Heltal

Heltal är en förlängning av mängden naturliga tal [1] som erhålls genom att addera noll och negativa tal till den [2] . Behovet av att beakta heltal dikteras av omöjligheten i det allmänna fallet att subtrahera ett annat naturligt tal från ett - du kan bara subtrahera ett mindre tal från ett större. Införandet av noll och negativa tal gör subtraktion till samma fullvärdiga operation som addition [3] .

Ett reellt tal är ett heltal om dess decimalrepresentation inte innehåller en bråkdel (men kan innehålla ett tecken). Exempel på reella tal:

Nummer 142857; 0; −273 är heltal. Nummer 5½; 9,75 är inte heltal.

Mängden heltal betecknas (från tyska Zahlen - "tal" [4] ). Studiet av heltals egenskaper är den gren av matematiken som kallas talteorin . $\mathbb {Z}$

Positiva och negativa tal

Enligt dess konstruktion består uppsättningen av heltal av tre delar:

Naturliga tal (eller, på motsvarande sätt, positiva heltal). De uppstår naturligt när man räknar (1, 2, 3, 4, 5...) [5] .
Noll är talet som anges med . Dess definierande egenskap: för vilket nummer som helst . $0$ $0+n=n+0=n$ $n$
Heltals negativa tal .

När du skriver negativa tal markeras de framför med ett minustecken : För varje heltal finns det också ett unikt tal mitt emot det, betecknat och med egenskapen att Om det är positivt, så är dess motsats negativ, och vice versa. Noll är motsatsen till sig själv [2] . $-1,-2,-3\dots$ $a$ $-a$ $a+(-a)=0.$ $a$

Det absoluta värdet av ett heltal kallas detta tal med ett kasserat tecken [6] . Beteckning: $a$ $\left|a\right|.$

Exempel:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Algebraiska egenskaper

I uppsättningen heltal definieras tre grundläggande aritmetiska operationer: addition , inversen av addition, subtraktion och multiplikation . Det finns också en viktig operation som är specifik för naturliga tal och heltal: division med en rest . Slutligen definieras en ordning för heltal , vilket gör att du kan jämföra tal med varandra.

Addition och subtraktion

Följande tabell illustrerar de grundläggande egenskaperna för addition [7] för alla heltal : $a,b,c$

Fast egendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$a+b=b+a$
Associativitet ( kompatibilitet )	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
Noll egendom	$a+0=a$
Egenskapen för motsatt element	$a+\left(-a\right)=0$

När du adderar och subtraherar heltal, följs följande teckenregler [7] [8] , som bör beaktas när du öppnar parenteser:

-\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-ab;\ -\left(ab\right)=-a+b.

Regler för att lägga till heltal [9] .

När du lägger till heltal med samma tecken måste du lägga till deras absoluta värden och tilldela termernas tecken till det. Exempel; . $-14+\left(-28\right)=-42$
När man lägger till heltal med olika tecken, är det nödvändigt att jämföra deras absoluta värden, subtrahera det mindre från det större och tilldela summans tecken med det större absoluta värdet till resultatet. Exempel: . $-4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5$
Subtraktion för heltal är alltid genomförbart och resultatet kan hittas som Exempel: . $ab$ $a+\left(-b\right).$ $26-51=26+\left(-51\right)=-25$
Geometriskt kan addition visualiseras som en förskjutning av ett tal längs talaxeln (se figuren i början av artikeln), och tillägget av ett positivt tal orsakar en förskjutning åt höger, och ett negativt tal till vänster. Till exempel, för ett nummer, innebär att lägga till det att det flyttas åt höger med 4 enheter; se tydligt vad som händer . På samma sätt , skiftar vi åt vänster med 4 enheter, får vi som ett resultat . $-3$ $fyra$ $+1$ $-3+\left(-4\right)$ $-3$ $-7$
Subtraktion kan visualiseras på ett liknande sätt, men i det här fallet, tvärtom, orsakar subtraktion av ett positivt tal en förskjutning till vänster och ett negativt tal till höger. Till exempel skiftar den 7 enheter till numret och skiftar det åt höger till talet . $5-7$ $5$ $-2$ $5-\left(-7\right)$ $12$

