varje konisk sektion över fältet av rationella tal som innehåller minst en rationell punkt är en rationell kurva [2] . Den kan parametriseras genom att rita en rät linje med en godtycklig lutning t genom en rationell punkt och tilldela denna t den andra skärningspunkten för den räta linjen och koniken (det kan inte vara fler än två).

Betrakta till exempel en ellips x 2 + xy + y 2 = 1 med en rationell punkt (−1, 0). Genom att dra en rät linje genom den y = t ( x + 1) , ersätta uttrycket y till x i ekvationen och lösa x , får vi ekvationerna

x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}},

y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,

definiera en rationell parametrisering av ellipsen. Alla punkter på ellipsen kan representeras i denna form, förutom punkten (−1, 0); vi kan tilldela den t = ∞ , det vill säga vi kan parametrisera den projektiva linjens ellips.

Denna rationella parametrisering kan ses som en parametrisering av "ellipsen i projektivt utrymme ", som går över till homogena koordinater , det vill säga ersätter t med T / U , och x , y med X / Z , Y / Z , respektive. Parametriseringen av ellipsen X 2 + XY + Y 2 = Z 2 av den projektiva linjen har följande form:

X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.

Elliptiska kurvor

Rationella kurvor (över ett algebraiskt stängt fält) är exakt algebraiska kurvor av släkte 0 (se nedan ), i denna terminologi är elliptiska kurvor kurvor av släkte 1 med en rationell punkt. Varje sådan kurva kan representeras som en kub utan singulariteter .

En elliptisk kurva bär strukturen av en Abelisk grupp . Summan av tre punkter på en kub är lika med noll om och endast om dessa punkter är kolinjära .

Skärningspunkten mellan två koner är en fjärde ordningens kurva av släkte 1, och därmed en elliptisk kurva, om den innehåller minst en rationell punkt. Annars kan skärningen vara en rationell fjärde ordningens kurva med singulariteter, eller vara nedbrytbar till kurvor av mindre ordning (en kubik och en linje, två koniska, en koniska och två linjer eller fyra linjer).

Relation med funktionsfält

Studiet av algebraiska kurvor kan reduceras till studiet av irreducerbara kurvor (det vill säga de som inte expanderar till föreningen av två mindre kurvor). Till varje sådan kurva kan man associera fältet för rationella funktioner på den; det visar sig att kurvor är birationellt ekvivalenta om och endast om deras funktionsfält är isomorfa. Detta innebär att kategorin algebraiska kurvor och rationella mappningar är dubbel till kategorin endimensionella fält av algebraiska funktioner, det vill säga fält som är algebraiska förlängningar av fältet . $k(x)$

Komplexa kurvor som verkliga ytor

En komplex algebraisk kurva inbäddad i ett affint eller projektivt utrymme har topologisk dimension 2, med andra ord är en yta . I synnerhet är en komplex algebraisk kurva utan singulariteter ett tvådimensionellt orienterbart grenrör .

Det topologiska släktet för denna yta är detsamma som släktet för den algebraiska kurvan (som kan beräknas på algebraiska sätt). Om projektionen av en kurva utan singulariteter på ett plan är en algebraisk kurva av grad d med de enklaste singulariteterna ( vanliga dubbelpunkter ), så har den ursprungliga kurvan genus ( d − 1)( d − 2)/2 − k , där k är antalet av dessa singulariteter.

Studiet av kompakta Riemann-ytor består faktiskt av studiet av komplexa algebraiska kurvor utan singulariteter, betraktade som ytor med ytterligare analytisk struktur. Mer exakt är följande kategorier likvärdiga :

Kategori av projektiva algebraiska kurvor utan singulariteter (med rationella avbildningar som morfismer).
Kategori av kompakta Riemann-ytor och holomorfa funktioner .

Klassificering av funktioner

Singular punkter inkluderar flera typer av punkter där kurvan "korsar sig själv", såväl som olika typer av cusps . Till exempel visar figuren en kurva x 3 − y 2 = 0 med en cusp i origo.

Singular punkter kan klassificeras enligt deras invarianter . Till exempel kan en singulär punkt med delta-invariant δ intuitivt beskrivas som en punkt där δ "självkorsningar" möts på en gång. I fallet med en punkt P på en irreducerbar kurva, kan δ beräknas som längden på modulen , där är den lokala ringen i punkten P och är dess heltalsstängning . Beräkning av deltainvarianterna för alla singulära punkter tillåter oss att beräkna släktet för kurvan med formeln: $\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}/{\mathcal {O}}_{P}$ ${\mathcal {O}}_{P}$ $\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}$

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\summa _{P}\delta _{P},

Andra viktiga invarianter är multipliciteten m av singulariteten (det maximala heltal så att alla derivator av polynomet som definierar kurvan vars ordning inte överstiger m är lika med noll) och Milnor-talet .

Se även

Kategori Algebraiska kurvor

Anteckningar

↑ En ekvivalent transformation utfördes: x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 − 1 = 0 .
↑ Yu. I. Manin. Rationella punkter på algebraiska kurvor. — Advances in Mathematical Sciences, vol. XIX, nr. 6 (120), 1964.

Litteratur

J.-P. Serr . Algebraiska grupper och klassfält. — M .: Mir, 1968. — 285 sid.
John Milnor . Singular punkter av komplexa hyperytor. - M . : Mir, 1971. - 121 sid.
Egbert Brieskorn, Horst Knörrer. Plana algebraiska kurvor. — Birkhauser, 1986.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Riemann Ytor. — Springer, 1980.
W. Fulton . Algebraiska kurvor: en introduktion till algebraisk geometri .
CG Gibson. Elementär geometri av algebraiska kurvor: en grundutbildningsintroduktion. — Cambridge University Press, 1998.
speciella platta kurvor [1] Arkiverad 21 juni 2018 på Wayback Machine (ryska)