Ingenting, Emmy

Emmy Noether
tysk  Amalie Emmy Noether
Namn vid födseln tysk  Amalie Emmy Noether
Födelsedatum 23 mars 1882( 23-03-1882 ) [1] [2] [3] […]
Födelseort Erlangen , tyska riket
Dödsdatum 14 april 1935( 1935-04-14 ) [4] [1] [2] […] (53 år)
En plats för döden
Land
Vetenskaplig sfär matte
Arbetsplats
Alma mater Erlangens universitet
Akademisk examen doktorsexamen ( 1907 ) och habilitering [6] ( 1919 )
vetenskaplig rådgivare Paul Gordan
Studenter Van der Waerden, Barthel Leendert
känd som författare till Noethers teorem
Utmärkelser och priser Ackermann-Töbner-priset
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Amalie Emmy Noether ( tyska:  Amalie Emmy Noether ; 1882–1935) var en tysk matematiker mest känd för sina bidrag till abstrakt algebra och teoretisk fysik . Pavel Aleksandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl och Norbert Wiener ansåg henne vara den mest betydelsefulla kvinnan i matematikens historia [7] [8] [9] . Som en av 1900-talets största matematiker revolutionerade hon teorin om ringar , fält och algebror . Inom fysiken upptäckte Noethers teorem först sambandet mellan symmetri i naturen och bevarandelagar .

Noether föddes i en judisk familj i den frankiska staden Erlangen . Hennes föräldrar, matematikern Max Noether och Ida Amalia Kaufman, kom från rika köpmansfamiljer. Noether hade tre bröder: Alfred, Robert och Fritz ( Fritz Maximilianovich Noether ), en tysk och sovjetisk matematiker.

Emmy planerade ursprungligen att undervisa i engelska och franska efter att ha klarat sina respektive prov, men började istället studera matematik vid universitetet i Erlangen , där hennes far föreläste. Efter att ha försvarat sin avhandling 1907, skriven under överinseende av Paul Gordan , arbetade hon gratis vid det matematiska institutet vid universitetet i Erlangen i sju år (vid den tiden var det nästan omöjligt för en kvinna att ta en akademisk position).

År 1915 flyttade Noether till Göttingen , där de berömda matematikerna David Hilbert och Felix Klein fortsatte att arbeta med relativitetsteorin , och Noethers kunskap om invariant teori var nödvändig för dem. Hilbert försökte göra Noether till Privatdozent vid universitetet i Göttingen , men alla hans försök misslyckades på grund av professurens fördomar, främst inom filosofiska vetenskaper. Noether föreläste dock ofta för Hilbert utan att ha något ämbete. Först i slutet av första världskriget kunde hon bli privatdozent  - 1919 , sedan frilansprofessor (1922).

Noether höll sig till socialdemokratiska åsikter. Under 10 år av sitt liv samarbetade hon med matematiker i Sovjetunionen ; läsåret 1928/1929 kom hon till Sovjetunionen och föreläste vid Moskvas universitet , där hon påverkade L. S. Pontryagin [10] och särskilt P. S. Aleksandrov , som tidigare ofta varit i Göttingen.

Noether var en av de ledande medlemmarna av Matematiska institutionen vid universitetet i Göttingen , hennes studenter kallas ibland "Noether-pojkar". År 1924 anslöt sig den holländska matematikern Barthel van der Waerden till hennes krets och blev snart den ledande exponenten för Noethers idéer: hennes arbete låg till grund för den andra volymen av hans berömda lärobok Modern Algebra från 1931 När Noether talade vid plenarmötet för International Congress of Mathematicians i Zürich 1932, var hennes fina algebraiska känsla erkänd över hela världen. Tillsammans med sin elev Emil Artin får hon priset Ackermann-Töbner för prestationer i matematik.

Efter att nazisterna kom till makten 1933 togs judarna bort från undervisningen vid universitetet, och Noether var tvungen att emigrera till USA , där hon blev lärare vid ett kvinnohögskola i Bryn Mawr ( Pennsylvania ).

Noethers matematiska arbeten är indelade i tre perioder [11] . Under den första perioden (1908-1919) utvecklade hon teorin om invarianter och talfält. Hennes differentialinvariantsats i variationskalkylen , Noethers sats , har kallats "en av de viktigaste matematiska teorem som används i modern fysik" [12] . Under sin andra period (1920-1926) åtog hon sig arbete som "förändrade ansiktet på [abstrakt] algebra" [13] . I sin klassiska Idealtheorie in Ringbereichen ("The Theory of Ideals in Rings", 1921) [1] Arkiverad 3 oktober 2017 på Wayback Machine utvecklade Noether en teori om ideal för kommutativa ringar som är lämplig för ett brett spektrum av tillämpningar. Hon hittade ett snyggt sätt att använda det stigande kedjevillkoret , och föremål som uppfyller detta villkor kallas Noetherian efter henne. Den tredje perioden (1927-1935) präglas av hennes publikationer om icke- kommutativ algebra och hyperkomplexa tal , Noether kombinerade teorin om grupprepresentationer med teorin om moduler och ideal. Förutom sina egna publikationer delade Noether generöst med sig av sina idéer till andra matematiker. Några av dessa idéer var långt ifrån huvudströmmen i Noethers forskning, till exempel inom området algebraisk topologi .

Ursprung och personligt liv

Aleksandrov Pavel Sergeevich

Höjdpunkten på allt jag hörde i somras i Göttingen var Emmy Noethers föreläsningar om den allmänna teorin om ideal ... Självklart lades själva början av teorin av Dedekind , men bara början: teorin om ideal i alla de rikedomen av dess idéer och fakta, en teori som har haft en så stor inverkan på modern matematik, är skapandet av Emmy Noether. Jag kan bedöma detta eftersom jag känner till både Dedekinds verk och Noethers huvudverk om idealteori.
Noethers föreläsningar fängslade både mig och Urysohn. De var inte lysande i formen, men de erövrade oss med rikedomen av sitt innehåll. Vi såg ständigt Emmy Noether i en avslappnad atmosfär och pratade mycket med henne, både om ämnesteorin om ideal och om ämnena för vårt arbete, som omedelbart intresserade henne.
Vår bekantskap, som började levande i somras, fördjupades mycket sommaren därpå och förvandlades sedan, efter Urysohns död, till den där djupa matematiska och personliga vänskapen som fanns mellan Emmy Noether och mig till slutet av hennes liv. Den sista manifestationen av denna vänskap från min sida var ett minnestal av Emmy Noether vid ett möte i Moskvas internationella topologiska konferens i augusti 1935.

Emmys far, Max Noether (1844–1921), kom från en rik familj av järngrossister från Mannheim  - hans farfar Elias Samuel grundade familjehandelsfirman i Bruchsal 1797. Vid 14 års ålder, på grund av polio , blev han förlamad. Senare återfick han sin kapacitet, men ena benet förblev orörligt. År 1868 tog Max Noether, efter sju år av mestadels oberoende studier, sin doktorsexamen från universitetet i Heidelberg . Max Noether bosatte sig i den bayerska staden Erlangen , där han träffade och gifte sig med Ida Amalia Kaufmann (1852-1915), dotter till en förmögen Kölnerköpman Markus Kaufmann [14] [15] [16] . I fotspåren av Alfred Clebsch gjorde Max Noether ett stort bidrag till utvecklingen av algebraisk geometri . De mest kända resultaten av hans arbete är Brill-Noether-satsen och AF + BG -satsen .

Emmy Noether föddes den 23 mars 1882, hon var den äldsta av fyra barn. Tvärtemot vad många tror är "Emmy" inte en förkortad version av namnet Amalia, utan ett mellannamn för Noether. Namnet "Amalia" gavs till henne för att hedra hennes mor och farmor Amalia (Malchen) Würzburger (1812-1872); men redan ganska tidigt gav flickan företräde åt mellannamnet, även om hon i officiella dokument förekommer som Amalia Emmy eller Emmy Amalia [17] [18] [19] [20] . Emmy var ett charmigt barn, kännetecknat av intelligens och vänlighet. Noether hade närsynthet och lispade lite som barn. År senare berättade en familjevän historien om hur unga Noether, på ett barnkalas, lätt hittade lösningen på ett pussel och visade sin logiska skarpsinne i så tidig ålder.[ förtydliga ] [21] . Som barn tog Noether pianolektioner , medan de flesta unga flickor lärde sig matlagning och städning. Men hon kände ingen passion för denna typ av aktivitet, men hon älskade att dansa [22] [23] .

Noether hade tre yngre bröder. Den äldste, Alfred, föddes 1883 och doktorerade 1909 i kemi vid universitetet i Erlangen. Efter 9 år dog han. Fritz Noether , född 1884, blev framgångsrik i tillämpad matematik efter att ha studerat i München . Den 8 september 1941 sköts han nära Orel . En yngre bror, Gustav Robert, föddes 1889, och mycket lite är känt om hans liv; han led av kronisk sjukdom och dog 1928 [24] [25] .

Noethers personliga liv fungerade inte. Icke-erkännande, exil, ensamhet i ett främmande land, verkar det som, borde ha förstört hennes karaktär. Ändå verkade hon nästan alltid lugn och välvillig. Hermann Weil skrev det till och med glad.

Lärande och undervisning

University of Erlangen

Inte lätt att lära sig franska och engelska. Våren 1900 klarade hon lärarexamen i dessa språk och fick det övergripande betyget "mycket bra". Noethers kvalifikationer gjorde det möjligt för henne att undervisa i språk på flickskolor, men hon valde att studera vidare vid universitetet i Erlangen .

Det var ett oklokt beslut. Två år tidigare meddelade universitetets akademiska råd att införandet av samutbildning skulle "förstöra de akademiska grunderna" [26] . På universitetet, av 986 studenter, studerade bara två flickor, varav en var Noether. Samtidigt kunde hon bara gå på föreläsningar utan rätt att ta tentamen , dessutom behövde hon tillstånd från de professorer vars föreläsningar hon ville gå på. Trots dessa hinder klarade hon den 14 juli 1903 sin sista examen vid Nürnberg Real Gymnasium [27] [26] [28] .

Under vinterhalvåret 1903–1904 studerade Noether vid universitetet i Göttingen och deltog i föreläsningar av astronomen Karl Schwarzschild och matematikerna Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein och David Hilbert . Snart lyftes restriktioner för utbildning av kvinnor vid detta universitet.

Noether återvände till Erlangen och återinsattes officiellt vid universitetet den 24 oktober 1904. Hon meddelade sin önskan att uteslutande studera matematik. Under ledning av Paul Gordan skrev Noether 1907 en avhandling om konstruktionen av ett komplett system av invarianter av ternära biquadratiska former. Även om arbetet mottogs väl, kallade Noether det senare "skräp" [29] [30] [31] .

Under de följande sju åren (1908-1915) undervisade hon gratis vid det matematiska institutet vid universitetet i Erlangen , ibland ersatte hon sin far när hans hälsa gjorde det omöjligt att föreläsa.

Gordan gick i pension våren 1910, men fortsatte då och då att undervisa med sin efterträdare, Erhard Schmidt , som kort därefter flyttade till Wrocław . Gordan avslutade slutligen sin lärarkarriär 1911, med Ernst Fischers ankomst i hans ställe, och i december 1912 dog han.

Enligt Hermann Weyl hade Fischer ett viktigt inflytande på Noether, i synnerhet genom att introducera henne till David Hilberts arbete . Från 1913 till 1916 publicerade Noether flera artiklar som generaliserade och använde Hilberts metoder för att studera matematiska objekt som rationella funktionsfält och finita gruppinvarianter . Denna period markerar början på hennes arbete inom abstrakt algebra, ett område inom matematiken där hon skulle göra revolutionära upptäckter.

Noether och Fischer var riktigt nöjda med matematik och diskuterade ofta föreläsningarna efter att de hade slutförts. Det är känt att Noether skickade vykort till Fischer, som visar hur hennes matematiska tanke fortsätter att fungera [32] [33] [34] .

Högskolan i Göttingen

Våren 1915 fick Noether en inbjudan att återvända till universitetet i Göttingen från David Hilbert och Felix Klein . Men deras önskan blockerades av filologer och historiker från filosofiska fakulteten, som trodde att en kvinna inte kunde vara en privatdozent. En av lärarna protesterade: "Vad kommer våra soldater att tänka när de återvänder till universitetet och upptäcker att de måste lära sig vid en kvinnas fötter?" [35] [36] [37] Hilbert svarade indignerat och sa: "Jag förstår inte varför en kandidats kön skulle vara ett argument mot att hon skulle väljas till Privatdozent . Detta är trots allt ett universitet, inte ett herrbad! [35] [36] [37] .

Noether reste till Göttingen i slutet av april; två veckor senare dog hennes mamma plötsligt i Erlangen . Hon hade tidigare konsulterat läkare om sina ögon, men sjukdomens natur och dess samband med döden förblev okända. Ungefär samtidigt gick Noethers far i pension och hennes bror tog värvning i den tyska armén för att slåss i första världskriget . Noether återvände till Erlangen för några veckor för att ta hand om sin åldrande far .

