Hyperbolicitet i betydelsen Gromov

Hyperbolicitet i betydelsen Gromov eller -hyperbolicitet är en global egenskap hos ett metriskt utrymme , grovt sett liknar krökningens negativitet; i synnerhet är Lobatsjovskijrymden hyperbolisk i Gromovs mening. $\delta$

Hyperbolicitet i betydelsen Gromov tillämpas huvudsakligen i geometrisk gruppteori . Det ger bekväm geometrisk tolkning för avbokningsgrupper

Definition

Ett mellanslag är -hyperboliskt om för några punkter $X$ $\delta$ $x,y,z\in X$

(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,

där betecknar produkten av Gromov : $(x,y)_{p}$

(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|xy|_{X}+|xz|_{X}-|yz|_{X }{\big )}.

Den sista ojämlikheten motsvarar

|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+|qx |_{X}\}+2\cdot \delta

för några poäng . $p,q,x,y\in X$

Det finns många andra definitioner (ibland varierande flera gånger). Till exempel följande: om rymden är geodetisk , då är detta villkor ekvivalent med det faktum att för alla punkter x, y, z i rymden, ligger segmentet av geodetiska [xy] i -grannskapet av unionen av [xz] och [yz]. Med andra ord, på den kortaste [xy] finns det en punkt t så att [xt] ligger i -grannskapet till [xz], och [ty] ligger i -grannskapet till [zy]. $\delta$ $X$ $\delta$ $\delta$ $\delta$

Egenskaper

Hyperbolicitet är en invariant av kvasi-isometriska transformationer. På grund av detta beror gruppens hyperbolicitet inte på valet av det system av generatorer som används för att specificera vokabulärmetriken .
Om ett blanksteg innehåller en isometrisk kopia kan det inte vara hyperboliskt. I synnerhet är den kartesiska produkten nästan aldrig $\mathbb {R} ^{2}$ [ förtydliga ] kan inte vara hyperbolisk.
Det injektiva skrovet i ett -hyperboliskt utrymme är -hyperboliskt. [ett] $\delta$ $\delta$
- I synnerhet är varje -hyperboliskt utrymme isometriskt till en delmängd i ett geodesiskt -hyperboliskt utrymme. $\delta$ $\delta$

Exempel

Varje kompakt utrymme är hyperboliskt.
Vilket träd som helst är ett 0-hyperboliskt mellanslag.
Lobachevsky-planet är hyperboliskt i Gromovs mening. Om man antar att krökningen är lika med Lobachevsky-planet är -hyperbolisk (i betydelsen av fyrpunktsdefinitionen). $-ett$ $\ln(2)$
- Dessutom är vilket utrymme som helst hyperboliskt. $\mathrm {CAT} (-1)$ $\ln(2)$

Anteckningar

↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Metrisk stabilitet hos träd och snäva spännvidder // Arch . Matematik. (Basel). - 2013. - Vol. 101 , nr. 1 . — S. 91–100 .

Länkar

P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliska grupper enligt Mikhail Gromov

Mikhail Gromov, Hyperboliska grupper. Uppsatser i gruppteori, 75-263, matte. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.