Geodetisk

Geodesisk (även geodesisk linje ) - en kurva av en viss typ, en generalisering av begreppet " rät linje " för krökta utrymmen.

Den specifika definitionen av en geodetisk linje beror på typen av utrymme. Till exempel, på en tvådimensionell yta inbäddad i det euklidiska tredimensionella rummet , är geodetiska linjer linjer vars tillräckligt små bågar är de kortaste vägarna mellan deras ändar på denna yta. På ett plan kommer dessa att vara raka linjer, på en cirkulär cylinder - spiralformade linjer , rätlinjiga generatorer och cirklar , på en sfärbåge av storcirklar .

Geodetiska linjer används aktivt i relativistisk fysik . Så, en testkropp i den allmänna relativitetsteorin rör sig längs den geodetiska linjen av rum-tid . I huvudsak kan den tidsmässiga utvecklingen av alla lagrangiska system betraktas som rörelse längs en geodetisk i ett speciellt utrymme. Hela teorin om mätfält kan representeras på detta sätt .

Differentialgeometri

Förgreningsrör med en affin anslutning

I grenrör med en affin koppling är en geodesik en kurva som uppfyller ekvationen $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.

I koordinatform kan denna ekvation skrivas om med Christoffel-symboler :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

var är koordinaterna för kurvan. $x^{\mu }(t)$

Med andra ord är en kurva en geodetisk om en parallellöverförd vektor längs den, som var tangent till kurvan vid startpunkten, förblir tangent överallt.

Riemannska och pseudo-riemannska grenrör

I riemannska och pseudo-riemannska utrymmen definieras geodetiken som den kritiska kurvan för energiintegralen:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

här är en kurva i rymden, är metriska . (Inom fysiken kallas denna integral vanligtvis för handlingsintegralen .) $\gamma (t)$ $g$

Detta tillstånd motsvarar:

\nabla _{{{\dot \gamma }}}{\dot \gamma }=0

längs hela kurvan, där betecknar Levi-Civita-förbindelsen . $\nabla$

Metrisk geometri

I metriska utrymmen definieras en geodetisk som en lokalt kortaste väg med en enhetlig parametrisering (ofta med en naturlig parameter ).

Enligt Gauss-lemmat definierar denna definition för Riemannska grenrör samma klass av kurvor som den differentialgeometriska definitionen ovan.

Använd i fysik

Geodetiska linjer används aktivt i relativistisk fysik. Till exempel är banan för en fritt fallande oladdad testkropp i den allmänna relativitetsteorin och i allmänhet i de metriska teorierna om gravitation en geodetisk linje av den största egentliga tiden , det vill säga tiden som mäts av klockor som rör sig med kroppen.

Ofta kan en fysikalisk teori som har en verkan eller uttrycks i Hamiltonsk form omformuleras som problemet med att hitta geodetik på någon riemannsk eller pseudo-riemannsk mångfald.

Se även

Litteratur

Grav D. A. Geodetic line // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri. - Vilken upplaga som helst.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Kurs i differentialgeometri och topologi. - Vilken upplaga som helst.
Postnikov M. M. . Variationsteori för geodetik. - Vilken upplaga som helst.
A.V. Chernavsky . Differentialgeometri, 2 kurs .