Under sina första år som lärare i Göttingen fick Noether ingen lön för sitt arbete och hade ingen officiell tjänst; hennes familj betalade för boende och måltider och det gjorde det möjligt att arbeta på universitetet. Man trodde att föreläsningarna hon höll var Hilberts föreläsningar, och Noether fungerade som hans assistent.

Kort efter ankomsten till Göttingen visade Noether sina förmågor genom att bevisa en sats, nu känd som Noethers sats , som relaterar någon bevarandelag till varje differentierbar symmetri i ett fysiskt system [37] [39] . De amerikanska fysikerna Leon M. Lederman och Christopher T. Hill skriver i sin bok "Symmetry and the Beautiful Universe" att Noethers sats är "säkert en av de viktigaste matematiska satserna som används i modern fysik, kanske är den på samma nivå som Pythagoras teorem " [40] .

Första världskriget efterträddes av den tyska revolutionen 1918-1919 , som medförde betydande förändringar i sociala relationer, inklusive utvidgningen av kvinnors rättigheter. År 1919 fick Noether vid universitetet i Göttingen genomgå ett habiliteringsförfarande för att få en fast tjänst. En muntlig tentamen för Noether hölls i slutet av maj och i juni disputerade hon framgångsrikt på sin doktorsavhandling.

Tre år senare fick Noether ett brev från den preussiske ministern för vetenskap, konst och offentlig utbildning, där hon fick titeln professor med begränsade interna administrativa rättigheter och funktioner [41] . Även om vikten av hennes arbete erkändes, fortsatte Noether fortfarande att arbeta gratis. Ett år senare förändrades situationen och hon utsågs till tjänsten Lehrbeauftragte für Algebra ("lektor i algebra") [42] [43] [44] .

Grundläggande verk inom området abstrakt algebra

Även om Noethers teorem hade en djupgående effekt på fysiken, är den främst ihågkommen av matematiker för dess enorma bidrag till allmän algebra . I förordet till en samling av Noethers artiklar skriver Nathan Jacobson att "utvecklingen av allmän algebra, som har blivit en av de mest anmärkningsvärda innovationerna inom matematiken under 1900-talet, är till stor del Noethers förtjänst - hennes publicerade artiklar, hennes föreläsningar , hennes personliga inflytande på samtida" [45] .

Noether började sitt banbrytande arbete på algebra 1920 och publicerade ett gemensamt dokument med Schmeidler där de definierade vänster- och högerringsideal . Året därpå publicerade hon en artikel med titeln Idealtheorie in Ringbereichen ("The Theory of Ideals in Rings"), där hon analyserade det brytande villkoret för stigande kedjor av ideal. Algebraisten Irving Kaplansky kallade detta arbete "revolutionärt" [46] . Efter publiceringen av artikeln dök begreppet " noeteriska ringar " upp, och några andra matematiska objekt började kallas " noeteriska " [46] [47] [48] .

1924 anlände den unge holländska matematikern Barthel van der Waerden till universitetet i Göttingen. Han började genast arbeta med Noether. Van der Waerden sa senare att hennes originalitet var "absolut oöverträffad" [49] . 1931 gav han ut läroboken "Modern Algebra"; när han skrev andra volymen av sin lärobok, lånade han mycket från Noethers arbete. Även om Noether inte sökte erkännande för sina tjänster, lade van der Waerden till en anteckning i den sjunde upplagan om att hans bok "delvis var baserad på föreläsningar av E. Artin och E. Noether" [50] [51] . Det är känt att många av Noethers idéer först publicerades av hennes kollegor och studenter [52] [53] [19] . Hermann Weil skrev:

Mycket av det som utgör innehållet i andra volymen av van der Waerdens Modern Algebra ( Nu helt enkelt Algebra ) måste bero på Emmy Noether.

Van der Waerdens besök var ett av ett stort antal besök av matematiker från hela världen i Göttingen, som blev ett stort centrum för matematisk och fysisk forskning. Från 1926 till 1930 föreläste den ryske topologen Pavel Sergeevich Aleksandrov vid universitetet; han och Noether blev snabbt goda vänner. Hon försökte få honom en professur i Göttingen, men kunde bara ordna så att han fick ett stipendium från Rockefeller Foundation [54] [55] . De träffades regelbundet och njöt av diskussioner om sambanden mellan algebra och topologi. År 1935, i ett tal tillägnat vetenskapsmannens minne, kallade Alexandrov Emmy Noether för "den största kvinnliga matematikern genom tiderna" [56] .

