Gruppteori

Gruppteori är en gren av allmän algebra som studerar algebraiska strukturer som kallas grupper och deras egenskaper. Gruppen är ett centralt begrepp i allmän algebra, eftersom många viktiga algebraiska strukturer såsom ringar , fält , vektorrum , är grupper med en utökad uppsättning operationer och axiom . Grupper förekommer inom alla områden av matematiken, och gruppteorins metoder har ett starkt inflytande på många grenar av algebra. Under utvecklingen av gruppteori byggdes en kraftfull verktygslåda, som till stor del bestämde detaljerna för allmän algebra som helhet, dess egen ordlista bildades , vars element aktivt lånas av relaterade avsnitt av matematik och applikationer. De mest utvecklade grenarna av gruppteorin - linjära algebraiska grupper och Lie-grupper - blev oberoende grenar av matematiken.

Olika fysikaliska system, såsom kristaller eller väteatomen , har symmetrier som kan modelleras av symmetrigrupper , och finner därmed viktiga tillämpningar av gruppteori och dess närbesläktade representationsteori i fysik och kemi .

Ett av de mest betydelsefulla matematiska genombrotten under 1900-talet [1] var den fullständiga klassificeringen av enkla ändliga grupper - resultatet av gemensamma ansträngningar från många matematiker, som upptog mer än 10 tusen tryckta sidor, varav huvuddelen publicerades från 1960 till 1980.

Historik

Gruppteori har tre historiska rötter: teorin om algebraiska ekvationer , talteori och geometri . Matematikerna i uppkomsten av gruppteorin är Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss , Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel och Evariste Galois . Galois var den första matematikern som länkade gruppteori med en annan gren av abstrakt algebra, fältteori , och utvecklade teorin som nu kallas Galois-teorin .

Ett av de första problemen som ledde till uppkomsten av gruppteorin var problemet att få fram en ekvation av grad m som skulle ha m rötter från en given ekvation av grad n ( m < n ). Detta problem övervägdes i enkla fall av Hudde (1659). År 1740 märkte Saunderson att hitta kvadratiska faktorer för bikvadratiska uttryck reduceras till att lösa en sjättegradsekvation, och Le Seur (1748) och Waring (från 1762 till 1782) utvecklade denna idé.

Den allmänna grunden för ekvationsteorin, baserad på teorin om permutationer , hittades av Lagrange 1770-1771, och på denna grund växte teorin om substitutioner därefter. Han fann att rötterna till alla upplösningsmedel han mötte var rationella funktioner av rötterna till motsvarande ekvationer. För att studera egenskaperna hos dessa funktioner utvecklade han "kombinationskalkylen" ( Calcul des Combinaisons ). Ett samtida verk av Vandermonde (1770) förutsåg också utvecklingen av gruppteorin.

Paolo Ruffini föreslog 1799 ett bevis på olösligheten av ekvationer av den femte och högre graden i radikaler. För beviset använde han begreppen gruppteori, även om han kallade dem vid andra namn. Ruffini publicerade också ett brev skrivet till honom av Abbati, vars tema var gruppteori.

Galois upptäckte att om en algebraisk ekvation har flera rötter, så finns det alltid en grupp av permutationer av dessa rötter så att

varje funktion som är invariant under grupppermutationer är rationell och omvänt,
varje rationell funktion av rötter är oföränderlig under permutationer av gruppen. Han publicerade sina första verk om gruppteori 1829, vid 18 års ålder, men de förblev praktiskt taget obemärkta tills hans samlade verk publicerades 1846 .

Arthur Cayley och Augustin Louis Cauchy var bland de första matematikerna som insåg vikten av gruppteorin. Dessa vetenskapsmän bevisade också några viktiga satser i teorin. [2] Ämnet de studerade populariserades av Serret , som ägnade ett avsnitt åt teorin från sin bok om algebra, av Jordan , vars verk Traité des Substitutions blev en klassiker, och av Eugen Netto (1882). Många andra matematiker från 1800-talet gjorde också stora bidrag till utvecklingen av gruppteorin : Bertrand , Hermite , Frobenius , Kronecker och Mathieu .

Den moderna definitionen av termen "grupp" gavs först 1882 av Walther von Dyck [3] .

År 1884 inledde Sophus Lie studien av vad vi nu kallar Lie-grupper och deras diskreta undergrupper som transformationsgrupper hans skrifter följdes av Killing , Studi , Schur , Maurer och Elie Cartan . Teorin om diskreta grupper utvecklades av Klein , Lie, Poincare och Picard i samband med studiet av modulära former och andra objekt.

I mitten av 1900-talet (mestadels mellan 1955 och 1983) gjordes ett enormt arbete med klassificeringen av alla ändliga enkla grupper , inklusive tiotusentals sidor av papper.

Många andra matematiker gjorde också påtagliga bidrag till gruppteorin, som Artin , Emmy Noether , Ludwig Sylow och andra.

Kort beskrivning av teorin

Konceptet med en grupp uppstod som ett resultat av en formell beskrivning av geometriska objekts symmetri och ekvivalens. I Felix Kleins Erlangen-program var studiet av geometri kopplat till studiet av motsvarande grupper av transformationer. Till exempel, om siffror på planet ges , då tar gruppen av rörelser reda på deras likhet.

Definition . En grupp är en uppsättning element (ändliga eller oändliga) på vilka multiplikationsoperationen [4] ges , som uppfyller följande fyra axiom:

En grupps slutenhet med avseende på multiplikationens funktion . För två valfria element i gruppen finns det en tredje, som är deras produkt:

1)~~~\förall A,B\in G:~~~\exists C\in G~~~A\cdot B=C;

Associativitet för multiplikationsoperationen . Ordningen i vilken multiplikationen utförs är inte signifikant:

2)~~~\förall A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;

Förekomsten av ett enda element . Det finns något element E i gruppen vars produkt med något element A i gruppen ger samma element A :

3)~~~\exists E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;

Förekomsten av ett inverst element . För varje element A i gruppen finns det ett element A −1 så att deras produkt ger identitetselementet E :

4)~~~\forall A\in G:~~~\exists A^{{-1}}\in G:~~~A\cdot A^{{-1}}=A^{{-1 }}\cdot A=E.

Gruppens axiom reglerar inte på något sätt beroendet av multiplikationsoperationen på ordningen av faktorer. Därför påverkar produkten generellt sett att ändra ordningen på faktorerna. Grupper för vilka produkten inte är beroende av ordningen på faktorer kallas kommutativa eller abelska grupper. För en abelsk grupp

\forall A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.

Abeliska grupper är ganska sällsynta i fysiska tillämpningar. Oftast är grupper som har fysisk betydelse icke- abelska :

\existerar A,B\i G:~~~A\cdot B\not =B\cdot A.

Finita grupper av liten storlek beskrivs bekvämt med hjälp av den så kallade "multiplikationstabeller". I den här tabellen motsvarar varje rad och varje kolumn ett element i gruppen, och resultatet av multiplikationsoperationen för motsvarande element placeras i cellen i skärningspunkten mellan raden och kolumnen.

Nedan är ett exempel på en multiplikationstabell ( Cayley tables ) för en grupp av fyra element: (1, −1, i, −i) där operationen är den vanliga aritmetiska multiplikationen:

	ett	−1	i	−i
ett	ett	−1	i	−i
−1	−1	ett	−i	i
i	i	−i	−1	ett
−i	−i	i	ett	−1

Identitetselementet här är 1, inverserna av 1 och -1 är sig själva, och elementen i och -i är varandras inverser.

Om en grupp har ett oändligt antal element, så kallas det en oändlig grupp .

När elementen i en grupp kontinuerligt beror på vissa parametrar, kallas gruppen kontinuerlig, eller Lie group . Det sägs också att en Lie-grupp är en grupp vars uppsättning element bildar ett jämnt grenrör . Med hjälp av Lie- grupper som symmetrigrupper hittar man lösningar av differentialekvationer .

Grupper används överallt i matematik och naturvetenskap, ofta för att upptäcka objektens inre symmetri ( automorfismgrupper ). Intern symmetri är vanligtvis förknippad med invarianta egenskaper; uppsättningen transformationer som bevarar denna egenskap, tillsammans med kompositionsoperationen , bildar en grupp som kallas symmetrigruppen.

I Galois-teorin, som gav upphov till begreppet en grupp, används grupper för att beskriva symmetrin hos ekvationer vars rötter är rötterna till någon polynomekvation . På grund av den viktiga roll de spelar i denna teori får lösbara grupper sitt namn .

I algebraisk topologi används grupper för att beskriva invarianter av topologiska utrymmen [5] . Med invarianter menar vi här rymdens egenskaper som inte förändras med någon deformation av det. Exempel på denna användning av grupper är fundamentala grupper , homologi- och kohomologigrupper .

Lie-grupper används i studiet av differentialekvationer och grenrör ; de kombinerar gruppteori och kalkyl . Det analysområde som hör samman med dessa grupper kallas harmonisk analys .

I kombinatorik används begreppen permutationsgrupp och grupphandling för att förenkla räkningen av antalet element i en uppsättning; särskilt Burnsides lemma används ofta .

En förståelse för gruppteori är också mycket viktig för fysik och andra naturvetenskaper. Inom kemi används grupper för att klassificera kristallgitter och molekylära symmetrier . Inom fysiken används grupper för att beskriva de symmetrier som styr fysiska lagar. Särskilt viktigt i fysiken är grupprepresentationer , i synnerhet Lie-grupper, eftersom de ofta pekar på vägen till "möjliga" fysikaliska teorier.

En grupp kallas cyklisk om den genereras av ett enda element a , det vill säga alla dess element är potenser av a (eller, för att använda additiv terminologi, kan representeras som na , där n är ett heltal ). Matematisk notation: . $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

En grupp sägs agera på en uppsättning $G$ $M$ om en homomorfism från gruppen till gruppen av alla permutationer av uppsättningen ges . För korthetens skull skrivs det ofta som eller . $\Phi :G\to S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g))(m)$ $gm$ $gm$

Gruppexempel

Den enklaste gruppen är gruppen med den vanliga aritmetiska multiplikationsoperationen, som består av elementet 1. Elementet 1 är gruppens identitetselement och är inversen till sig själv:

	ett
ett	ett

Nästa enkla exempel är en grupp med den vanliga aritmetiska multiplikationsoperationen, som består av elementen (1, −1). Element 1 är identitetselementet i gruppen, båda elementen i gruppen är omvända till sig själva:

	ett	−1
ett	ett	-ett
-ett	-ett	ett

En grupp med avseende på den vanliga aritmetiska operationen av multiplikation är en mängd som består av fyra element (1, −1, i, -i). Identitetselementet här är 1, inverserna av 1 och −1 är sig själva, och elementen i och -i är varandras inverser.

	ett	−1	i	-jag
ett	ett	-ett	i	-jag
-ett	-ett	ett	-jag	i
i	i	-jag	-ett	ett
-jag	-jag	i	ett	-ett

En grupp är två rotationer av rymden med 0° och 180° runt samma axel, om produkten av två rotationer är deras sekventiella utförande. Denna grupp betecknas vanligtvis C2 . Den är isomorf (det vill säga identisk) med ovanstående grupp med elementen 1 och −1. Rotation med 0°, eftersom den är identisk, indikeras i tabellen med bokstaven E.

C2 _	E	R180 _
E	E	R180 _
R180 _	R180 _	E

Gruppen tillsammans med identitetstransformationen E bildas av inversionsoperationen I, som vänder riktningen för varje vektor. En gruppoperation är sekventiell exekvering av två inversioner. Denna grupp betecknas vanligtvis S 2 . Det är isomorft till ovanstående grupp C2 .

S2 _	E	jag
E	E	jag
jag	jag	E

I analogi med C 2 -gruppen kan man konstruera C 3 -gruppen som består av plana rotationer genom vinklar på 0°, 120° och 240°. Vi kan säga att gruppen C 3 är en grupp av rotationer som tar en vanlig triangel i sig.

C3 _	E	R120 _	R240 _
E	E	R120 _	R240 _
R120 _	R120 _	R240 _	E
R240 _	R240 _	E	R120 _

Om vi lägger till reflektioner av en triangel kring dess tre symmetriaxlar (R 1 , R 2 , R 3 ) till C 3 -gruppen får vi en komplett grupp av operationer som tar triangeln in i sig själv. Denna grupp kallas D 3 .

D3 _	E	R120 _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
E	E	R120 _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
R120 _	R120 _	R240 _	E	R2 _	R3 _	R1 _
R240 _	R240 _	E	R120 _	R3 _	R1 _	R2 _
R1 _	R1 _	R3 _	R2 _	E	R240 _	R120 _
R2 _	R2 _	R1 _	R3 _	R120 _	E	R240 _
R3 _	R3 _	R2 _	R1 _	R240 _	R120 _	E

Mängden av alla rotationer kring en axel bildar en kontinuerlig grupp som kallas R 2 . Dess element kommer att betecknas med symbolerna R ( a ), där a är rotationsvinkeln, som är inom 0 ≤ a < 360°. För denna grupp är multiplikationstabellen oändlig, så gruppen beskrivs med den allmänna formeln

R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).

Eftersom resultatet av två på varandra följande rotationer runt samma axel inte beror på rotationsordningen, är gruppen R2 kommutativ . Det inversa elementet i en grupp definieras av formeln

R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).

Gruppen R 3 är en grupp av alla möjliga rotationer av tredimensionellt utrymme kring axlar som går genom en punkt. Denna grupp är sfärens symmetrigrupp. Varje element i gruppen R (α,β, a ) specificeras av tre parametrar: α och β är Euler-vinklarna som anger axelns position, a är rotationsvinkeln.

Gruppen S n eller den symmetriska gruppen av ordning n är samlingen n ! alla möjliga permutationer av n element. En permutation betecknas lämpligen med symbolen

P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix)),

indikerar att elementet n ersätts av elementet pn när det permuteras . Det omvända elementet för elementet P kommer att vara elementet

P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix)).

Intressant nog är gruppen S 3 isomorf till gruppen D 3 , eftersom den senare innehåller alla möjliga transformationer som tar triangeln in i sig själv, och transformationen av triangeln kan ges av olika permutationer av dess tre hörn:

E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix));~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix));~R_{240 }={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix));

R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix));~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix));~~ ~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.

Den multiplikativa gruppen i restringen (där är ett naturligt tal) är en grupp som bildas av coprime med rester ( ) modulo Till exempel, $G(n)$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $n.$ $G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\approx \mathbb {Z} _{2 },\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7) \approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.$

Abeliska grupper

En abelisk grupp är en grupp där gruppoperationen är kommutativ ; det vill säga gruppen är abelisk om för två element . $G$ $ab=ba$ $a,\;b\i G$

Gruppoperationen i abelska grupper brukar kallas "addition" och betecknas med . Abeliska grupper är grunden för att konstruera mer komplexa objekt i abstrakt algebra som ringar , fält och moduler . Namnet ges för att hedra den norske matematikern Abel för hans bidrag till studiet av permutationsgrupper. $+$

Exempel

Gruppen av parallella översättningar i linjärt rum.
Vilken cyklisk grupp som helst . Ja, för alla och det är sant att $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- I synnerhet bildar heltalen en kommutativ grupp under addition, liksom restklasserna . $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$
Vilken ring som helst är en kommutativ (Abelisk) grupp genom sin addition. Inklusive reella tal med additionsoperation.
De inverterbara beståndsdelarna i en kommutativ ring , i synnerhet beståndsdelarna som inte är noll i något fält , bildar en abelsk grupp genom multiplikation. Till exempel reella tal som inte är lika med noll, med multiplikationsoperationen.

Relaterade definitioner

I analogi med dimensionen av vektorrum , har varje Abelisk grupp en rangordning . Det definieras som den minsta dimensionen av utrymmet över fältet av rationella tal, i vilket gruppens faktor genom sin vridning är inbäddad .

Egenskaper

Finitely genererade abelska grupper är isomorfa till direkta summor av cykliska grupper .
- Finita abelska grupper är isomorfa till direkta summor av ändliga cykliska grupper.
Varje abelisk grupp har en naturlig modulstruktur över ringen av heltal . Faktum är att låt vara ett naturligt tal och vara ett element i en kommutativ grupp med operationen betecknad med +, då kan vi definiera både ( tider) och . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Påståenden och teorem som är sanna för abelska grupper (det vill säga moduler över en principiell idealring ) kan ofta generaliseras till moduler över en godtycklig principiell idealring. Ett typiskt exempel är klassificeringen av
ändligt genererade abelska grupper . $\mathbb {Z}$

Uppsättningen av homomorfismer för alla grupphomomorfismer från till är i sig en abelsk grupp. I själva verket, låt vara två grupp homomorphisms mellan Abelian grupper, då deras summa , givet som , är också en homomorphism (detta är inte sant om gruppen är icke-kommutativ).

\operatörsnamn {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\till H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Finita abelska grupper

Den grundläggande satsen om strukturen av en ändlig abelisk grupp säger att vilken ändlig abelisk grupp som helst kan delas upp i en direkt summa av dess cykliska undergrupper, vars ordning är primtalsbefogenheter . Detta är en konsekvens av den allmänna satsen om strukturen av ändligt genererade abeliangrupper för det fall då gruppen inte har element av oändlig ordning. är isomorft till en direkt summa om och endast om och är coprime. $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Därför kan man skriva en Abelisk grupp i form av en direkt summa $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

på två olika sätt:

Var finns primtalen $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Var delar , vilken delar , och så vidare upp till . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Till exempel kan den delas upp i en direkt summa av två cykliska undergrupper av order 3 och 5: . Detsamma kan sägas om alla abelska grupper av ordning femton, vi drar slutsatsen att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfa. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z} /15\mathbb{Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variationer och generaliseringar

En differentialgrupp är en abelisk grupp där en sådan endomorfism ges att . Denna endomorfism kallas en differential . Element i differentialgrupper kallas kedjor , element i kärncyklerna , element i bildgränserna . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$

Hyperboliska grupper

En ändligt genererad grupp kallas hyperbolisk om den är hyperbolisk som ett metriskt utrymme.

Mer detaljerat finns det ett naturligt mått på en ändligt genererad grupp med utvalda generatorer, ordboksmåttet . En grupp kallas hyperbolisk om den, utrustad med detta mått, visar sig vara hyperbolisk som ett metriskt utrymme. Eftersom när det valda systemet av generatorer ersätts ändras metriken kvasi-isometriskt , medan hyperboliciteten i det metriska rummet bevaras, visar sig konceptet vara oberoende av valet av generatorsystemet.

Eftersom hyperbolicitet i en viss mening är "likheten" mellan egenskaperna hos ett metriskt utrymme med ett träd, är en fri grupp ( vars Cayley-graf är ett träd) med vilket ändligt antal generatorer som helst hyperbolisk.
Gruppen PSL(2,Z) är hyperbolisk.
En ändlig grupp är hyperbolisk.

Hyperbolicitet bevaras vid övergång till en undergrupp av finita index.
Varje hyperbolisk grupp presenteras ändligt: den ges av ett ändligt antal generatorer och ett ändligt antal relationer. (Som en konsekvens är hyperboliska grupper - till skillnad från alla grupper i allmänhet - bara ett antal.)
Hyperbolicitet innebär (och är faktiskt ekvivalent med) en linjär isoperimetrisk olikhet : ett trivialt ord, skrivet som en produkt av N generatorer, representeras som en produkt av CN-konjugat till de grundläggande relationerna (med en viss kontroll på längden av konjugerande produkter).

P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliska grupper enligt Mikhail Gromov

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

Mikhail Gromov, Hyperboliska grupper. Uppsatser i gruppteori, 75-263, matte. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Representationsteori

Tillämpningar av gruppteori

Det finns många tillämpningar av gruppteori. Många strukturer av allmän algebra kan betraktas som speciella fall av grupper, till exempel kan ringar betraktas som Abeliska grupper (med avseende på addition) med en andra operation, multiplikation, införd på dem. Därför ligger grupper till grund för en stor del av teorin om dessa objekt.

Galois teori använder grupper för att beskriva symmetrin hos rötterna i ett polynom. Grundsatsen i Galois teori etablerar ett samband mellan algebraiska förlängningar och gruppteori. Detta ger ett effektivt kriterium för lösbarheten av algebraiska ekvationer under villkoren för motsvarande Galois-grupper .

Olösta problem i gruppteori

Den mest kända samlingen av flera tusen olösta problem inom gruppteori är Kourovka-anteckningsboken .

Anteckningar

↑ Elwes, Richard, " An enormous theorem: the classification of finite simple groups, Arkiverad 2 februari 2009 på Wayback Machine " Plus Magazine , nummer 41, december 2006.
↑ Till exempel Cayleys teorem och Cauchys teorem
↑ Barut A., Ronchka R. Grupprepresentationsteori och dess tillämpningar, vol. 1, 2, M., 1980.
↑ Operationen brukar kallas " multiplikation ", mer sällan används namnet " addition " .
↑ därav, till exempel, namnet " torsionsundergrupp " kom från

Litteratur

Lyakhovsky V. D., Bolokhov A. A. Symmetrigrupper och elementarpartiklar, Publishing House of Leningrad State University, 1983.
Barut A., Ronchka R. Representation theory of groups and its applications, vol. 1, 2, M., 1980.
Zhelobenko D. P. Compact Lie-grupper och deras representationer, Moskva, 1970.
Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Representations of Lie-grupper, Moskva, 1980.
Kargapolov M. I. , Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory, Nauka Publishing House, 1972.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper och symmetrier. slutgrupper. Lögngrupper och algebror. Förlag URSS, 2018.

Länkar

R. Borcherds (engelska) , "Group theory" YouTube - spellista
GAP-grupper, algoritmer, programmering av ett system för beräkningsdiskret algebra
Högdimensionell gruppteori
Historien om det abstrakta gruppbegreppet
Plus lärare och elevpaket: Gruppteori

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX4576398 BNF : 11941215h GND : 4072157-7 J9U : 987007543476605171 LCCN : sh85057512 NDL : 00562608 NKC : ph126556 SUDOC : 027351440

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform