Schema (matematik)

Schema är en matematisk abstraktion som låter dig koppla algebraisk geometri , kommutativ algebra och differentialgeometri och överföra idéer från ett område till ett annat. I första hand tillåter begreppet ett schema en att överföra geometrisk intuition och geometriska konstruktioner såsom tensorfält , buntar och differentialer , till ringteori . Historiskt sett uppstod schemateorin med målet att generalisera och förenkla den klassiska algebraiska geometrin i den italienska skolan från 1800-talet, som sysslar med studiet av polynomekvationer .

Huvudapparaten för teorin om scheman är teorin om kategorier , teorin om skivor , kommutativ och homologisk algebra .

I det följande betyder ordet "ring" alltid "en kommutativ associativ ring med enhet".

Historik och motiv för definitionen

Algebraiska geometrar från den italienska skolan använde det ganska vaga konceptet om en " gemensam punkt " för att bevisa satser om algebraiska varianter . Det antogs att påståenden som är sanna för en allmän punkt är sanna för alla punkter i mångfalden, förutom ett litet antal "speciella" punkter. Emmy Noether föreslog på 1920-talet ett sätt att förtydliga detta koncept: i koordinatringen av en algebraisk varietet (det vill säga i ringen av polynomfunktioner på varieteten) motsvarar maximala ideal punkter i varieteten och icke-maximala primideal till olika gemensamma punkter, en för varje undervarietet. Noether utvecklade dock inte detta tillvägagångssätt.

På 1930-talet tog Wolfgang Krull nästa steg: genom att ta en helt godtycklig kommutativ ring kan man överväga en uppsättning av dess främsta ideal, tillhandahålla Zariski-topologin och utveckla geometrin för dessa mer allmänna objekt. Andra matematiker såg inte poängen med en så stor allmänhet, och Krull övergav denna idé.

På 1950-talet började Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet och Masayoshi Nagata , för att komma närmare att bevisa Weyls gissningar , använda ett liknande tillvägagångssätt, och behandlade främsta ideal som poäng. Enligt Pierre Cartier användes ordet system först 1956 på Chevalleys seminarium [1] .

Efter detta gav Alexander Grothendieck en modern definition av krets, som sammanfattade tidigare experimentella förslag. Han definierar fortfarande spektrumet av en kommutativ ring som en uppsättning primära ideal med Zariski-topologin, men förser det också med en bunt av ringar: varje öppen delmängd av spektrumet är associerad med en kommutativ ring, i analogi med polynomringen. funktioner på denna uppsättning. De resulterande objekten är affina scheman; allmänna scheman erhålls genom att limma ihop flera affina scheman, i analogi med hur allmänna algebraiska varianter erhålls genom att limma affina varianter , och vanliga varianter genom att limma öppna delmängder . $\mathbb {R} ^{n}$

Många har kritiserat denna definition för att vara för allmän: vissa scheman i denna mening har inte en uppenbar geometrisk tolkning. Att ta hänsyn till dessa system gör dock egenskaperna för kategorin av alla system mer "rimliga". Dessutom leder studiet av modulutrymmen till scheman som inte är "klassiska". Behovet av att överväga scheman som inte i sig är algebraiska varianter (men är byggda av varieteter) har lett till ett gradvist antagande av en ny definition.

Definition

Ett av schemateorins grundläggande begrepp är lokalt ringade utrymmen .

Ett ringmärkt utrymme är ett topologiskt utrymme på vilket en bunt av ringar ges, som kallas en strukturkärve . Ett mellanslag sägs vara lokalt ringat om fibern i kärven vid varje punkt är en lokal ring . De huvudsakliga studieobjekten i differentialgeometri och topologi är lokalt ringade utrymmen; i det här fallet fungerar motsvarande bunt av funktioner som en strukturell bunt . Till exempel motsvarar topologiska utrymmen en bunt av kontinuerliga funktioner , släta grenrör till en bunt av släta funktioner , komplexa grenrör till en bunt av holomorfa funktioner . Påståendet att kärvens blad är en lokal ring betyder att man för vilket element som helst i ringen i strukturkärven kan bestämma dess värden vid varje punkt som hör till något fält , så att elementen i strukturkärven verkligen kan betraktas som funktioner. Observera att i det allmänna fallet bestäms en sådan "funktion" inte av dess punktvärden, även om det inte finns någon analog till detta fenomen i klassisk geometri.

Ett affint schema är ett lokalt ringat utrymme som är isomorft till spektrumet av någon ring med dess motsvarande strukturella kärve . Dessa definitioner tillåter oss att betrakta vilken öppen delmängd som helst som ett schema, medan för affina scheman gäller identiteten , vilket betyder motsvarigheten av de geometriska och algebraiska vyerna på ringen (det vill säga vilken ring som helst kan associeras med ett affint schema, och den affine systemet kan unikt återställa den ursprungliga ringen). ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec}}\;A}}({\mathrm {Spec}}\;A)=A$

Ett schema är ett lokalt ringat utrymme som kan täckas av öppna uppsättningar så att varje , tillsammans med begränsningen av strukturkärven till det, är ett affint schema. Denna definition kan förstås på olika sätt: man kan anse att varje punkt i schemat har en grannskap , vilket är ett affint schema, och man kan också tänka på schemat som ett resultat av att limma ihop en uppsättning affina scheman, i överensstämmelse med kärvens struktur. $(X,{\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Kategori av system

Schema bildar en kategori vars morfismer är morfismer av scheman som lokalt ringade utrymmen .

Konstruktionen som ger spektrumet en strukturell sträng definierar en kontravariant funktion :

{\mathrm {Spec}}\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Aff}}

från kategorin ringar till kategorin affina system. Det finns också en omvänd kontravariant funktion:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\to {\mathrm {CRing}}

( global sektionsfunktion ),

som tilldelar ett lokalt ringmärkt utrymme ringen av dess strukturella kärve. Detta funktionspar definierar kategoriekvivalensen . Den globala sektionsfunktionen kan definieras för godtyckliga scheman, eftersom vilket schema som helst är ett lokalt ringat utrymme. I denna allmänhet är spektrumfunktionern rätt konjugerad till den globala sektionsfunktorn: $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Schemes}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}( A,\;{\mathcal {O}}(X))

Spektrumet antas vara rätt konjugerat, eftersom sammanlimning av affina scheman kan generera scheman som inte är affina. Limningen av kretsar av en tom underkrets är en kolimit i kategorin kretsar. Eftersom det är cocomplet , så skulle, under villkoret av den vänstra konjugationen av spektrumet, all limning av affina scheman vara affina, och en icke-trivial (inte reducerad till ringteori) teori om scheman kunde helt enkelt inte existera. I ljuset av vad som har sagts noterar vi också att även om diagrammet för limning av affina scheman av ett underschema ligger i den kompletta kategorin av affine scheman, måste dess gräns beräknas i en större kategori, kategorin för alla scheman. Detta är ett lärorikt exempel på att en kategori kapslingsfunktion inte är skyldig att bevara gränser. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

Förekomsten av de adjoint-funktioner ovan tillåter oss att beskriva morfismer från ett godtyckligt schema till ett affint schema med ringhomomorfismer . Till exempel, eftersom är det initiala objektet för kategorin kommutativa ringar, är det terminala objektet för kategorin av scheman. $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec}}\;{\mathbb Z}$

Kategorin av scheman har ändliga produkter , men man måste vara försiktig när man använder dem, eftersom det topologiska utrymmet som motsvarar schemat inte alltid är isomorft med det topologiska utrymmet , utan har ofta "fler" punkter. Till exempel, om K är ett fält med nio element , då: $(X,{\mathcal O}_{X})\ gånger (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\ gånger Y$

{\mathrm {Spec}}\;K\times {\mathrm {Spec}}\;K\cong {\mathrm {Spec}}\;K\otimes _{({\mathbb Z}}}K\cong { \mathrm {Spec}}\;K\ gånger K

—

består av två punkter, medan Spec K består av en punkt (nollidealet).

