Isomorfi


Ett exempel på två isomorfa grafer. Isomorfism associerar hörn i en graf med hörn i en annan graf av samma färg: två hörn är förbundna med en kant i en graf om och endast om hörn av samma färger är förbundna med en kant i en annan graf.

Isomorfism (från andra grekiska ἴσος - lika, identisk, liknande och μορφή - form) - förhållandet mellan matematiska objekt, som uttrycker allmänheten i deras struktur; används i olika grenar av matematiken och i var och en av dem bestäms beroende på de strukturella egenskaperna hos de föremål som studeras. Vanligtvis definieras isomorfism för uppsättningar som har någon struktur , till exempel för grupper , ringar , linjära utrymmen ; i det här fallet definieras det som en inverterbar mappning ( bijektion ) mellan två uppsättningar med en struktur som bevarar den strukturen, d.v.s. visar att objekten är "liknande konstruerade" i betydelsen av den strukturen. Om det finns en isomorfism mellan objekt, sägs de vara isomorfa . En isomorfism definierar alltid en ekvivalensrelation på klassen av sådana strukturer.

Till exempel kallas två grafer isomorfa om det finns en isomorfism mellan dem: det vill säga, hörn av en graf kan associeras med hörn av en annan graf, så att de anslutna hörn av den första grafen motsvarar de anslutna hörn av den första grafen. andra grafen och vice versa. Med andra ord är två grafer isomorfa om de är "samma" (upp till vertexbyte).

Ett annat klassiskt exempel på isomorfa system är mängden av alla reella tal med additionsoperationen definierad på den, och mängden positiva reella tal med multiplikationsoperationen definierad på den. Kartläggningen i detta fall är en isomorfism. $\mathbb {R}$ ${\mathbb R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

Begreppet isomorfism uppstod i matematiken i förhållande till grupper , och överfördes därefter till andra klasser av objekt.

Allmän algebra

I allmän algebra är en isomorfism en inverterbar kartläggning som är en homomorfism .

Till exempel, för grupper och en bijektion kallas en isomorfism om . Om grupperna är topologiska , då villkoret för homeomorphism av motsvarande topologiska utrymmen [1] läggs till . $G$ $H$ $f\colon G\to H$ $a,\;b\i G$ $f(a)f(b)=f(ab)$

För fält och en bijektion kallas en isomorfism om den bevarar båda fältoperationerna, det vill säga för någon den har: $F_{1}$ $F_{2}$ ${\displaystyle f\colon F_{1}\to F_{2))$ $a,b\in F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

Till exempel är kvotringen för en polynomring med reella koefficienter modulo polynomet ett fält som är isomorft [2] till fältet av komplexa tal : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

För fält med ytterligare struktur ( ordnade , topologiska fält ) kan ett villkor läggas till att bijektionen också bevarar dessa ytterligare strukturer.

Den mest allmänna definitionen av isomorfism är i kategoriteorin : objekt i en kategori är isomorfa om det finns en inverterbar morfism mellan dem, det vill säga en morfism för vilken det finns en morfism så att sammansättningarna och är identiska morfismer. Definitionerna av kategorin grupper, kategorin ringar, kategorin vektorrum och andra strukturer är konstruerade på ett sådant sätt att de klassiska definitionerna av isomorfism av grupper, ringar, vektorrum sammanfaller med den allmänna definitionen av isomorfism i en kategori . Samtidigt introduceras också begreppet kategoriisomorfism , det vill säga en en-till-en-överensstämmelse mellan kategorier med inverterbara funktorer. $\varphi$ $\varphi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Mängdteori

I mängdteorin är varje bijektion en isomorfism.

Till exempel är två delvis ordnade uppsättningar isomorfa om det finns en ordningsbevarande bijektion mellan dem [3] .

Linjära mellanslag

Två linjära rum och över samma fält kallas isomorfa om det är möjligt att etablera en en-till-en-överensstämmelse mellan vektorerna och på ett sådant sätt att villkoren [4] är uppfyllda : $V'(F)$ $V''(F)$ $F$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

om vektor motsvarar vektor och vektor motsvarar vektor så motsvarar vektor vektor . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
om en vektor motsvarar en vektor och är ett element i fältet så motsvarar vektorn en vektor . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Normerade utrymmen

För normerade utrymmen kallas en mappning från en av dem till den andra en normerad utrymmeisomorfism , om den är linjär , kontinuerlig och bijektiv , och den inversa mappningen är också kontinuerlig. I denna mening bevarar en isomorfism den linjära rymdstrukturen och topologin , men bevarar inte nödvändigtvis normen. Om en isomorfism också bevarar normen, så kallas det en isometrisk isomorfism eller en isometri [5] .

Grafteori

En graf kallas isomorf till en graf om det finns en bijektion från uppsättningen av vertex i grafen till uppsättningen av vertex i grafen , som har följande egenskap: om grafen har en kant från vertex till vertex , då grafen måste ha en kant från vertex till vertex och vice versa - om grafen har en kant från vertex till vertex måste grafen ha en kant från vertex till vertex . I fallet med en riktad graf måste denna bijektion också bevara kantens orientering. I fallet med en viktad graf måste bijektionen också bevara kantens vikt. $G$ $H$ $f$ $G$ $H$ $G$ $A$ $B$ $H$ $fa)$ $f(B)$ $H$ $A$ $B$ $G$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

I teorin om beräkningskomplexitet är frågan om komplexiteten i grafisomorfismproblemet fortfarande öppen . För närvarande har varken dess medlemskap i klassen $P$ eller dess fullständighet bevisats . $NP$

Relaterade definitioner

En isomorfism av ett algebraiskt system på sig själv kallas en automorfism . Uppsättningen av alla automorfismer av något algebraiskt system med kompositionsoperationen och identitetskartläggningen som ett neutralt element bildar en grupp . Automorfismgruppen i ett algebraiskt system betecknas med . Det enklaste exemplet på automorfism är en uppsättning automorfism , det vill säga en permutation av elementen i denna uppsättning. $K$ $\operatörsnamn {Aut}K$

Alla element i gruppen definierar följande automorfism, som kallas inre automorfism : varje element i gruppen är associerat med dess konjugerade element : $g$ $x$ ${\displaystyle gxg^{-1))$

{\displaystyle f(x)=gxg^{-1))

Isomorfismteorem

Isomorfismsatser i algebra är en serie satser som relaterar till begreppen faktor , homomorfism och kapslade objekt . Uttalandet av satserna är en isomorfism av något par av grupper , ringar , moduler , linjära utrymmen , Lie-algebra eller andra algebraiska strukturer (beroende på tillämpningen). Det finns vanligtvis tre isomorfismsatser , som kallas den första (även den grundläggande homomorfismsatsen ) , den andra och den tredje. Även om sådana teorem följer ganska lätt från definitionen av faktorn och ingen är särskilt krediterad för deras upptäckt, tror man att Emmy Noether gav de mest allmänna formuleringarna .

Anteckningar

↑ L. S. Pontryagin Kontinuerliga grupper. S. 392
↑ Faddeev D.K. föreläsningar om algebra. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 sid.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Föreläsningar om matematisk logik och teorin om algoritmer. Del 1. Början av mängdlära. sida 48
↑ Shilov G. E. Introduktion till teorin om linjära rum. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - sid. 70
↑ Pyotr Borodin, A. Savchuk, I. Sheipak. Problem i funktionsanalys . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 sid. — ISBN 9785040485147 .

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. St. Petersburg: Lan, 2004, 624 sidor, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontryagin, Lev Semyonovich . Kontinuerliga grupper. — M .: URSS , 2004. — 520 sid. — ISBN 5-354-00957-X .
Isomorphism - artikel från Encyclopedia of Mathematics . O.A. Ivanova, D.M. Smirnov

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654