Ring av privat

Ringen av kvotienter S −1 R för en kommutativ ring R (med enhet) enligt multiplikationssystemet är utrymmet av bråk med täljare från R och nämnare från S med aritmetiska operationer och identifikationer som är vanliga för bråk.

Termen lokalisering av ringen R med avseende på mängden S används också . Denna term kommer från algebraisk geometri : om R  är en ring av funktioner på en algebraisk varietet V , då för att studera de lokala egenskaperna för denna sort vid en punkt p , betraktar man vanligtvis uppsättningen funktioner som inte är lika med noll vid denna punkt och lokaliserar R längs denna uppsättning.

Den vanliga notationen för en lokalisering (eller en ring av kvoter) är S −1 R , men andra notationer används oftare i vissa fall. Således, om S  är komplementet till ett primideal I , betecknas lokaliseringen av R som R I (och kallas lokaliseringen av ringen av ett primideal), och om S  är mängden av alla potenser av elementet f. , används beteckningen Rf . De två sista fallen är grundläggande för kretsteorin .

Definition

Ett multiplikativt system i en ring R är en delmängd S i R som innehåller 1, inte innehåller noll och är sluten under multiplikation (i ringen R ). För ett multiplikativt system S bildar mängden ett ideal i ringen R. I fallet när mängden S inte innehåller nolldelare av ringen R , består idealet endast av noll, och systemet S kallas regelbundet. Om R  är en integralring är varje multiplikativt system i den regelbundet.

Elementen i ringen av bråkdelar av ringen R av multiplikationssystemet S är formella bråkdelar av formen r/s , där r  är ett godtyckligt element av R och s  är ett element i mängden S . Två bråk och anses likvärdiga (representerar samma element i kvotringen) om . Operationerna för addition och multiplikation definieras som vanligt:

Det kontrolleras att om bråken i summan eller produkten ersätts med ekvivalenta, kommer det nya resultatet att uttryckas med en bråkdel motsvarande den föregående. Med sådana operationer får uppsättningen strukturen av en kommutativ ring med enhet. Nollan i den är bråket 0/1 , enheten är bråket 1/1 .

Privat fält

Om R  är en integritetsdomän , bildar uppsättningen av alla dess element som inte är noll ett multiplikativt system. Ringen av kvoter enligt detta system är ett fält och kallas fältet för kvoter eller fältet för relationer , det betecknas vanligtvis Frac(R) eller Quot(R) . Alla element i kvotfältet har formen a/b , där a, b  är element av R och b ≠ 0, med de vanliga räknereglerna för täljare och nämnare reduktion, addition och multiplikation. Det är lätt att se att fältet med kvoter är det minsta fältet där R kan bäddas in . Till exempel är fältet för kvotienter för ett fält isomorft med själva fältet.

Det finns en naturlig inbäddning av en ring i dess kvotfält som skickar a till a/1 . Fältet av bråkdelar av en ring R uppfyller följande universella egenskap : om h  : R → F  är en injektiv homomorfism av ringar från R till ett fält F , så finns det en unik ringhomomorfism g  : Quot( R ) → F som sammanfaller med h på elementen i R . Denna universella egenskap kan uttryckas med följande ord: fältet för kvoter är ett standardsätt att göra elementen i en ring inverterbara , respektive ringen av kvoter är ett standardsätt att göra någon delmängd av elementen i en ring inverterbar .

I termer av kategoriteori kan konstruktionen av kvotfältet beskrivas på följande sätt. Betrakta en kategori vars objekt är integralringar och vars morfismer är injektiva ringhomomorfismer. Det finns en förglömmande funktion från kategorin fält till denna kategori (eftersom alla fälthomomorfismer är injektiva). Det visar sig att denna funktion har en vänsteradjoint , och den tilldelar en integralring dess bråkfält.

Egenskaper

• Ringen av fraktioner har den kanoniska strukturen av en algebra över ringen R, eftersom tillsammans med ringen S −1 R den kanoniska homomorfismen av ringen R till S −1 R omedelbart definieras (varje element r från R motsvarar bråkdelen r/1 ). Kärnan i denna homomorfism är idealet . Om systemet S är regelbundet (inte innehåller nolldelare) är denna homomorfism injektiv, och ringen R är således inbäddad i sin ring av kvotienter med avseende på systemet S . I detta fall är bråkdelen r/s den enda lösningen på ekvationen sx = r .
• Om båda elementen r och s tillhör S , så innehåller ringen S −1 R fraktionerna r/s och s/r . Deras produkt är 1, så de är inverterbara. Omvänt har varje inverterbart element i ringen S −1 R formen er/s , där r och s tillhör S och e  är ett inverterbart element i ringen R .
• Om R  är en euklidisk ring , så är vilken ring som helst mellan R och dess fraktionsfält en ring av fraktioner av ringen R av något multiplikativt system S.
• Om systemet S endast består av inverterbara element i ringen R , så övergår den kanoniska homomorfismen av ringen R till S −1 R till en isomorfism , eftersom varje bråkdel r/s visar sig vara kansellerbar i ringen R .
• Det finns en bijektion mellan mängden primideal S −1 R och mängden primideal R som inte skär mängden S (inducerad av homomorfismen R → S −1 R ). Ett viktigt specialfall av denna egenskap: lokalisering av en ring med ett primideal p ger en lokal ring vars enda primideal genereras av bilderna av elementen i p .

Exempel

• Fältet av kvotienter för ringen av heltal är fältet för rationella tal .
• Potenserna 10 bildar ett multiplikativt system. Ringen av kvoter med avseende på den kommer att vara ringen av ändliga decimalbråk.
• Fältet av kvotienter för polynomringen över fältet k kommer att vara fältet för rationella funktioner .
• Jämna tal bildar ett primideal. Lokaliseringen av ringen enligt den kommer att vara ringen av rationella bråk, där nämnaren i irreducerbar form är ett udda tal.
• Betrakta en polynomring k [ x ] och f = x . Då är R f  ringen av Laurents polynom k [ x, x −1 ].

Privata moduler

Ungefär samma konstruktion kan appliceras på moduler och för en godtycklig A -modul M betrakta modulen med kvotienter S −1 M . Låt oss nämligen  vara uppsättningen av modulelement som förintas genom multiplikation med något element i det multiplikativa systemet S , det är lätt att kontrollera att denna mängd är stängd under addition och multiplikation med ett element i ringen. Modulen för bråk S −1 M  är mängden formella bråk av formen m/s med ekvivalensrelationen , om , med den vanliga operationen av addition av bråk, och även med operationen av multiplikation med element i ringen S − 1 A av formen m/s * a/s' = am /ss' .

Låta vara  en homomorfism av A -moduler, det inducerar en homomorfism av S −1 A -moduler som avbildar m /s till u(m)/s . Det är uppenbart att , det vill säga operationen S −1 är en funktor . Dessutom är denna funktion exakt . [1] Det följer att om är en undermodul av , då är en undermodul av . Om vi ​​betraktar två undermoduler av en given modul, så pendlar tillämpningen av S −1 till dem med att ta summan av moduler, skärningspunkten mellan moduler och att ta kvotmodulen.

Det finns en representation av kvotmodulen med hjälp av en tensorprodukt: Av denna representation och av lokaliseringsfunktorns precision följer att modulen är platt .

Lokala egenskaper

En egenskap P för en ring A (eller en A -modul M ) kallas lokal om följande påståenden är ekvivalenta:

• A (resp. M ) har egenskapen P ,
• A I (resp. M I ) har egenskapen P för alla primideal I i ringen A .

Följande exempel på lokala egenskaper kan ges: egenskapen för en modul att vara lika med noll, egenskapen för en homomorfism att vara injektiv eller surjektiv (man måste överväga homomorfismer inducerade av lokalisering), egenskapen för en modul att vara platt .

Anteckningar

1. ↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. – 2003.

Länkar

• Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
• Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - T.1. — M .: IL, 1963.