Faktor ring

En kvotring är en allmän algebraisk konstruktion som gör det möjligt att utvidga kvotgruppskonstruktionen till fallet med ringar . Vilken ring som helst är en additionsgrupp , så vi kan överväga dess undergrupp och ta faktorgruppen. Men för att korrekt definiera multiplikation på denna kvotgrupp är det nödvändigt att den ursprungliga undergruppen stängs under multiplikation med godtyckliga element i ringen, det vill säga vara ett ideal .

Definition

Låt vara en dubbelsidig ideal av ringen . Låt oss definiera ekvivalensrelationen : $jag$ $R$ $R$

a\sim b

om och endast om

ab\in jag.

Ekvivalensklassen för ett element betecknas som eller och kallas coset-klassen modulo the ideal. En kvotring är en uppsättning coset av element modulo , på vilka operationerna för addition och multiplikation definieras enligt följande: $a$ $[a]$ $a+I$ $R/I$ $R$ $jag$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

Det är lätt att kontrollera att dessa operationer är väldefinierade, det vill säga att de inte beror på valet av en specifik representant för coset-klassen . Till exempel kontrolleras multiplikationens korrekthet enligt följande: låt . Sedan . I det sista steget av beviset stängs idealet under multiplikation med ett element i ringen (både vänster och höger) och stängs under addition. $a$ $a+I$ $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{{1,2}}\in I$ $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab +I$

Relaterade satser

Ring homomorfism sats :

Om är en surjektiv homomorfism av en ring på en ring , då är kärnan ett ideal för ringen , och ringen är isomorf till kvotringen .

f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

\ker \,f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

{\mathrm {K}}/\ker \,f

Omvänt, om är ett ideal för ringen , då kartan som definieras av villkoret är en homomorfism av ringen på med kärna .

{\mathrm {J}}

\mathrm{K}

f:{\mathrm {K}}\to {\mathrm {K/J}}

f(a)=a+{\mathrm {J}),\forall a\in {\mathrm {K}}

{\mathrm {J}}

{\mathrm {K/J}}

{\mathrm {J}}

Satsen är analog med grupphomomorfismsatsen .

Ett ideal för en ring är primtal ( maximal ) om och endast om kvotringen är en integralring ( fält ). ${\mathrm {J}}$ $\mathrm{K}$ ${\mathrm {K/J}}$
Enligt den kinesiska restsatsen , om är parvisa coprime ideal (det vill säga summan av två av dem är lika med hela ringen), så är kvotringen av deras produkt (eller, ekvivalent, genom deras skärningspunkt ) isomorf till produkten av faktorer i formen . $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ $R/(I_{i})$

Exempel

Låta vara ringen av heltal , vara den ideala bestående av multiplar av . Sedan är en finit restring modulo . En sådan ring betecknas också eller . [ett] $\mathbb {Z}$ $n{\mathbb Z}$ $n$ ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ $n$ $\mathbb Z_n$ $\mathbb {Z} /(n)$
Betrakta en polynomring med reella koefficienter och ett ideal som består av polynom som är multipler av . Faktorringen är isomorf till fältet av komplexa tal : klassen motsvarar den imaginära enheten. Faktum är att i kvotringen är elementen och ekvivalenta, det vill säga . ${\mathbb R}[x]$ $x^{2}+1$ ${\mathbb R}[x]/(x^{2}+1)$ $[x]$ $x^{2}+1$ $0$ $x^{2}=-1$
Genom att generalisera det föregående exemplet används faktorringar ofta för att konstruera fältförlängningar . Låta vara något fält och vara ett irreducerbart polynom i . Sedan är ett fält, och det här fältet innehåller minst en polynomrot , närliggande klass för elementet . $K$ $f(x)$ $K[x]$ $K[x]/(f(x))$ $f(x)$ $x$
Ett viktigt exempel på användningen av den tidigare konstruktionen är konstruktionen av finita fält . Betrakta ett ändligt fält av två element (som i detta sammanhang vanligtvis betecknas som ). Polynomet är irreducerbart över detta fält (eftersom det inte har några rötter), därför är kvotringen ett fält. Detta fält består av fyra element: 0, 1, x och x +1. Alla finita fält kan konstrueras på liknande sätt. ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $\mathbb {F} _{2}$ $x^{2}+x+1$ ${\mathbb F}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

Anteckningar

↑ Lidl, Niederreiter, 1998 , exempel 1.37, sid. 27.

Litteratur

Vinberg E.B. Algebrakurs. - 3:e upplagan - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 sid.
Lidl R., Niederreiter G. Finita fält. I 2 vol. — M .: Mir, 1998. — 430 sid. — ISBN 5-03-000065-8 .