Baumslag Group - Solitaire

Baumslag-Solitaire- gruppen är en grupp med två generatorer och en relation $a$ $b$

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

Vanligtvis betecknas denna grupp vanligtvis . $BS(m,n)$

Exempel och egenskaper

$BS(1,1)$ är en gratis abelisk grupp med två generatorer,
$BS(1,-1)$ grundläggande grupp av Klein-flaskan
$BS(1,n)$ är isomorf till en undergrupp av gruppen affina transformationer av den verkliga linjen som genereras av mappningarna och . $n>1$ $a:x\to nx$ $b:x\to x+1$
Gruppen (tillsammans med andra grupper för vilka uppsättningarna av primtalsdelare för m och n inte sammanfaller) är det mest kända exemplet på en icke -hopfiansk grupp [1] . En epimorfism är nämligen inte en automorfism . $BS(2,3)$ $BS(m,n)$ $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ $BS(2,3)$
Gruppen tillåter en linjär representation och . $BS(n,m)$ ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$ ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$
- Denna representation är inte effektiv , dvs olika element i gruppen kan motsvara samma linjära operator.
En grupp är resterande ändlig om och endast om , , eller [2] $BS(m,n)$ $|m|=1$ $|n|=1$ $|m|=|n|$

↑ DJ Collins (2001), " Baumslag-Solitar group Archived June 26, 2010 at the Wayback Machine ", i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups

DJ Collins (2001), " Baumslag-Solitar group Archived June 26, 2010 at the Wayback Machine ", i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag och Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Archived 29 November 2015 at the Wayback Machine , Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199-201. MR : 0142635