Homomorfism

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Homomorfism (från annan grekisk ὁμός - lika, identisk och μορφή - typ, form) är en morfism i kategorin algebraiska system , det vill säga en kartläggning av det algebraiska systemet A , som bevarar de grundläggande operationerna och grundläggande relationerna.

Definition

En kartläggning kallas en grupphomomorfism , om den omvandlar en gruppoperation till en annan: , det vill säga bilden av produkten är lika med produkten av bilderna. $f\colon G_{1}\to G_{2}$ $(G_{1},*)$ $(G_{2},\times )$ $f(a*b)=f(a)\ gånger f(b)$

Begreppet homomorfism som en relation mellan ett par algebraiska system började användas i den tyske matematikern Frobenius verk , och en generaliserad definition formulerades av Emmy Noether 1929. Särskilda fall av homomorfism är isomorfism och automorfism [1] . Någon allmän teori, som förfinar begreppen homomorfism, isomorfism och morfism, föreslogs av den välkända gruppen franska matematiker Nicolas Bourbaki i deras bok The Theory of Sets (kapitel IV, § 2).

Relaterade definitioner

En homomorf bild är en bild av ett matematiskt objekt som har strukturen av en semigrupp, grupp, ring, algebra under en homomorf kartläggning. Ibland talar de också om homomorfa bilder av andra matematiska objekt, till exempel grafer.
Homomorfism kärna
- för en homomorfism av Abelska grupper (särskilt för ringar , vektorrum , etc.) - den omvända bilden av noll,
- för allmänna grupper - enhetens prototyp.

Egenskaper

Kärnan i homomorfismen är en normal undergrupp. Den homomorfa bilden av en grupp är isomorf till kvotgruppen med avseende på kärnan i homomorfismen (homomorfismens sats).

Typer av homomorfismer

Monomorfism är en enkelvärdig ( injektiv ) homomorfism
Epimorfism är en surjektiv homomorfism
En bimorfism är en en-till-en ( bijektiv ) homomorfism
Isomorfism - en homomorfism med närvaron av en omvänd homomorfism
Endomorfism är en homomorfism in i själva uppsättningen
Automorfism är en isomorfism på själva uppsättningen

Se även

Faktorgrupp

Anteckningar

↑ Homomorphism // Systemanalys och beslutsfattande: Ordbok-Referens. - M . : Högre skola, 2004. - S. 72. - 616 sid. - BBK 32.817 . - UDC 005 . — ISBN 5-06-004875-6 .

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics - 1970, sid. 332 (1974, sid. 373).

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4160602-4 J9U : 987007565420605171 LCCN : sh85061771 NKC : ph714665