Multiplikation och exponentiering

Multiplikationen av siffror betecknas vidare eller (endast i fallet med bokstavsbeteckningar) helt enkelt . Följande tabell illustrerar de grundläggande egenskaperna för multiplikation [7] för alla heltal : $a,b$ $a\times b$ $ab$ $a,b,c$

Fast egendom	Algebraisk notation
Kommutativitet ( portabilitet )	$a\times b=b\times a$
Associativitet ( kompatibilitet )	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
enhetsfastighet	$a\times 1=a$
Noll egendom	$a\times 0=0$
Distributivitet (distributivitet) av multiplikation med avseende på addition	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

När du multiplicerar heltal följs reglerna för tecken [7] [8] , som bör beaktas när du öppnar parenteser:

\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab

Konsekvens : produkten av tal med samma tecken är positiv, med olika tecken är negativ.

Att höja heltal till en naturlig potens definieras på samma sätt som för naturliga tal:

{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n))

Egenskaperna för att höja heltal till en potens är också desamma som för naturliga tal:

\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \ vänster(a^{m}\höger)^{n}=a^{mn}

Utöver denna definition antas en nollgradskonvention: för vilket heltal som helst . $a^{0}=1$ $a.$ $a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},$ $a^{0}=1.$

Ordning

$\mathbb {Z}$ är en linjärt ordnad uppsättning . Ordningen i den ges av relationerna:

\dots -2<-1<0<1<2<\dots

Ett heltal är positivt om det är större än noll, negativt om det är mindre än noll. Positiva heltal är naturliga tal och bara de. Negativa tal är motsatsen till positiva tal. Noll är varken positivt eller negativt. Varje negativt tal är mindre än något positivt tal [2] .

För alla heltal är följande relationer giltiga [10] . $a,b,c,d$

Om , då för någon kommer att vara . $a<b$ $c$ $a+c<b+c$
Om och , då . $a<b$ $c<d$ $a+c<b+d$
Om och , då . $a<b$ $c>0$ $ac<bc$
Om och , då . $a<b$ $c<0$ $ac>bc$

För att jämföra två negativa tal finns det en regel: mer är det tal vars absoluta värde är mindre [10] . Till exempel . $-6<-5$

Delbarhet

Division med resten

Divisionsoperationen är i allmänhet inte definierad på uppsättningen av heltal. Du kan till exempel inte dividera med - det finns inget sådant heltal som, multiplicerat med , ger . Men du kan definiera den så kallade divisionen med en rest [11] : $3$ $2$ $2$ $3$

För alla heltal (där ) finns det en unik uppsättning heltal så att , där

a,b

b\neq 0

q,r

a = bq + r

0\leqslant r<\left|b\right|.

Här är a utdelningen , b är divisorn , q är den (ofullständiga) kvoten, r är resten av divisionen (alltid icke-negativ). Om resten är noll, sägs divisionen vara heltal [11] .

Exempel

När vi dividerar med en rest av ett positivt tal med , får vi en ofullständig kvot och en rest . Undersökning: $a=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$ $78=33\times 2+12.$
När vi dividerar med en rest av ett negativt tal med , får vi en ofullständig kvot och en rest . Undersökning: $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$ $-78=33\ gånger (-3)+21.$
När vi dividerar med en rest av ett tal med får vi kvoten och resten , det vill säga divisionen utförs heltal. För att snabbt ta reda på om ett givet tal är delbart med ett (litet) tal finns delbarhetstester . $a=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$ $a$ $b$

Jämförelseteorin och den euklidiska algoritmen bygger på divisionens funktion med en rest .

Hela divisionen. Delare

Som definierats ovan är ett tal delbart (heltal) med ett tal om det finns ett heltal så att . Symbolisk notation: . Det finns flera ekvivalenta verbala formuleringar av denna delbarhet [12] : $a$ $b$ $q$ $a=bq$ $b|a$

$a$ är delbart (heltal) med . $b$
$b$ är en divisor (eller: delar ). $a$ $b$ $a$
$a$ flera . $b$

Varje heltal som inte är lika med noll eller har 4 triviala divisorer: . Om det inte finns några andra divisorer kallas talet för primtal [13] . $n$ $\pm 1$ $1,-1,n,-n$

Konceptet med den största gemensamma delaren av två heltal, sönderdelningen av ett heltal i primtalsfaktorer och aritmetikens huvudsats för heltal sammanfaller praktiskt taget (med eventuellt teckenövervägande) med analoger av dessa begrepp för naturliga tal [14] .

Heltal och reella tal

Det finns praktiska problem där det är nödvändigt att avrunda ett verkligt värde till ett heltal, det vill säga ersätta det med närmaste (i en eller annan riktning) heltal. Eftersom avrundning kan göras på många sätt, kan " Iverson-symboler " [15] användas för att förtydliga :

\lgolv x\rgolv

- närmast heltal nedåt (funktion "golv", engelskt golv eller " hel del "). Gaussisk notation eller Legendre notation används också traditionellt .

x

[x]

E\left(x\right)

\lceil x\rceil

- närmast heltal i den större riktningen (funktion "tak", engelska tak ).

x

Beroende på detaljerna i problemformuleringen kan andra metoder också påträffas: runda av till närmaste heltal eller skär av bråkdelen (det sista alternativet för negativa skiljer sig från funktionen "heltalsdel"). $x$

En annan klass av problem som relaterar heltal och reella tal är approximationen av ett reellt tal med ett förhållande mellan heltal, det vill säga ett rationellt tal . Det är bevisat att vilket reellt tal som helst kan approximeras rationellt med vilken noggrannhet som helst, det bästa verktyget för en sådan approximation är fortsatta (fortsättning) bråk [16] .

Historik

Matematikens utveckling började med praktiska räknefärdigheter (ett, två, tre, fyra ...), därför uppstod naturliga tal under den förhistoriska perioden som en idealisering av en ändlig uppsättning homogena, stabila och odelbara objekt (människor, får, dagar etc.). Addition dök upp som en matematisk modell av så viktiga händelser som sammanföringen av flera uppsättningar (flockar, påsar, etc.) till en, och subtraktion återspeglade tvärtom separationen av en del av uppsättningen. Multiplikation för naturliga tal framstod som, så att säga, satsaddition: 3 × 4 betydde summan " 3 gånger 4", det vill säga 4 + 4 + 4 . Verksamhetens egenskaper och sammankoppling upptäcktes gradvis [17] [18] .

Det första steget mot expansionen av naturliga tal var utseendet på noll; de första som använde denna symbol var tydligen indiska matematiker. Ursprungligen användes noll inte som ett tal, utan som en siffra i positionsbeteckningen för siffror, sedan började det gradvis att kännas igen som ett fullfjädrat tal, vilket betecknar frånvaron av något (till exempel den fullständiga ruinen av en köpman ) [19] .

Negativa tal användes först i det antika Kina och i Indien, där de betraktades som en matematisk bild av "skuld". Forntida Egypten , Babylon och antikens Grekland använde inte negativa tal, och om negativa rötter av ekvationer erhölls (när de subtraherades), förkastades de som omöjliga. Undantaget var Diophantus , som redan på 300-talet kände till "teckenregeln" och visste hur man multiplicerade negativa tal. Men han ansåg dem bara som ett mellanstadium, användbart för att beräkna det slutliga, positiva resultatet. Användbarheten och lagligheten av negativa siffror fastställdes gradvis. Redan den indiske matematikern Brahmagupta (600-talet) ansåg dem vara i nivå med positiva [20] .

I Europa kom erkännandet tusen år senare, och även då kallades negativa tal under lång tid "falska", "imaginära" eller "absurda". Den första beskrivningen av dem i europeisk litteratur dök upp i Abacusboken av Leonard av Pisa (1202), som också behandlade negativa tal som skuld. Bombelli och Girard ansåg i sina skrifter negativa tal vara ganska acceptabla och användbara, särskilt för att indikera bristen på något. Negativa tal användes fritt av Nicola Schücke (1484) och Michael Stiefel (1544) [20] .

