Hetero

Den räta linjen är ett av de grundläggande begreppen i euklidisk geometri . I en systematisk presentation av geometri tas räta linjer vanligtvis som ett av de ursprungliga ( odefinierbara ) begreppen [1] , deras egenskaper och samband med andra begrepp (till exempel punkter och plan ) bestäms av geometrins axiom [2] .

Den raka linjen, tillsammans med cirkeln , är en av de äldsta geometriska figurerna. Forntida geometrar ansåg att dessa två kurvor var "perfekta" och kände därför endast igen konstruktioner med en kompass och en rätlinje . Euklid beskrev en linje som "längd utan bredd", som "ligger lika på alla sina punkter" [3] .

Analoger av linjer kan också definieras i vissa typer av icke-euklidiska rum. Om grunden för att konstruera geometri är begreppet avståndet mellan två punkter i rymden, så kan ett rakt linjesegment definieras som den kortaste kurvan som förbinder dessa punkter. Till exempel i Riemannsk geometri spelas rollen av raka linjer av geodetik , som är de kortaste linjerna; på sfären är storcirklarnas bågar de kortaste bågarna [4] .

Egenskaper för en rät linje i euklidisk geometri

Delar av en rät linje som begränsas av två av dess punkter kallas segment .

Det finns oändligt många linjer som kan dras genom vilken punkt som helst.
Genom två icke sammanfallande punkter finns det bara en rak linje.
Två icke sammanfallande räta linjer i planet skär antingen varandra i en enda punkt [5] , eller är parallella (följer av den föregående).
I tredimensionellt utrymme finns det tre alternativ för den relativa positionen för två icke-sammanfallande linjer:
- linjer skär varandra;
- raka linjer är parallella ;
- raka linjer skär varandra .
En rät linje är en första ordningens algebraisk kurva : i ett kartesiskt koordinatsystem definieras en rät linje på ett plan av en ekvation av första graden ( linjär ekvation ).

Ekvationer för en rät linje i ett plan

Allmän ekvation för en rät linje

Den allmänna ekvationen för en rät linje i ett plan i kartesiska koordinater är :

Axe+By+C=0,

där och är godtyckliga konstanter, och konstanterna och är inte lika med noll samtidigt. $A,B$ $C$ $A$ $B$

At , linjen är parallell med axeln , at , den är parallell med axeln . $A=0$ $Oxe$ $B=0$ $Oj$

En vektor med koordinater kallas normalvektor, den är vinkelrät mot linjen. $(A, B)$

Vid går linjen genom koordinaternas ursprung . $C=0$

Ekvationen kan också skrivas om som

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Ekvation för en rät linje med en lutning

Ekvation för en rät linje som skär axeln i en punkt och bildar en vinkel med axelns positiva riktning : $Oj$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Oxe$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi .

Koefficienten kallas linjens lutning . $k$

I denna form är det omöjligt att representera en rät linje parallell med axeln (Ibland i det här fallet sägs det formellt att lutningen "går till oändligheten".) $Åh.$

Ekvation för en rät linje i segment

Ekvation för en rät linje som skär en axel i en punkt och en axel i en punkt : $Oxe$ $(a,\;0)$ $Oj$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

I denna form är det omöjligt att representera en rak linje som går genom origo.

Normalekvationen för en rät linje

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

där är längden av vinkelrät släppt på linjen från origo, och är vinkeln (mätt i positiv riktning) mellan axelns positiva riktning och riktningen för denna vinkel. Om , så passerar linjen genom origo, och vinkeln anger linjens lutningsvinkel. $sid$ $\theta$ $Oxe$ $p=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Härledning av normalekvationen för en rät linje

Låt en rät linje ges sedan och Betrakta dess ort för denna vinkelrät Låt oss anta att vinkeln mellan och axeln är Sedan dess kan vi skriva: Betrakta nu en godtycklig punkt Låt oss rita radievektorn Hitta nu projektionen på vektorn Därför, Detta är normalekvationen för den räta linjen. ■ $L.$ $OP\perp L$ $|\överhögerpil {OP}|=p.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\överhögerpil {e_{p}}|$ $Oxe$ $\theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ $M(x,y).$ $\overrightarrow {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\överhögerpil {e_{p}},\överhögerpil {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Om den räta linjen ges av den allmänna ekvationen, då segmenten och segmenten avskurna av den på axlarna, är vinkelkoefficienten avståndet för den räta linjen från koordinaternas ursprung och uttrycks i termer av koefficienterna , och som följer: $Axe+By+C=0,$ $a$ $b,$ $k,$ $p,$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $A$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

För att undvika osäkerhet, väljs tecknet framför radikalen så att villkoret är uppfyllt . I detta fall, och är riktningen cosinus för den positiva normalen av den räta linjen - vinkelrät sjunkit från origo till den räta linjen. Om då linjen går genom origo och valet av positiv riktning är godtyckligt. $p>0.$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Ekvation för en rät linje som går genom två givna icke-sammanfallande punkter

Om två icke sammanfallande punkter med koordinater och är givna, så ges den räta linjen som går genom dem av ekvationen $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0

eller

{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

eller i allmänhet

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\right)=0.

