Metriskt utrymme

Ett metriskt utrymme är en uppsättning där ett avstånd definieras mellan ett par av element .

Definitioner

Det metriska rummet är ett par , där är en mängd, och är en numerisk funktion som definieras på den kartesiska produkten , tar värden i mängden icke-negativa reella tal, och är sådan att $(X,\;d)$ $X$ $d$ $X\ gånger X$

$d(x,y)=0\iff x=y$ ( axiom för identitet ).
$d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetrins axiom ).
$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( triangelaxiom eller triangelolikhet ).

Vart i

uppsättningen kallas den underliggande uppsättningen av det metriska utrymmet. $X$
elementen i mängden kallas punkter i det metriska rummet. $X$
funktionen kallas en metrik . $d$

Anteckningar

Av axiomen följer att avståndsfunktionen är icke-negativ, eftersom $0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .
Om vi representerar triangeln olikhet som $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ för alla , och $x$ $y$ $z$

då följer symmetriaxiomet av identitetsaxiomet och triangelolikheten.

Dessa förhållanden uttrycker intuitiva föreställningar om begreppet avstånd och kallas därför avståndsaxiom . [1] Till exempel att avståndet mellan olika punkter är positivt och avståndet från till är detsamma som avståndet från till . Triangelolikheten innebär att avståndet från till genom inte är mindre än rakt från till . $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $z$ $y$ $x$ $z$

Notation

Vanligtvis betecknas avståndet mellan punkter och i metriskt utrymme med eller . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$ $\rho (x,y)$

I metrisk geometri accepteras beteckningen eller , om det är nödvändigt att betona att vi talar om . Symbolerna och används också (trots att uttrycket för poäng och inte är meningsfullt). $|xy|$ $|xy|_{M}$ $M$ $|xy|$ $|xy|_{M}$ $xy$ $x$ $y$
I klassisk geometri är beteckningarna eller accepterade (punkter betecknas vanligtvis med latinska versaler). $XY$ $|XY|$

Relaterade definitioner

En bijektion mellan olika metriska utrymmen och som bevarar avstånd kallas isometri ; $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$
- I det här fallet kallas mellanrummen och
isometriska . $(X,d_{X})$ $(Y,d_{Y})$

Om , och för , då säger vi att det konvergerar till : [2] .

x_{n}\in X

x\i X

d(x_{n},x)\to 0

n\till\infty

{\displaystyle x_{n))

x

x_{n}\to x

Om en delmängd av mängden , då, med tanke på begränsningen av metriska till mängden , kan vi få ett metriskt utrymme , som kallas ett underutrymme av utrymmet .

M

X

{\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M))

d_{X}

M

(M,d_{M})

(X,d)

Ett metriskt utrymme kallas komplett om någon fundamental sekvens i det konvergerar till något element i detta utrymme.

En metrisk på kallas intern om två punkter och in kan kopplas samman med en kurva med en längd godtyckligt nära . $d$ $M$ $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
- Ett utrymme kallas geodetisk om två punkter och in kan kopplas samman med en kurva med längden lika med . $x$ $y$ $M$ $d(x,y)$
Varje metriskt utrymme har en naturlig topologi , som är baserad på en uppsättning öppna bollar , det vill säga uppsättningar av följande typ:

B(x;r)=\{y\in M\midd d(x,y)<r\},

var är en punkt i och är ett positivt reellt tal som kallas bollens radie. Med andra ord, en uppsättning är öppen om den tillsammans med någon av dess punkter innehåller en öppen boll centrerad vid den punkten.

x

M

r

O

Två mått som definierar samma topologi sägs vara likvärdiga .
Ett topologiskt utrymme som kan erhållas på detta sätt sägs vara mätbart .
Avståndet från en punkt till en delmängd i bestäms av formeln: $d(x,S)$ $x$ $S$ $M$

{\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\))

. Då endast om hör till nedläggningen .

d(x,S)=0

x

S

Exempel

Diskret mått :, if, ochi alla andra fall. $d(x,y)=0$ $x=y$ $d(x,y)=1$
De reella talen med en avståndsfunktion och det euklidiska rummet är kompletta metriska rum. $d(x,\;y)=|yx|$
Avstånd till stadskvarter : , där , är vektorer. $d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\summa _{i=1}^{n}|p_{i }-q_{i}|$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$
Låt vara utrymmet för kontinuerliga och avgränsade avbildningar från ett topologiskt utrymme till ett metriskt utrymme . Avståndet mellan två mappningar och från detta utrymme definieras som $F(X,Y)$ $X$ $Y$ $f_1$ $f_{2}$ $d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\kolon x\i X \}$ .

Konvergensen av mappningar med avseende på detta mått är ekvivalent med deras enhetliga konvergens på hela utrymmet .

X

I det speciella fallet när är ett kompakt utrymme och är en reell linje, erhåller man utrymmet för alla kontinuerliga funktioner på ett utrymme med metriken för enhetlig konvergens.

X

Y

C(X)

X

Låt , , vara utrymmen för funktioner på intervallet , respektive Lebesgue-integrerbar, Riemann-integrerbar och kontinuerlig. I dem kan avståndet bestämmas med formeln: $L([a,b])$ $R([a,b])$ $C([a,b])$ $[a,b]$ $d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$

För att denna funktion ska bli ett mått, i de två första utrymmena är det nödvändigt att identifiera funktioner som skiljer sig åt på en uppsättning mått 0 . Annars kommer denna funktion bara att vara en semimetrisk. (I utrymmet för funktioner som är kontinuerliga på ett intervall, sammanfaller funktioner som skiljer sig åt på en uppsättning av måtten 0 ändå.)

I utrymmet av gånger kontinuerligt differentierbara funktioner introduceras metriken med formeln: $k$ $C^{k}([a,b])$ $d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{ 1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

var är måttet för enhetlig konvergens på (se ovan).

d_{0}

C([a,b])

Varje normerat utrymme kan omvandlas till ett metriskt utrymme genom att definiera avståndsfunktionen $d(x,y)=\|yx\|$ .
- Finita-dimensionella utrymmen av denna typ kallas Minkowski-utrymmen ;
- I fallet med en dimension lika med två - Minkowski-planet .

Om är en sekvens av seminormer som definierar ett ( lokalt konvext ) topologiskt vektorrum , då ${\displaystyle (p_{n})_{n\in N))$ $E$

d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}{\frac {p_{n}(xy)}{ 1+p_{n}(xy)}}

är ett mått som definierar samma topologi . (Kan ersättas av vilken som helst summerbar sekvens av strikt positiva tal .)

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n))))

(en})

Varje anslutet Riemann-grenrör kan omvandlas till ett metriskt utrymme genom att definiera avståndet som det minsta infimum av längderna av banor som förbinder ett par punkter. $M$

Uppsättningen av hörn i en sammankopplad graf kan omvandlas till ett metriskt utrymme genom att definiera avståndet som det minsta antalet kanter i en bana som förbinder hörnen. Mer generellt, om varje kant på en graf tilldelas ett positivt tal (kantlängd), kan avståndet mellan hörn definieras som den minsta summan av kantlängder längs vilken bana som helst från en vertex till en annan. $G$
- Ett specialfall av det tidigare exemplet är den så kallade franska järnvägsmetriken , som ofta nämns som ett exempel på ett mått som inte genereras av normen .
Grafredigeringsavståndet definierar avståndsfunktionen mellan grafer .

Hamming distans i kodningsteori.
Inline-mått , såsom Levenshtein-avstånd och andra textredigeringsavstånd bestämmer avståndet ovanför linjerna .

Uppsättningen av kompakta delmängder av vilket metriskt utrymme som helst kan göras till ett metriskt utrymme genom att definiera avståndet med den så kallade Hausdorff-metriken . I detta mått är två delmängder nära varandra om det för någon punkt i en uppsättning är möjligt att hitta en slutpunkt i den andra delmängden. Här är den exakta definitionen: $K(M)$ $M$

D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x, y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{matris}}\right.\right\}

Uppsättningen av alla kompakta metriska utrymmen (upp till isometri ) kan omvandlas till ett metriskt utrymme genom att definiera avståndet med den så kallade Gromov-Hausdorff-metriken .
Waserstein-måttet definierar avståndet mellan två sannolikhetsfördelningar .

Konstruktioner

Den kartesiska produkten av metriska utrymmen kan förses med strukturen av ett metriskt utrymme på många sätt, till exempel:
1. $d_{X\ gånger Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2} )+d_{Y}(y_{1},y_{2});$
2. $d_{X\ gånger Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1}, x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$
3. $d_{X\ gånger Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1}, x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$

Dessa mätvärden är likvärdiga med varandra.

Egenskaper

Ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om det är möjligt att välja en konvergent delföljd från valfri sekvens av punkter (sekventiell kompakthet).
Ett metriskt utrymme kanske inte har en räknebar bas , men det uppfyller alltid det första axiomet för räknebarhet - det har en räknebar bas vid varje punkt.
- Dessutom har varje kompakt set i ett metriskt utrymme en räknebar grannbas.
- Dessutom finns det i varje metriskt utrymme en sådan bas att varje punkt i utrymmet endast tillhör en räknebar uppsättning av dess element - en punkträknebar bas (men denna egenskap är svagare än metriserbarhet även i närvaro av parakompakthet och Hausdorffness ).
metriska utrymmen med korta mappningar bildar en kategori , vanligtvis betecknad Met .

Variationer och generaliseringar

För en given uppsättning kallas en funktion en pseudometrisk eller semimetrisk om för några punkter från den uppfyller följande villkor: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $M$ $x,\;y,\;z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetri );
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( triangel ojämlikhet ).

Det vill säga, till skillnad från metriken kan olika punkter i vara på noll avstånd. Pseudometrin definierar naturligtvis ett mått på kvotutrymmet , där .

M

{\displaystyle M/{\sim ))

x\sim y\iff d(x,y)=0

För en given uppsättning kallas en funktion en kvasi -metrisk om för några punkter , , från den uppfyller följande villkor: $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ $x$ $y$ $z$ $M$
1. $d(x,x)=0$ ;
2. $d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$ ( kvasi-symmetri );
3. $d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (generaliserad triangelolikhet).
Ett mått på ett utrymme kallas ultrametriskt om det uppfyller den starka triangelolikheten : För alla och i . $x$ $y$ $z$ $M$ $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Ibland är det bekvämt att överväga -metrics , det vill säga mått med värden . För vilken -metrik som helst kan man konstruera en finit metrik som definierar samma topologi. Till exempel, $\infty$ $[0;\infty ]$ $\infty$ $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)))$ eller $d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$

Dessutom, för vilken punkt som helst i ett sådant utrymme, bildar uppsättningen punkter som ligger på ett ändligt avstånd från den ett vanligt metriskt utrymme, som kallas den metriska komponenten . I synnerhet kan alla utrymmen med -metrisk betraktas som en uppsättning vanliga metriska utrymmen och avståndet mellan valfritt par av punkter i olika utrymmen kan definieras som .

x

x

\infty

\infty

Ibland definieras en kvasimetrisk som en funktion som uppfyller alla axiomen för en metrik, med eventuellt undantag för symmetri [3] [4] . Namnet på denna generalisering är inte helt klart [5] . Smith [4] kallar dem "semimetrics" i sin bok. Samma term används ofta även för två andra generaliseringar av mått.
1. $d(x,y)\geqslant 0$ ( positivitet )
2. $d(x,y)=0\iff x=y$ ( positiv bestämdhet )
3. d ( x , y )= d ( y , x )( symmetri överstruken)
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ( triangelolikhet )

Exempel på kvasimetrik finns i verkligheten. Till exempel, givet en uppsättning bergsbyar, bildar gångtiden mellan elementen en kvasimetrisk, eftersom det tar längre tid att gå upp än att gå ner. Ett annat exempel är topologin för stadskvarter som har enkelriktade gator, där vägen från punkt till punkt består av en annan uppsättning gator jämfört med vägen från till .

X

X

A

B

B

A

I metametri gäller alla metriska axiom, förutom att avståndet mellan identiska punkter inte nödvändigtvis är noll. Med andra ord, axiomen för metametri är:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. följer av (men inte vice versa.) $d(x,y)=0$ $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Metametri visas i studien av Gromov hyperboliska metriska utrymmen och deras gränser. Den visuella metametriska på ett sådant utrymme uppfyller likheten för punkter på gränsen, men är i övrigt ungefär lika med avståndet från till gränsen. Metametri definierades först av Jussi Väisälä [6] .

d(x,x)=0

x

d(x,x)

x

Försvagningen av de tre sista axiomen leder till begreppet en premetrisk , det vill säga en funktion som uppfyller villkoren:
1. $d(x,y)\geqslant 0$
2. $d(x,x)=0$

Termen har inte slagit sig ner, ibland används den för att generalisera andra mått, såsom pseudo-semimetri [7] eller pseudometri [8] . I ryskspråkig litteratur (och i översättningar från ryska) förekommer denna term ibland som "prametrisk" [9] [10] . Varje premetrisk leder till en topologi på följande sätt. För en positiv reell definieras en -boll centrerad vid en punkt som

r

r

sid

B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}

. En uppsättning kallas öppen om det för någon punkt i uppsättningen finns en -boll centrerad på som finns i uppsättningen. Varje premetriskt utrymme är ett topologiskt utrymme och i själva verket ett sekventiellt utrymme . I allmänhet behöver -bollarna i sig inte vara öppna uppsättningar enligt denna topologi. När det gäller mått, definieras avståndet mellan två uppsättningar och som

sid

r

sid

r

A

B

d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)

. Detta definierar ett premetriskt värde på det premetriska utrymmets booleska värde. Om vi börjar med ett (pseudo-semi-)metriskt utrymme får vi en pseudo-semi-metrisk, det vill säga en symmetrisk premetrisk. Varje premetrisk leder till förslutningsoperatören :

\operatörsnamn {cl}

{\displaystyle \operatörsnamn {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\))

Pseudo- , kvasi- och semi- prefixen kan kombineras, till exempel försvagar det pseudo -kvasimetriska (ibland kallat hemimetriskt ) både det omöjliga axiomet och symmetriaxiomet, och är helt enkelt en premetrisk som uppfyller triangelolikheten. För pseudokasimetriska utrymmen utgör öppna -bollar en bas för öppna uppsättningar. Det enklaste exemplet på ett pseudokasimetriskt utrymme är en mängd med en premetrisk som ges av en funktion som och . Det associerade topologiska utrymmet är Sierpinski - utrymmet . $r$ $\{0,1\}$ $d$ $d(0,1)=1$ $d(1,0)=0$

Uppsättningar utrustade med utökad pseudokvasimetri studerades av William Lover som "generaliserade metriska utrymmen" [11] [12] . Ur en kategorisk synvinkel presterar utökade pseudometriska utrymmen och utökade pseudokasimetriska utrymmen, tillsammans med deras motsvarande icke-expanderande mappningar , bäst på kategorier av metriska utrymmen. Man kan ta godtyckliga produkter och samprodukter och bilda ett kvotobjekt med en given kategori. Om vi utelämnar ordet "extended" kan vi bara ta ändliga produkter och biprodukter. Om "pseudo" utelämnas kan faktorobjekt inte erhållas. Approach spaces är en generalisering av metriska utrymmen som tar hänsyn till dessa goda kategoriska egenskaper.

Ett linjärt utrymme kallas ett linjärt metriskt utrymme om avståndet mellan dess element anges i det och de algebraiska operationerna är kontinuerliga i dess metriska, d.v.s. [2] : $V(F)$
1. $x_{n}\to x,y_{n}\to y\Högerpil x_{n}+y_{n}\to x+y$
2. $x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$
- Exempel: Det linjära utrymmet för alla komplexa sekvenser kan omvandlas till ett linjärt metriskt utrymme genom att införa avståndet mellan dess element med hjälp av formeln: $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i))}{\frac {|x_{i}-y_{i }|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$

Ett hypermetriskt utrymme är ett metriskt utrymme där hypermetriska ojämlikheter gäller. Det är, $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$

för alla punkter och heltal så att . [13]

x_1,\dots,x_n

{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))

\sum b_{i}=1

Observera att för och , blir den hypermetriska ojämlikheten den vanliga triangelolikheten $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$

|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.

Ett exempel på ett hypermetriskt utrymme: -mellanrum . $\ell _{1}$

Historik

Maurice Fréchet introducerade först begreppet ett metriskt rum [14] i samband med övervägandet av funktionsrum.

Anteckningar

↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analys. II vol. - M., Higher School , 1970. - sid. 296
↑ 1 2 Kerin S. G. Funktionsanalys. - M., Nauka , 1972. - sid. 22-24
↑ Steen, Seebach, 1995 .
↑ 12 Smyth , 1987 , sid. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987 .
↑ Väisälä, 2005 , sid. 187–231.
↑ Buldygin, Kozachenko, 1998 .
↑ Helemsky, 2004 .
↑ Arkhangelsky, Fedorchuk, 1988 , sid. trettio.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995 .
↑ Lawvere, 2002 , sid. 1–37.
↑ Vickers, 2005 , sid. 328–356.
↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1906. - 22. - s. 1-74.

Litteratur

Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. En kurs i metrisk geometri. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Vasiliev N. Metriska utrymmen . — Kvantum . - 1990. - Nr 1.
Vasiliev N. Metriska utrymmen . — Kvantum . - 1970. - Nr 10.
Skvortsov V. A. Exempel på metriska utrymmen // Mathematical Education Library Arkiverad 12 januari 2014 på Wayback Machine . - 2001. - Nummer 9.
Schreider Yu. A. Vad är avstånd? // " Populära föreläsningar om matematik ". - M . : Fizmatgiz, 1963 - Nummer 38. - 76 sid.
Lawvere, F. William (2002), Metric spaces, generalized logic, and closed categories , Reprints in Theory and Applications of Categories (nr. 1): 1–37 , < http://tac.mta.ca/tac/reprints /articles/1/tr1.pdf > ; omtryckt med tillagd kommentar från Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories , Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano T. 43: 135–166 (1974) , DOI 10.1007/BF4429
Ruben Aldrovandi, JG Pereira. En introduktion till geometrisk fysik ] . - Singapore: World Scientific, 1995. - 699 sid. — ISBN 9810222327 . — ISBN 9789810222321 .
Rolewicz, Stefan (1987), Funktionsanalys och kontrollteori: linjära system , Springer , ISBN 90-277-2186-6
Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciliing domäner med metriska utrymmen , i Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics , vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, sid. 236–253 , DOI 10.1007/3-540-19020-1_12
Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology , Dover , ISBN 978-0-486-68735-3
Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces , Expositiones Mathematicae vol. 23 (3): 187–231, doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 , < http://www.helsinki.fi/~jvaisala/ grobok.pdf >
Vickers, Steven (2005), Localic completion of generalized metric spaces, I , Theory and Applications of Categories vol. 14 (15): 328–356 , < https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14 /15/14-15abs.html > Arkiverad 26 april 2021 på Wayback Machine
Arkhangelsky A. V. , Fedorchuk V. V. Resultat av vetenskap och teknik. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. Volym 17. - VINITI , 1988. - 232 sid.
Buldygin VV, Kozachenko Yu. V. Metriska egenskaper hos slumpvariabler och processer. - K. : TViMS, 1998. - 290 sid.
Helemsky A. Ya Föreläsningar om funktionsanalys . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (ryska)

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Metric space , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Fjärran och nära - flera exempel på distansfunktioner vid cut-the-knot .