På 1600-talet, med tillkomsten av analytisk geometri , fick negativa tal en visuell geometrisk representation på tallinjen . Från detta ögonblick kommer deras fullständiga jämlikhet. Legaliseringen av negativa tal har lett till många bekvämligheter - till exempel har överföringen av termerna för en ekvation till en annan del av den blivit möjlig oavsett tecknet på denna term (tidigare, låt oss säga, ansågs ekvationerna vara fundamentalt olika) [21] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$

Ändå var teorin om negativa tal i sin linda under lång tid. Pascal , till exempel, trodde att eftersom "ingenting kan vara mindre än ingenting" [22] . En märklig andel diskuterades livligt - i den är den första termen till vänster större än den andra, och till höger - vice versa, och det visar sig att den större är lika med den mindre (" Arnos paradox "). Wallis trodde att negativa tal är mindre än noll, men samtidigt mer än oändligheten [23] . Det var inte heller klart vilken betydelse multiplikationen av negativa tal har, och varför produkten av negativa tal är positiv; det var heta diskussioner om detta ämne. Ett eko av den tiden är det faktum att i modern aritmetik betecknas subtraktionens funktion och tecknet för negativa tal med samma symbol ( minus ), även om det algebraiskt är helt olika begrepp. Gauss ansåg 1831 att det var nödvändigt att klargöra att negativa tal i grunden har samma rättigheter som positiva, och det faktum att de inte gäller alla saker betyder ingenting, eftersom bråk inte heller gäller för alla saker (t.ex. är inte tillämpliga när man räknar personer) [24] . $0-4=0$ $1:\left(-1\right)=\left(-1\right):1$

En fullständig och ganska rigorös teori om negativa tal skapades först på 1800-talet ( William Hamilton och Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Applikation

Inom tillämpad vetenskap

Heltal används i stor utsträckning i studien av objekt som är odelbara till sin natur eller av problemformuleringens egenheter (till exempel människor, fartyg, byggnader, ibland dagar, etc.). Negativa siffror kan också användas i sådana modeller - till exempel när du planerar försäljningstransaktioner kan du ange försäljning med positiva siffror och köp med negativa. Ett exempel från fysiken är kvanttal , som spelar en grundläggande roll i mikrokosmos; de är alla undertecknade heltal (eller halvheltal ) [26] .

För att lösa de problem som uppstår i detta fall har speciella matematiska metoder utvecklats som tar hänsyn till problemens särdrag. I synnerhet är lösningen i heltal av algebraiska ekvationer (av olika grader) övervägd av teorin om " diofantiska ekvationer " [27] . Frågor om heltalsoptimering undersöks genom heltalsprogrammering [28] .

Inom datavetenskap

Heltalstypen är ofta en av huvuddatatyperna i programmeringsspråk . Heltalsdatatyper implementeras vanligtvis som en fast uppsättning bitar , varav en kodar tecknet för ett tal, medan de andra kodar binära siffror. Moderna datorer har en rik instruktionsuppsättning för heltalsaritmetik [29] .

Plats i allmän algebra

Ur allmän algebras synvinkel är med avseende på addition och multiplikation en oändlig kommutativ ring med enhet, utan nolldelare ( integritetsdomän ). Ringa av heltal är euklidiskt (och därmed faktoriellt ) och Noetherian , men inte Artinian . Om du utökar denna ring genom att lägga till alla typer av bråk till den (se fältet kvotienter ), får du fältet för rationella tal ( ); någon division är redan möjlig i den, förutom division med noll [30] [31] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Med avseende på additionsoperationen, är en Abelisk grupp , och därför också en cyklisk grupp , eftersom varje element som inte är noll kan skrivas som en ändlig summa 1 + 1 + ... + 1 eller (−1) + (−1) ) + ... + (−1) . I själva verket är den enda oändliga cykliska gruppen genom addition, eftersom varje oändlig cyklisk grupp är isomorf till gruppen . När det gäller multiplikation bildar den inte en grupp, eftersom division i heltalsuppsättningen generellt sett är omöjlig [30] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb{Z},+)$ $\mathbb {Z}$