Parametrisk vektorekvation för en rak linje

Den parametriska vektorekvationen för en rät linje ges av en vektor vars ände ligger på den räta linjen och av den räta linjens riktningsvektor Parametern går genom alla reella värden. ${\vec {r}}_{0},$ ${\vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Parametriska ekvationer för en rät linje

De parametriska ekvationerna för en rät linje kan skrivas som:

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases))

där är en godtycklig parameter, är koordinaterna och riktningsvektorn för den räta linjen. Vart i $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $x$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

Innebörden av parametern liknar parametern i den vektorparametriska ekvationen. $t$

Kanonisk ekvation för en rät linje

Den kanoniska ekvationen erhålls från parametriska ekvationer genom att dividera en ekvation med en annan:

Slutsats

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases))

{\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

var är koordinaterna för både linjens riktningsvektor och koordinaterna för en punkt som hör till linjen. $a_{x},a_{y}$ $x$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Ekvation för en rät linje i polära koordinater

Ekvation för en rät linje i polära koordinater och : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

eller

\rho \cos(\varphi -\theta )=p.

Tangentialekvationen för en rät linje

Tangentialekvationen för en rät linje på ett plan:

\xi x+\eta y=1.

Tal och kallas dess tangentiella , linjära eller Plückerkoordinater . $\xi$ $\eta$

Ekvationer för en rät linje i rymden

Parametrisk vektorekvation för en rät linje i rymden:

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),

där är radievektorn för någon fast punkt som ligger på linjen, är en vektor som inte är noll i linje med denna linje (kallad dess riktningsvektor), är radievektorn för en godtycklig punkt på linjen. ${\vec {r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec a$ ${\vec {r))$

Parametriska ekvationer för en rät linje i rymden:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

var är koordinaterna för någon fast punkt som ligger på linjen; är koordinaterna för vektorn i linje med denna linje. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alfa ,\;\beta ,\;\gamma )$

Den kanoniska ekvationen för en rät linje i rymden:

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

var är koordinaterna för någon fast punkt som ligger på linjen; är koordinaterna för vektorn i linje med denna linje. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alfa ,\;\beta ,\;\gamma )$

Allmän vektorekvation för en rät linje[ förtydliga ] i rymden:

Eftersom en rät linje är skärningspunkten mellan två olika plan , givet av de allmänna ekvationerna :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

och

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

då kan ekvationen för en rät linje ges av ett system av dessa ekvationer:

{\begin{cases}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_ {2})+D_{2}=0.\end{cases}}

Vektorekvation för en rät linje i rymden [6] :196-199 :

Ekvationen för en rät linje i rymden kan skrivas som en vektorprodukt av radievektorn för en godtycklig punkt på denna räta linje och en fast riktande vektor för den räta linjen :

{\vec {r))

\vec a

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

där den fixerade vektorn , ortogonal mot vektorn , kan hittas genom att ersätta radievektorn för någon känd punkt på linjen i denna ekvation. $\vec M$ $\vec a$

Inbördes arrangemang av punkter och linjer på planet

Tre punkter , och ligga på samma linje om och endast om villkoret $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

En punkts avvikelse från en rät linje kan hittas med formeln $(x_1,\;y_1)$ $Axe+By+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

där tecknet före radikalen är motsatt tecknet Modulo avvikelse är lika med avståndet mellan punkten och linjen ; den är positiv om punkten och origo ligger på motsatta sidor av linjen, och negativ om de är på samma sida. $C.$

I rymden, avståndet från en punkt till en rät linje givet av en parametrisk ekvation $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{cases}}

kan hittas som det minsta avståndet från en given punkt till en godtycklig punkt på en rät linje. Koefficienten för denna punkt kan hittas av formeln $t$

t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Inbördes arrangemang av flera raka linjer på ett plan

Två räta linjer givna av ekvationer

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

eller

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

skära vid en punkt

x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

Vinkeln mellan skärande linjer ges av $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma _{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

I det här fallet syftar termen på vinkeln med vilken den första räta linjen (specificerad av parametrarna , , , och ) måste roteras moturs runt skärningspunkten tills den först sammanfaller med den andra räta linjen. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Dessa linjer är parallella om eller , och vinkelräta om eller . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2))}$

Varje linje som är parallell med linjen med ekvationen kan uttryckas med ekvationen. I detta fall kommer avståndet mellan dessa linjer att vara lika med $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Om ekvationen för en rät linje ges som , och ekvationen för en rät linje är parallell med den , kan avståndet beräknas som $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Om tecknet före radikalen är motsatt, kommer det att vara positivt när den andra linjen och origo ligger på motsatta sidor av den första raden. $C_{1},$ $\delta$

För att göra tre raka

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

skära i en punkt eller är parallella med varandra, är det nödvändigt och tillräckligt att villkoret

{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix }}=0.

Om och , Då är linjerna och vinkelräta mot . $A_{2}=-B_{1}$ $B_{2}=A_{1}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Vissa speciella typer av rader

Anteckningar

↑ Coxeter, 1969 , sid. fyra
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 721-722.
↑ Proclus Diadochus. Kommentar till den första boken av Euklids "Beginnings" / Dmitry Pozharsky University. - M. , 2013. - S. 116. - 368 sid.
↑ Norden A.P. En kort kurs i differentialgeometri. - M. : Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 sid.
↑ Faber, Appendix B, sid. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid.

Litteratur

Markushevich AI Anmärkningsvärda kurvor , populära föreläsningar om matematik . - Nummer 4. - Gostekhizdat , 1952 - 32 sidor.
Direkt // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4156780-8

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri