Euklidisk ring

Den euklidiska ringen är en allmän algebraisk ring där det finns en analog till den euklidiska algoritmen .

Definition

En euklidisk ring är en region av integritet , för vilken den euklidiska funktionen ( euklidisk norm ) är definierad , så att division är möjlig med en rest i normen mindre än divisorn, det vill säga för varje det finns en representation för vilken eller [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\in R,\, b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r=0$

Ytterligare begränsning

Ofta läggs en ytterligare begränsning på den euklidiska normen : för alla icke-noll och från ringen . Om en norm ges om som inte uppfyller detta villkor kan det korrigeras genom att omdefiniera: $d(a)\leqslant d(ab)$ $a$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

En sådan norm uppfyller den önskade olikheten, dock kräver den tidigare algoritmen för division med en rest korrigering (för och delas med med en rest: , där och , och eftersom det följer av definitionen erhålls den önskade representationen med ). $x\in R$ $d'(b) = d(bx)$ $yxa$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

Det finns inte så många fördelar med en sådan norm - alla inverterbara element har samma normvärde, och minimum av alla (ändliga) element, de korrekta divisorerna för elementet har ett mindre normvärde, och det förenklar också det direkta beviset på faktorialiteten hos euklidiska ringar (utan hänvisning till principiella ringars faktorialitet) , ideal , vars bevis kräver användning av transfinit induktion ). Men de grundläggande egenskaperna hos euklidiska ringar förblir giltiga även utan denna ytterligare egenskap. $a$

Exempel

Heltalsring . _ Ett exempel på en euklidisk funktion är det absoluta värdet . $\mathbb {Z}$ $|\cdot|$
Ringen av Gaussiska heltal (var är den imaginära enheten , ) med norm är euklidisk. ${\mathbb {Z}}[i]$ $i$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Ett godtyckligt fält är en euklidisk ring med norm lika med 1 för alla element utom 0. $K$
Ring av polynom i en variabel över ett fält . Ett exempel på en euklidisk funktion är graden deg. $K[x]$ $K$
Ringen av formella maktserier över ett fält är en euklidisk ring. Normen för en potensserie är numret på den första koefficienten som inte är noll i den. $K[[x]]$ $K$
- Mer generellt är vilken lokal ring som helst euklidisk om det maximala idealet i den är principiellt och skärningspunkten för alla dess krafter endast består av noll. Normen för ett inverterbart element är lika med 0, av en irreversibel icke-noll - den maximala graden av det maximala ideal som innehåller det givna elementet.
Ringen av funktioner som är holomorfa på en sammankopplad kompakt uppsättning i (var och en av dem måste vara holomorfa i någon grannskap av denna kompakta uppsättning; två sådana funktioner anses lika om de sammanfaller i någon grannskap av ) är också euklidisk. Normen för en funktion som inte är noll är antalet nollor (med hänsyn tagen till multipliciteten) som den tar på . $H(K)$ $K$ $\mathbb {C}$ $H(K)$ $K$ $K$
En räknebar skärning av euklidiska ringar (underringar i någon ring) behöver inte vara en euklidisk ring (och till och med noeterisk eller faktoriell ). Till exempel, en ring av funktioner som är holomorfa på en öppen cirkel är en skärningspunkt av euklidiska ringar av funktioner som är holomorfa på slutna cirklar som finns inom , men den är varken Noetherian eller factorial, respektive, och icke-euklidisk. $H(\mathbb D)$ $\mathbb D$ $H(K)$ $K$ $\mathbb D$
Ringen av fraktioner av en euklidisk ring av det multiplikativa systemet är också euklidisk. Normen för en bråkdel från tas: $S^{-1}R$ $R$ $S$ $x$ $S^{-1}R$

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\ gånger S, \, x=u/s\},

var är den euklidiska normen i , och är normen i .

d_R

R

d_S

S^{-1}R

Division med rest definieras enligt följande: låt det vara två fraktioner som inte är noll och från S −1 R . Genom definitionen av en norm i det finns element i och i sådana att och . Efter att ha delat med en rest i ringen av element och - , så att det visar sig ; ojämlikheter följer av konstruktionen .

x=r/t

y

S^{-1}R

u

R

s

S

y=u/s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

u

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

Ringen med ändliga decimaler är euklidisk , eftersom den är ringen av kvoter av ringen av heltal . $\mathbb {Z}$
Ringar av rationella funktioner över ett fält med fasta poler är euklidiska , eftersom sådana ringar är ringar av kvoter av polynomringen . $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Euklids algoritm