För ett fast schema S har kategorin scheman över S också fiberprodukter, och av det faktum att den har ett terminalobjekt S följer att alla ändliga gränser finns i det , det vill säga kategorin scheman över ett givet schema är ändligt komplett .

Andra definitionen av scheman

I algebraisk geometri definieras scheman vanligtvis på det sätt som beskrivits ovan. Men i vissa av dess tillämpningar (till exempel i teorin om linjära algebraiska grupper ) är ett annat tillvägagångssätt mer användbart, vilket är mycket mer abstrakt och kräver goda kunskaper om kategoriteori. I detta språk definieras ett schema inte som ett geometriskt objekt, utan som en funktion från kategorin ringar. Vi kommer inte att överväga detta tillvägagångssätt i detalj här, se boken [2] för detaljer .

Ett affint schema är en representativ funktion : ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathrm {Spec}}\;A\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$

({\mathrm {Spec}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Bland alla funktörer sticker en särskilt viktig och lättlärd klass som kallas scheman ut. Ett schema är nämligen en funktor som är en bunt av uppsättningar med avseende på Grothendieck-topologin som genereras av Zariski-öppna epimorfismer av ringar och täcks av Zariski-öppna mappningar av affina scheman i kategorin funktorer . System som inte är affina är icke-representerbara funktioner i kategorin ringar. En schemamorfism definieras som en naturlig transformation av motsvarande funktioner. Enligt Yonedas lemma , $X$ $X\kolon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $\left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\vänster[(A;\cdot );X\höger]=\vänster[{\mathrm {Spec}}A;X\höger]

Detta uttalande etablerar ett samband med den geometriska teorin om scheman som ges ovan, eftersom den grundläggande satsen om morfismer av scheman säger att funktorn

Y\colon {\mathrm {Schemes}}\to \left[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Set}}\right]

Y(X)=\vänster(\cdot ;X\höger)

är ganska univalent . Dessutom är bilden av inbäddningen exakt de funktionerna på affina scheman som uppfyller ovanstående villkor.

Exempel

Den affina linjen är en glömsk funktion som tilldelar varje ring sin ämnesuppsättning. Strukturen på ringen på den definierar strukturen på ringen på setet för vilket schema som helst , därför kallas det ringen av funktioner på . Den affina linjen är ett affint schema, den motsvarar polynomringens spektrum . $O$ $O\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Set}}$ $[PUSS KRAM]$ $X$ $[PUSS KRAM]$ $X$ $\mathbb{Z } [T]$
Grassmannian ( är dimensionen av Grassmannian) är en funktion som tilldelar en ring uppsättningen av direkta rangordnader i modulen . Pilen avbildar till displayen . I synnerhet är ett n-dimensionellt projektivt utrymme , är en projektiv linje . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\till S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Anteckningar

↑ Ett schema i betydelsen Chevalley är ett specialfall av det moderna schemat: dess definition fungerar bara för irreducerbara grenrör. Se Cartier, Pierre , A mad day's work: from Grothendieck till Connes och Kontsevich. Utvecklingen av begreppen rymd och symmetri. - Tjur. amer. Matematik. Soc., 38 (2001), nr. 4, sid. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Introduktion till algebraisk geometri och algebraiska grupper. - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 sid. - ISBN 0-444-85443-6 .

Litteratur

Mumford D. Den röda boken av sorter och scheman. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 sid. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraisk geometri = Algebraisk geometri. — M .: Mir , 1981. — 597 sid.
Shafarevich I. R. Grunderna i algebraisk geometri. - 2:a uppl. - M . : Nauka , 1988. - V. 2. Schemes. Komplexa grenrör. — 304 sid. - 5900 exemplar. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . Schemens geometri. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .

Länkar

Ravi Vakil , Math 216: Foundations of Algebraic Geometry (version 06/11/2013) - anteckningar från en kurs i algebraisk geometri som ges vid Stanford University .