Hela elementet

Ett heltalselement är ett element i en given kommutativ ring med enhet med avseende på subringen , som är roten till det reducerade polynomet med koefficienter i , det vill säga sådan som det finns koefficienter för så att: $B$ $A\delmängd B$ $A$ $b$ $a_j \i A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Om varje element är ett heltal över kallas ringen ett förlängningsheltal (eller bara en ring, heltal över ). $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Om och är fält motsvarar termerna "integral över ..." och "integralförlängning" termerna "algebraisk över ..." och " algebraisk förlängning ". Ett specialfall, särskilt viktigt i talteorin , är komplexa tal som är heltal över , kallade algebraiska heltal . $A$ $B$ $\mathbb {Z}$

Uppsättningen av alla element heltal över , bildar en ring; det kallas en heltalsstängning i . Heltalsstängningen av rationella tal i någon finita fältförlängning kallas ringen av heltalsfält , detta objekt är grundläggande för algebraisk talteori . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\mathbb {Q}$ $k$

Heltal är de enda element som är heltal över (vilket kan förklara användningen av termen "heltal"). Gaussiska heltal , som element i området komplexa tal, är heltal över . En heltalsstängning i ett cirkulärt fält är . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} (\zeta )$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$

Om är den algebraiska stängningen av fältet , då är integral över . Om en ändlig grupp verkar på en ring genom ringhomomorfismer, är det ett heltal över uppsättningen element som är fixpunkter för gruppens verkan. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $G$ $A$ $A$

Egenskaper

Integritet är en transitiv relation: om ringen är integral över och integral över , då är den integral över . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

Det finns ett antal påståenden som motsvarar att säga att ett element i en ring är integral över : $b$ $B$ $A$

en subring av en ring är en ändligt genererad -modul; $A[b]$ $B$ $A$
det finns en subring av ringen som innehåller och , och som är en ändligt genererad -modul; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
det finns en ändligt genererad -modul av ringen så att och av den följer att . $A$ $M$ $B$ $bM\subset M$ $b'M=0$ $b=0$

Det är lätt att dra slutsatsen från den tredje egenskapen att mängden av alla element heltal över är en subring (stängd under addition och multiplikation), det kallas heltalsslutet i . Om heltalsförslutningen sammanfaller med själva ringen kallas den integrerat sluten i . Det innebär också att om heltal är över , då är unionen (eller, på motsvarande sätt, den direkta gränsen ) av subringar som är ändligt genererade -moduler. $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

Cohen-Seidenbergs lyftsats : om är en heltalsförlängning av ringen , då för varje primideal i det finns ett primtalsideal i , det . $S$ $R$ $jag$ $S$ $J$ $R$ $J\cap S=I$

En integrerat sluten ring

En integralt sluten ring är en integrerad ring , integrerat sluten i sitt kvotområde .

Om är en integrerat sluten ring med ett fält av kvotienter och är en finit förlängning av , då är elementet integral över om och endast om koefficienterna för dess minimala polynom tillhör : detta är ett starkare villkor än bara en integral, för vilket Förekomsten av ett godtyckligt polynom med denna egenskap är tillräckligt. Alla fabriksringar är stängda i ett stycke. $A$ $K$ $L$ $K$ $L$ $A$ $A$

Om är en Noetherisk integralring, då är den integralt stängd om och endast om (1) sammanfaller med skärningspunkten mellan alla lokaliseringar med avseende på ett primideal och (2) lokalisering med avseende på ett primsideal med höjd 1 (det vill säga, som inte innehåller andra ideal som inte är noll) är Dedekind ring . Dessutom är en Noetherian ring integrerat stängd om och endast om det är en Krull-ring . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Normal ring

Serre och Grothendieck definierar en normal ring som en ring vars lokalisering av vilket primärt ideal som helst är integrerat sluten. Det finns inga non-noll nilpotenter i en sådan ring [1] . Om är en Noetherian ring vars lokaliseringar med avseende på maximala ideal är integral, då är en finit produkt av integralringar. I det här fallet, om är en noeterisk normalring, är domänerna i produkten integrerat stängda [2] . Omvänt är den direkta produkten av integrerat slutna ringar normal. $A$ $A$ $A$

Helt integrerat sluten ring

Ett element av kvotfältet för en integral ring kallas ett nästan heltal över om det finns en sådan för någon naturlig . En ring sägs vara helt integralt sluten om något nästan integrerat element över den finns i . Helt integrerat stängda ringar är integrerat stängda. Omvänt är Noetherian integrerat slutna ringar helt integrerat stängda. $x$ $K$ $A$ $A$ $d\i A$ $dx^n\i A$ $n$ $A$ $A$

Ringen av formella kraftserier över en helt integrerat sluten ring är helt integrerat sluten, medan detta inte är sant för godtyckliga integrerat slutna ringar.

Lokalitet för den integrerat stängda fastigheten

Följande villkor för en integrerad ring är likvärdiga: $A$

$A$ helt stängd;
lokalisering med avseende på vilket primärt ideal som helst är integrerat stängd; $A$
lokalisering med avseende på vilket maximalt ideal som helst är integrerat stängd. $A$

Sådana ringegenskaper kallas lokala egenskaper . $A$

Anteckningar

↑ Om lokaliseringarna av en kommutativ ring över alla maximala ideal inte innehåller nilpotenter (till exempel är de integrala), så innehåller de inte heller dem. Faktum är att if är ett element som inte är noll och n =0, då ) (de element vars multiplikation nollifierar ) ingår i något maximalt ideal . Bilden i lokalisering w är icke-noll, eftersom annars för vissa , en motsägelse. Därför innehåller lokalisering med avseende på en icke-noll nilpotent. $R$ $R$ $x$ $R$ $x$ $\mathrm {Ann} (x)$ $x$ $\mathfrak{m}$ $x$ $\mathfrak{m}$ $xs = 0$ $s \not\in \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, sid. 64

Litteratur

Bourbaki, kommutativ algebra.
Kaplansky, Irving. Kommutativa ringar (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Föreläsningar i matematik). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2:a upplagan), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .