Injektion (matematik)

Injektion ( injektiv mappning ) i matematik är en mappning av en mängd till en mängd ( ), där olika element i mängden översätts till olika element i mängden , det vill säga om två bilder sammanfaller under mappningen, då sammanfaller förbilderna : . $f$ $X$ $Y$ $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Högerpil x_{1}=x_{2}$

En injektion kallas också en inbäddning , eller en en-till-en-mappning (till skillnad från en bijektion , som är en-till-en ). Till skillnad från surjection , som sägs mappa en uppsättning till en annan, är en liknande fras om injektion formulerad som en kartläggning till . $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$

En injektion kan också definieras som en mappning för vilken det finns en vänsterinvers , det vill säga injektivt, om det finns sådan att sammansättningen . $f\kolon X\till Y$ $g\kolon Y\till X$ $g\circ f=\operatörsnamn{id}_X$

Begreppet injektion (tillsammans med surjektion och bijektion ) introducerades i Bourbakis verk och blev utbredd i nästan alla grenar av matematiken.

Exempel

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( naturlig logaritm ) - injektiv och surjektiv (här - uppsättningen positiva tal ). $\mathbb {R} _{>0}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — injektivt (här — uppsättningen av icke-negativa tal ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — är inte injektiv, eftersom . $f(-2)=f(2)=4$

Applikation

Ett av de tillämpade exemplen på tillämpningen av begreppet injektion är organiseringen av en en-till-en-relation mellan enheter i en relationsdatamodell .
Den idealiska hashfunktionen är injektiv.

Generaliseringar

En generalisering av begreppet injektion i kategoriteorin är begreppet monomorfism . I många kategorier, men inte i alla, är dessa begrepp likvärdiga.

Litteratur

N.K. Vereshchagin, A. Shen. Början av mängdlära // Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer . (inte tillgänglig länk)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematisk logik: Lärobok. - 3:a, stereotyp. ed. - St Petersburg. : Lan, 2004. - 336 sid.