Föreläsningar och studenter

I Göttingen utbildade Noether mer än ett dussin doktorander; dess första examen var Greta Herman , som avslutade sin avhandling i februari 1925. Senare hänvisade hon respektfullt till Noether som "mamma-avhandlingar". Noether övervakade också arbetet av Max Duering , Hans Fitting och Zeng Ching Jie. Hon arbetade också nära med Wolfgang Krull , som gjorde ett stort bidrag till utvecklingen av kommutativ algebra , vilket bevisade huvudidealsatsen och utvecklade dimensionsteorin för kommutativa ringar [57] .

Utöver sin matematiska insikt var Noether respekterad för sin uppmärksamhet på andra. Även om hon ibland agerade oförskämt mot dem som inte höll med henne, var hon ändå snäll och tålmodig mot nya studenter. För hennes strävan efter matematisk precision kallade en av hennes kollegor Noether för "en allvarlig kritiker". Samtidigt existerade även en omtänksam attityd till människor hos henne [58] . En kollega beskrev henne senare så här: "Inte alls självisk eller inbilsk, hon gjorde ingenting för sig själv, hon satte sina elevers arbete över allt annat" [59] .

Hennes blygsamma livsstil till en början berodde på att hennes arbete inte var betalt. Men även efter att universitetet började betala henne en liten lön 1923, fortsatte hon att leva en enkel och sparsam livsstil. Senare började hon få generösare ersättning för sitt arbete, men avsatte halva lönen, så att hon senare skulle testamentera den till sin brorson, Gottfried E. Noether [60] .

Noether brydde sig inte mycket om hennes utseende och uppförande, biografer antyder att hon var helt fokuserad på vetenskap. Den framstående algebraisten Olga Todd beskrev en middag under vilken Noether, helt nedsänkt i diskussionen om matematik, "gestikulerade frenetiskt, ständigt spilla mat och torka av den med sin klänning med en deadpan" [61] .

Enligt van der Waerdens dödsruna följde inte Noether lektionsplanen i sina föreläsningar, vilket gjorde vissa elever upprörda. Istället använde hon föreläsningstiden till spontana diskussioner med eleverna för att tänka igenom och klargöra viktiga frågor i matematikens framkant. Några av de viktigaste resultaten av hennes arbete kom från dessa föreläsningar, och hennes studenters föreläsningsanteckningar låg till grund för van der Waerdens och Duerings läroböcker. Noether är känd för att ha levererat minst fem terminskurser i Göttingen [62] :

Dessa kurser föregick ofta stora publikationer inom dessa områden.

Noether pratade snabbt, vilket krävde mycket uppmärksamhet från eleverna. Studenter som ogillade hennes stil kände sig ofta alienerade [63] [64] . Några elever märkte att hon var för benägen för spontana diskussioner. De mest hängivna studenterna beundrade dock den entusiasm med vilken hon presenterade matematik, särskilt när hennes föreläsningar baserades på det arbete som tidigare gjorts med dessa elever.

Noether bevisade sin hängivenhet för både ämnet och sina studenter genom att fortsätta studera dem efter föreläsningarna. En dag, när universitetsbyggnaden var stängd för en nationell helgdag, samlade hon studenterna på verandan, ledde dem genom skogen och höll en föreläsning på ett lokalt café . Efter att den nationalsocialistiska regeringen kom till makten 1933 avskedades Noether från universitetet. Hon bjöd in elever till sitt hus för att diskutera framtidsplaner och matematikfrågor [66] .

Moskva

Vintern 1928–29 accepterade Noether en inbjudan att arbeta vid Moscow State University , där hon fortsatte att arbeta med Pavel Sergeevich Alexandrov. Förutom att bedriva forskning, lärde Noether abstrakt algebra och algebraisk geometri . Hon arbetade också med Lev Semyonovich Pontryagin och Nikolai Grigoryevich Chebotarev , som senare krediterade henne för hennes bidrag till utvecklingen av Galois-teorin [67] [68] [56] .

Politiken var inte central i Noethers liv, men hon visade stort intresse för 1917 års revolution. Hon trodde att bolsjevikernas tillträde till makten bidrog till matematikens utveckling i Sovjetunionen. Hennes inställning till Sovjetunionen ledde till problem i Tyskland: hon blev därefter vräkt från byggnaden av pensionatet, efter att ledarna för studenterna sa att de inte ville bo under samma tak med en "marxistiskt sinnad judinna" [ 56] .

Noether planerade att återvända till Moskva, där hon fick stöd från Alexandrov. Efter hennes avresa från Tyskland 1933 försökte han få en stol åt henne vid Moskvas statsuniversitet. Även om dessa ansträngningar var misslyckade, överensstämde Noether och Alexandrov om möjligheten att hon skulle flytta till Moskva [56] . Samtidigt fick hennes bror Fritz, efter att ha förlorat sitt jobb i Tyskland, en tjänst vid forskningsinstitutet för matematik och mekanik i Tomsk [69] [70] .

Erkännande

År 1932 fick Noether, tillsammans med sin elev Emil Artin , Ackermann-Töbnerpriset för prestationer i matematik [71] . Priset uppgick till 500 Reichsmark i kontanter och är ett officiellt erkännande (om än med en lång fördröjning) av hennes betydande arbete på detta område. Men hennes kollegor uttryckte sin besvikelse över att Noether inte valdes in i Göttingen vetenskapsakademi och aldrig utnämndes till en professur [72] [73] .

Noethers kollegor firade hennes femtioårsdag 1932 i en stil som är typisk för matematiker. Helmut Hasse tillägnade henne en artikel i tidskriften Mathematische Annalen , där han bekräftade hennes misstankar om att vissa aspekter av icke- kommutativ algebra är enklare än i kommutativ algebra genom att bevisa den icke- kommutativa reciprocitetslagen [74] . Hon gillade det oerhört. Han gav henne också en matematisk gåta - en gåta med stavelser, som hon omedelbart löste [72] [73] .

I november samma år talade Noether vid plenarmötet för International Congress of Mathematicians i Zürich med en rapport om "hyperkomplexa system och deras samband med kommutativ algebra". På kongressen deltog 800 personer, däribland Noethers kollegor Hermann Weyl, Edmund Landau och Wolfgang Krull. 420 officiella deltagare och 21 plenarrapporter presenterades på kongressen. Noethers första presentation var ett erkännande av vikten av hennes bidrag till matematik. Deltagande i 1932 års kongress anses ibland vara höjdpunkten i Noethers karriär [75] [76] .

Exil från Göttingen

Efter att Hitler kom till makten i Tyskland 1933 ökade den nazistiska aktiviteten dramatiskt i hela landet. Vid universitetet i Göttingen rådde ett klimatfientligt mot judiska professorer . En ung demonstrant förklarade: " Ariska studenter vill studera arisk matematik, inte judisk" [77] .

En av Hitler-administrationens första åtgärder var antagandet av "lagen för återställande av den professionella civila förvaltningen", på grund av vilken judar avskedades från sina tjänster som tjänstemän om de "inte visade sin lojalitet mot den nya makten i Tyskland." I april 1933 fick Noether ett meddelande från det preussiska ministeriet för vetenskap, konst och utbildning som hindrade henne från att undervisa vid universitetet i Göttingen. Flera av Noethers kollegor, inklusive Max Born och Richard Courant , stängdes också av [78] [79] . Noether tog det här beslutet med ro. Hon fokuserade på matematik, samlade elever i sin lägenhet och diskuterade klassfältteori med dem . När en av hennes elever dök upp i nazistuniform visade hon inga tecken på det och enligt uppgift till och med skrattade åt det efteråt [80] [79] .

Bryn Mawr

När dussintals arbetslösa professorer började söka arbete utanför Tyskland gjordes ansträngningar av deras kollegor i USA för att ge hjälp och skapa jobb åt dem. Så till exempel fick Albert Einstein och Hermann Weyl jobb på Institutet för avancerade studier i Princeton . Noether övervägde att arbeta vid två utbildningsinstitutioner: Bryn Mawr College i USA och Somerville College vid University of Oxford i England. Efter en rad förhandlingar med Rockefeller Foundation fick Noether ett anslag för att arbeta på Bryn Mawr och började arbeta där från slutet av 1933 [81] [82] .