Uppsättningen av heltal med den vanliga ordningen är en ordnad ring , men är inte välordnad , eftersom det till exempel inte finns det minsta bland negativa tal. Det kan dock göras ganska ordnat genom att definiera en icke-standard relation "mindre än eller lika med" [32] , som vi betecknar och definierar enligt följande: $\precurlyeq$

a\preccurlyeq b,

om antingen eller eller och

a=b,

|a|<|b|,

|a|=|b|

a<0<b.

Då blir heltalsordningen: I synnerhet kommer det att vara det minsta negativa talet. med den nya ordningen kommer det att vara ett välordnat set, men det kommer inte längre att vara en beställd ring, eftersom denna ordning inte är förenlig med ringens funktioner: till exempel från , lägg till 1 till vänster och höger, vi får fel ojämlikhet $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots$ $-ett$ $\mathbb {Z}$ $1\preccurlyeq -2$ $2\preccurlyeq -1.$

Varje ordnad ring med identitet och inga nolldelare innehåller en och endast en isomorf subring [33] . $\mathbb {Z}$

Logiska grunder

Utvidgningen av naturliga tal till heltal, som alla andra förlängningar av den algebraiska strukturen, väcker många frågor, varav de viktigaste är hur man definierar operationer på en ny typ av tal (till exempel hur man definierar multiplikationen av negativa tal), vilka egenskaper de då kommer att ha, och (huvudfrågan) om en sådan utbyggnad är tillåten, om den inte kommer att leda till oupplösliga motsättningar. För att analysera sådana frågor är det nödvändigt att bilda en uppsättning axiom för heltal.

Heltals axiomatik

Det enklaste sättet att bestämma axiomatiken för mängden heltal är att förlita sig på den redan konstruerade mängden naturliga tal (som antas vara konsekvent och dess egenskaper är kända). Vi definierar nämligen som den minimala ringen som innehåller mängden naturliga tal. Mer strikt är axiomen för heltal som följer [34] [35] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Z1 : För alla heltal definieras deras summa .

a,b

a+b

Z2 : Tillägget är kommutativt : . För korthetens skull utelämnas klausulen "för alla " vanligtvis ytterligare.

a+b=b+a

a,b\dots

Z3 : Tillägget är associativt :

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).

Z4 : Det finns ett element 0 (noll) så att .

a+0=a

Z5 : För varje heltal finns det ett motsatt element så att

a

-a

a+\left(-a\right)=0.

Z6 : För alla heltal definieras deras produkt .

a,b

ab

Z7 : Multiplikation är associativ :

\left(ab\right)c=a\left(bc\right).

Z8 : Multiplikation är relaterad till addition genom distributiva (distributiva) lagar:

\left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.

Z9 : Mängden heltal innehåller en delmängd som är isomorf till mängden naturliga tal . För enkelhetens skull betecknas denna delmängd med samma bokstav nedan .

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

\mathbb {N}

Z10 ( minimalitetsaxiom ): Låta vara en delmängd av , inklusive och sådan att subtraktionsoperationen inte leder bortom . Sedan matchar allt .

M

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

M

M

\mathbb {Z}

Alla andra egenskaper hos heltal följer som en följd av dessa axiom, inklusive kommutativiteten av multiplikation, ordning, regler för division med heltal och division med resten [36] . Låt oss visa, till exempel, hur ordningen av heltal introduceras . Vi kommer att säga att om det finns ett naturligt tal. Ordningsaxiomen är lätta att verifiera. Det följer omedelbart av definitionen att alla naturliga tal är större än noll ( positiv ), och alla deras motsatser är mindre än noll ( negativa ). För naturliga tal sammanfaller den nya ordningen med den gamla [37] . $a<b$ $ba$

Den givna axiomatiken för heltal är kategorisk , det vill säga någon av dess modeller är isomorfa som ringar [38] .

Konsistens

Standardsättet att bevisa konsistensen av en ny struktur är att modellera ( tolka ) dess axiom med hjälp av objekt av en annan struktur, vars konsistens är utom tvivel. I vårt fall måste vi implementera dessa axiom på basis av par av naturliga tal [39] .

Betrakta alla möjliga ordnade par av naturliga tal . För att göra innebörden av följande definitioner tydlig förklarar vi omedelbart att vi avser att ytterligare betrakta varje sådant par som ett heltal , till exempel par eller kommer att representera en enhet, och par eller kommer att representera $\left(a,b\right)$ $ab,$ $\left(3,2\right)$ $\left(6,5\right)$ $\left(1,4\right)$ $\left(8,11\right)$ $-3.$

Därefter definierar du [40] :

Par och anses lika om . Detta beror på, som visas i exemplen, vilket heltal som helst kan representeras av ett oändligt antal par. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a+d=b+c$
Addition : summan av par och definieras som ett par . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(a+c,b+d\right)$
Multiplikation : Produkten av par och definieras som ett par . $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$

Det är lätt att kontrollera att resultaten av addition och multiplikation inte ändras om vi ersätter något par med ett lika, det vill säga det nya resultatparet kommer att vara lika med det föregående (i betydelsen av likhet som anges av definition 1) . Det är också lätt att verifiera att den beskrivna strukturen av par uppfyller hela listan över axiom för heltal. Positiva tal modelleras av par , där , noll representerar par av formen , och par med motsvarar negativa tal [40] . $\left(a,b\right)$ $a>b$ $\left(a,a\right)$ $\left(a,b\right)$ $a<b$

Denna modell gör det möjligt att klargöra hur axiomen för heltal unikt implicerar deras egenskaper; låt oss visa detta för "teckenregeln". Till exempel genom att multiplicera två "negativa tal" och , för vilka vi per definition får ett par . Skillnaden är , detta tal är positivt, så parprodukten representerar ett positivt heltal, därför är produkten av negativa tal positiv. Varje annan regel (säg, "produkten av negativa tal är negativ") skulle göra teorin om heltal inkonsekvent. $\left(a,b\right)$ $\left(c,d\right)$ $a<b,\ c<d$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$ $ac+bd-\left(ad+bc\right)$ $\left(ba\right)\left(dc\right)$

Den beskrivna modellen bevisar att den givna axiomatiken för heltal är konsekvent. För om det fanns en motsägelse i den, så skulle detta innebära en motsägelse i den grundläggande aritmetiken av naturliga tal för denna modell, som vi på förhand antog vara konsekvent [39] .

Uppsättningens kardinalitet

Mängden heltal är oändlig. Även om de naturliga talen bara är en delmängd av mängden heltal, finns det lika många heltal som det finns naturliga tal, i den meningen att kardinaliteten för mängden heltal är densamma som för mängden naturliga tal – båda av dem är räkningsbara [41] .

Variationer och generaliseringar

Vissa algebraiska strukturer liknar ringen av heltal i egenskaper . Bland dem: $\mathbb {Z}$

Gaussiska heltal . Dessa är komplexa tal , där är heltal. För Gaussiska tal, som för vanliga heltal, kan begreppen divisorer , primtal och modulo definieras . En analog till aritmetikens huvudsats är giltig [42] . $a+bi$ $a,b$
Eisenstein heltal [43] .

Anteckningar

↑ Detta hänvisar till den äldsta förståelsen av naturliga tal med det första elementet ett: $1,2,3,4,5\dots$
↑ 1 2 3 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 111-113.
↑ Elementär matematik ur högre synvinkel, 1987 , sid. 37.
↑ Paul Pollack. De tidigaste användningarna av symboler för talteori (länk otillgänglig) . Hämtad 22 oktober 2017. Arkiverad från originalet 31 januari 2010. (obestämd)
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. arton.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 114.
↑ 1 2 3 4 Elementär matematik, 1976 , sid. 24-28.
↑ 1 2 Elementär matematik ur högre synvinkel, 1987 , sid. 39.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 114-115.
↑ 1 2 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 172-173.
↑ 1 2 Division // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2.
↑ Sushkevich A. K. Talteori . Grundkurs. - Kh .: Publishing House of Kharkov University, 1954. - S. 5.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. tjugo.
↑ Begreppet delbarhet // Element i teorin om delbarhet: Metodologiska rekommendationer för studenter vid fakulteten för pedagogik och barndomspsykologi / komp. S. V. Pomortseva, O. V. Ivanova. - Omsk: Omsk State. ped. universitet, 2008. - 37 sid.
↑ Knut D. Konsten att programmera. T. 1. Grundläggande algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 68. - 735 sid.
↑ Khinchin A. Ya. Fortsatt bråk . — M .: GIFML, 1960.
↑ Mach E. Kognition och vanföreställning // Albert Einstein och gravitationsteorin. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (fotnot). — 592 sid. : "innan begreppet antal uppstår måste det finnas en upplevelse av att i en viss mening objekt av lika värde existerar multipla och oföränderliga ."
↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . - M . : Mir, 1984. - S. 109 -112. — 446 sid.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Specialnummer för andra kulturer // Anmärkningsvärda siffror. Zero, 666 och andra bestar. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 sid. — (Matematikens värld). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ 1 2 Glazer G. I. Matematikens historia i skolan. - M . : Utbildning, 1964. - S. 132-135. — 376 sid.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 113-114.
↑ Sukhotin A. K. Vetenskapliga idéers växlingar. M.: Mol. vakt. 1991, sid 34.
↑ Panov V.F. Negativa tal // Forntida och ung matematik. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 399. - 648 sid. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Alexandrova N.V. Matematiska termer (Referensbok). Moskva: Högre skola, 1978, s. 164.
↑ Mathematics of the 18th century // History of Mathematics / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 48-49.
↑ Sivukhin D. V. § 38. Fyra kvanttal för elektronen och spektraltermernas fina struktur // Fysikens allmänna kurs. - M. , 2005. - T. V. Atom- och kärnfysik. - S. 226.
↑ Gelfond A. O. Lösning av ekvationer i heltal . - M . : Nauka, 1978. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
↑ Karmanov V. G. Matematisk programmering. — M .: Nauka , 1986. — 288 sid.
↑ M. Ben-Ari. Kapitel 4. Elementära datatyper // Programmeringsspråk. Praktisk benchmarking = förstå programmeringsspråk. - M . : Mir, 2000. - S. 53 -74. — 366 sid. — ISBN 5-03-003314-9 .
↑ 1 2 Vinberg E. B. Algebrakurs. 2:a uppl. - M. : MTSNMO Publishing House, 2013. - S. 15-16, 113-114. — 590 sid. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - S. 94. - 160 sid.
↑ Donald Knuth . Konsten att programmera, volym I. Grundläggande algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 sid.
↑ Numeriska system, 1975 , sid. 100.
↑ Numeriska system, 1975 , sid. 95-96.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , sid. 160-162.
↑ Numeriska system, 1975 , sid. 96-98.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , sid. 170-171.
↑ Numeriska system, 1975 , sid. 98.
↑ 1 2 Numeriska system, 1975 , sid. 100-102.
↑ 1 2 Encyclopedia of elementary mathematics, 1951 , sid. 162-168.
↑ N. Ya. Vilenkin . Ställa berättelser . - 3:e uppl. - M. : MTSNMO , 2005. - S. 65-66. — 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ Okunev L. Ya. Komplexa heltal. - M . : Stat. uch.-ped. Publishing House of the People's Commissariat of Education of the RSFSR, 1941. - 56 sid.
↑ Eric W. Weisstein. Eisenstein heltal . Hämtad: 19 augusti 2017. (obestämd)

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sidor.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Klein F. Elementär matematik ur högre synvinkel. - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetik. Algebra. Analys. — 432 sid.
Nechaev V. I. Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - 199 sid.
Encyklopedi av elementär matematik (i 5 volymer). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 sid.

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor dansk Stor katalanska Stor katalanska Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364