Epimorfism

En epimorfism i en kategori är en morfism som varje jämlikhet innebär (med andra ord, på kan avbrytas från höger). $m:A\till B$ $f\cirkel m=h\cirkel m$ $f=h$ $m$

Epimorfismer är en kategorisk analog till begreppet en surjektiv funktion , men de är inte samma sak. Dual till begreppet epimorfism är begreppet monomorfism ; En epimorfism som också är en monomorfism kallas bimorfism .

Exempel

Varje morfism i en viss kategori som en surjektiv funktion motsvarar är en epimorfism. Till exempel en surjektiv homomorfism av grupper eller grafer . I många kategorier är det omvända också sant. Detta gäller till exempel i kategorierna uppsättningar, grupper, abelska grupper , vektorrum , högra moduler och topologiska rum. Men, till exempel, i kategorin ringar , är en inbäddning en icke-surjektiv epimorfism (och dessutom en bimorfism som inte är en isomorfism ). $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$

Egenskaper

Varje morfism som har en rätt invers är en epimorfism. Faktum är att om det finns en morfism sådan att , då är det lätt att kontrollera att det är en epimorfism genom att multiplicera jämställdheten med till höger. Sammansättningen av två epimorfismer är återigen en epimorfism. Om sammansättningen av två morfismer är en epimorfism, måste det vara en epimorfism. $j:Y\to X$ $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ $m$ $f\cirkel m=h\cirkel m$ $j$ $m\circ j$ $m$

Liksom många begrepp inom kategoriteorin, är epimorfism bevarad under kategoriekvivalens , är en epimorfism i en kategori om och bara om det är en epimorfism i en annan. $m$

Definitionen av en epimorfism kan omformuleras på följande sätt: - en epimorfism om och endast om den inducerade kartläggningen: $m:X\to Y$

{\begin{matrix}\operatörsnamn {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatörsnamn {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix))

injektiv för alla . $Z$

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .