Hyperbolisk grupp

En hyperbolisk grupp  är en finitely genererad grupp vars Cayley-graf , som ett metriskt utrymme, är Gromov hyperbolisk .

Definition

På en ändligt genererad grupp med utvalda generatorer finns en naturlig metrisk- ordbok -metrik . En grupp kallas hyperbolisk om den, utrustad med detta mått, visar sig vara hyperbolisk som ett metriskt utrymme. Eftersom när det valda systemet av generatorer ersätts ändras metriken kvasi-isometriskt , medan hyperboliciteten i det metriska rummet bevaras, visar sig konceptet vara oberoende av valet av generatorsystemet.

Exempel

• Eftersom hyperbolicitet i en viss mening är "likheten" mellan egenskaperna hos ett metriskt utrymme med ett träd, är en fri grupp ( vars Cayley-graf är ett träd) med vilket ändligt antal generatorer som helst hyperbolisk.
• Gruppen PSL(2,Z) är hyperbolisk.
• En ändlig grupp är hyperbolisk.

• En fri Abelisk grupp med två generatorer är inte hyperbolisk.
  • Dessutom är varje grupp som innehåller en isomorf undergrupp inte hyperbolisk. [1] [2]
• Baumslag-Solitaire-gruppen B ( m , n ), liksom alla grupper som innehåller B ( m , n ) som en undergrupp, är inte hyperbolisk.

Egenskaper

• Hyperbolicitet bevaras vid övergång till en undergrupp av finita index.
• Varje hyperbolisk grupp presenteras ändligt: ​​den ges av ett ändligt antal generatorer och ett ändligt antal relationer. (Som en konsekvens är hyperboliska grupper - till skillnad från alla grupper i allmänhet - bara ett antal.)
• Hyperbolicitet är ekvivalent med en linjär isoperimetrisk olikhet : ett trivialt ord, skrivet som en produkt av N generatorer, representeras som en produkt av CN-konjugat till de grundläggande relationerna (med en viss kontroll på längden på konjugerande produkter).

Anteckningar

1. ↑ Bridson, Haefliger, 1999 , kapitel III.Γ, konsekvens 3.10.
2. ↑ Ghys, de la Harpe, 1990 , Ch. 8, Th. 37.

Litteratur

• P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliska grupper enligt Mikhail Gromov
• Bridson, Martin R. Metriska utrymmen av icke-positiv krökning / Martin R. Bridson, André Haefliger . - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - Vol. 319. - ISBN 3-540-64324-9 . - doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 .
• Mikhail Gromov, Hyperboliska grupper. Uppsatser i gruppteori, 75-263, matte. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Kanoniska representanter och ekvationer i hyperboliska grupper. lager. Matematik. 120 (1995), nr. 3, 489-512.
• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov: [ fr. ] . - Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1990. - Vol. 83. - ISBN 0-8176-3508-4 . - doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8 .