Maximalt ideal

Ett maximalt ideal för en kommutativ ring är alla riktiga ideal för ringen som inte finns i något annat egentligt ideal.

Egenskaper

• (Vi antar vidare att vi talar om ringar med en enhet .) Uppsättningen av alla ideal för en ring är induktivt ordnad med avseende på inkludering, därför ( Zorns Lemma ) i vilken ring som helst finns det dessutom maximala ideal för alla riktiga ideal I av ringen R finns ett maximalt ideal för ringen R , som innehåller den.

• Om ett element a i ringen R inte är inverterbart , bildar alla element i ringen som är multipler av den ett riktigt ideal. Därför finns varje oåterkalleligt element i ringen i något maximalt ideal. Om ett element a är inverterbart, sammanfaller alla ideal som innehåller det med hela ringen, så inverterbara element ingår inte i något egentligt ideal, respektive, och i något maximalt.

• Om alla irreversibla element i ringen R bildar ett ideal, är det maximalt, och dessutom unikt - det finns inga andra maximala ideal i ringen R. (Det omvända är också sant: om ett maximalt ideal i en ring R är unikt inkluderar det alla icke-inverterbara element i ringen.) I det här fallet kallas ringen R en lokal ring .

• En karakteristisk egenskap för ett maximalt ideal: ett ideal för en ring är maximalt om och endast om kvotringen är ett fält (varje element som inte är noll i det är inverterbart).

• Om ringen R har strukturen av en Banach-algebra över fältet av komplexa tal C , så är kvotringen av den maximala idealen R/I isomorf till C . I detta fall definierar idealet I en homomorfism av ringen R i fältet C vars kärna är idealet I.
  För varje a finns ett enda tal så att ( e är identiteten för algebra R ). Korrespondens är samma homomorfism.

• Det följer av den karakteristiska egenskapen att varje maximal ideal är prime .

Exempel

• I ringen av heltal Z är de maximala idealen alla primideal : om p är ett primtal är idealet ( p )= pZ maximalt . Till exempel bildar jämna tal ett maximumideal, och tal som är multiplar av 4 bildar ett ideal, men inte ett maximum - detta ideal ingår i idealet för jämna tal.
• I polynomringen k[X,Y] , där k är ett algebraiskt slutet fält , är de maximala idealen av formen .
• Ringen av potensserier över fältet k är en lokal ring . Oåterkalleliga element är de som inte innehåller en gratis medlem. De bildar ett ideal. Han är det enda maximala idealet i denna ring.