En topologisk grupp ( kontinuerlig grupp ) är [1] en grupp som också är ett topologiskt utrymme , och multiplikationen av element i gruppen G × G → G och operationen att ta det inversa elementet G → G är kontinuerliga i den använda topologin .
Det följer direkt av definitionen ovan att vänster och höger skiftoperationer, såväl som konjugationsoperationen, traditionellt betecknade med bokstäverna l , r , a och definierade av likheterna
l g ( h ) = gh , r g ( h ) = h g , a g ( h ) = ghg −1 ,är homeomorfismer av rymden G på sig själv.
En isomorfism av en topologisk grupp G på en topologisk grupp H är [2] en bijektiv kartläggning av gruppen G på H , vilket är både en isomorfism av gruppstrukturen i G på gruppstrukturen i H och en homeomorfism av G på H .
Begreppet en topologisk grupp generaliserar begreppet en Lie-grupp ; det senare kräver att operationerna för att multiplicera element och ta det inversa elementet inte bara är kontinuerliga, utan också analytiska eller holomorfa (i det här fallet introduceras inte bara topologin på gruppen, utan också strukturen hos en analytisk eller komplex mångfald) .
| Gruppteori | |
|---|---|
| Grundläggande koncept | |
| Algebraiska egenskaper | |
| ändliga grupper |
|
| Topologiska grupper | |
| Algoritmer på grupper | |