I den euklidiska ringen implementerar vi den euklidiska algoritmen för att hitta den största gemensamma delaren av två tal (element). Låt initialt ges två element och , och och . Division med en rest ger ett element med . Om det inte är noll kan du återigen tillämpa division med en rest för att få elementet , och så vidare. Detta genererar en värdekedja med . Denna kedja avbryts dock, eftersom alla naturliga tal strikt sett bara kan överstiga ett ändligt antal andra naturliga tal. Detta betyder att för vissa är resten noll, och inte lika, det är den största gemensamma delaren av elementen och . Därför, i en euklidisk ring, är avslutningen av den euklidiska algoritmen garanterad. Strängt taget är det i euklidiska ringar som implementeringen av den euklidiska algoritmen är möjlig. $a_{0}$ $a_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \dots$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\prickar$ $n$ $a_{{n+1}}$ $en$ $a_{0}$ $a_{1}$

Egenskaper för euklidiska ringar

I en euklidisk ring är varje ideal principiellt (i synnerhet alla euklidiska ringar är noeteriska ).
- Låt vara ett godtyckligt ideal i den euklidiska ringen. Om den bara innehåller , är den den huvudsakliga. Annars, bland dess icke-nollelement, finns det ett element med en miniminorm (minimiprincipen för naturliga tal). Det delar upp alla andra element i idealet: presenterar ett godtyckligt element i formen c , visar det sig att det också är ett element i idealet och det måste vara noll, eftersom dess norm är mindre än y . Därför finns idealet i idealet . Å andra sidan innehåller varje ideal som innehåller elementet idealet , vilket innebär att det är det huvudsakliga idealet. $jag$ $0$ $f$ $g \i I$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $jag$ $f$ $jag$ $(f)$ $f$ $(f)$ $jag = (f)$
Varje euklidisk ring är faktoriell, det vill säga varje element kan representeras av en ändlig produkt av enkla element, och dessutom unikt (upp till deras permutation och multiplikation med inverterbara element). Faktoralitet är en gemensam egenskap för alla huvudsakliga idealringar .
Varje euklidisk ring är integrerat stängd , det vill säga om bråkdelen , är roten till ett polynom med den högsta koefficienten lika med 1, då är den delbar med . Integral slutenhet är en gemensam egenskap för alla faktoriella ringar. $R$ $a/b,\,a,b\in R$ $f\in R[x]$ $a$ $b$

Egenskaper för moduler över en euklidisk ring

Låt vara en euklidisk ring. Då har ändligt genererade -moduler följande egenskaper: $R$ $R$

Varje undermodul av en ändligt genererad -modul genereras ändligt (en följd av att ringen är Noetherian ). $N$ $R$ $M$ $R$
Rangen för en undermodul överstiger inte rangordningen för en modul (en konsekvens av idealens furstendöme i är en struktursats för ändligt genererade moduler över domäner av principiella ideal ). $N$ $M$ $R$
En undermodul till en fri -modul är också gratis. $R$
En homomorfism av ändligt genererade -moduler reduceras alltid till normal form. Det vill säga, det finns generatorer (en bas, om modulen är fri) av modulen N som utgör en (bas) av modulen M , antalet och är element i ringen så att de delar och för i > k , och för resten - . Dessutom bestäms koefficienterna unikt fram till multiplikation med inverterbara element i ringen . (Det faktum att ringen är euklidisk är direkt involverad i den här egenskapen .) $A\kolon N\till M$ $R$ $u_1, u_2, \prickar, u_n$ $v_1, v_2, \dots, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\prickar,a_k$ $R$ $a_{i}$ $a_{i+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\prickar,a_k$ $R$ $R$

Se även

Anteckningar

↑ Kurosh, 1962 , sid. 91.

Länkar

Weisstein, Eric W. Den euklidiska ringen på Wolfram MathWorld .
B. L. van der Waerden. Algebra. - St Petersburg. : Lan, 2004. - 624 sid. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. - M. : Fizmatlit, 1962. - 400 sid.
Rodossky K. A. Euklids algoritm. - M. : Nauka, 1988. - 239 sid.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern datoralgebra. - Cambridge University Press, 1999. - 771 sid. - ISBN 0-521-82646-2 .

Inklusionsdiagram över vissa klasser av ringar
kommutativa ringar ⊃ integralringar ⊃ faktoriella ringar ⊃ huvudsakliga idealdomäner ⊃ Euklidiska ringar ⊃ fält