På Bryn Mawr träffade Noether och blev vän med Anna Wheeler, som hade studerat i Göttingen innan Noether kom. En annan av Noethers collegesupportrar var Bryn Mawrs president Marion Edwards. Noether arbetade med en liten grupp studenter på van der Waerdens Modern Algebra I och de första kapitlen i Erich Heckes Algebraic Number Theory [83] .

1934 började Noether föreläsa vid Institute for Advanced Study i Princeton. Hon arbetade också med Albert Michelson och Harry Vandiver [84] . Emellertid anmärkte hon om Princeton University att hon inte blev väl mottagen på detta "manliga universitet där det inte finns något kvinnligt" [85] .

Sommaren 1934 återvände Noether kort till Tyskland för att träffa Emil Artin och hennes bror Fritz . Även om många av hennes tidigare kollegor tvingades lämna tyska universitet, hade hon fortfarande möjlighet att använda biblioteket som "utländsk forskare" [86] [87] .

Död

I april 1935 diagnosticerade läkare Noether med cancer. Samma år, vid 53 års ålder, strax efter operationen, dog hon.

En av läkarna skrev:

Det är svårt att säga vad som hände med Noether. Det är möjligt att detta var en form av någon ovanlig och farlig infektion som påverkade den del av hjärnan där värmecentra var belägna [88] .

Några dagar efter Noethers död höll hennes vänner och kollegor en liten minnesstund hemma hos presidenten för Bryn Mawr College. Hermann Weil och Richard Brouwer kom från Princeton och pratade mycket med Wheeler och Olga Todd om sin avlidne kollega.

Emmy Noethers kropp kremerades och hennes aska begravdes under väggarna på Cary Thomas Library i Bryn Mawr .

Akademikern P.S. Alexandrov skrev [90] :

Om matematikens utveckling idag utan tvekan fortsätter under tecknet på algebraisering, inträngningen av algebraiska begrepp och algebraiska metoder i de mest olika matematiska teorierna, så blev detta möjligt först efter verken av Emmy Noether.

A. Einstein, i en anteckning om hennes död, tillskrev Noether till matematikens största kreativa genier [91] .

Bidrag till matematik och fysik

För matematiker, först och främst, är Noethers arbete inom abstrakt algebra och topologi viktigt . Fysiker ägnar stor uppmärksamhet åt Noethers teorem . Hennes arbete har givit ett stort bidrag till utvecklingen av teoretisk fysik och teorin om dynamiska system . Noether visade en förkärlek för abstrakt tänkande, vilket gjorde att hon kunde lösa matematiska problem på nya och originella sätt [92] [32] . Noethers vän och kollega Hermann Weyl delade upp hennes vetenskapliga arbete i tre perioder: [93]

  1. period av relativt beroende, 1907-1919;
  2. studier grupperade kring den allmänna teorin om ideal , 1920-1926;
  3. studiet av icke-kommutativ algebra och dess tillämpning på studiet av kommutativa talfält och deras aritmetik, 1927-1935.

Under den första perioden (1907-1919) arbetade Noether främst med differential- och algebraiska invarianter . Hennes matematiska horisont vidgades och hennes arbete blev mer abstrakt, påverkat av hennes exponering för David Hilberts arbete.

Den andra perioden (1920-1926) ägnades åt utvecklingen av den matematiska teorin om ringar [94] .

Under den tredje perioden (1927-1935) fokuserade Noether sin uppmärksamhet på studiet av icke-kommutativ algebra, linjära transformationer och talfält [95] .

Historisk kontext

Från 1832 till Noethers död 1935 genomgick det matematikfält som kallas algebra djupgående förändringar. Matematiker under tidigare århundraden arbetade med praktiska metoder för att lösa särskilda typer av ekvationer, såsom kubiska ekvationer, och det relaterade problemet med att konstruera regelbundna polygoner med hjälp av en kompass och rätsida. Från och med Carl Friedrich Gauss arbete , som bevisade 1832 att primtal som fem kan inkluderas i en produkt av Gaussiska heltal [96] , Evariste Galois introduktion av begreppet permutationsgrupp 1832 (på grund av hans död, publicerades hans arbete först 1846 av Liouville ), upptäckten av quaternions av William Rowan Hamilton 1843, och uppkomsten av konceptet med en abstrakt grupp som föreslogs av Arthur Cayley 1854, vände sig forskningen till att fastställa egenskaperna hos mer abstrakta och allmänna system. Noether gjorde sitt viktigaste bidrag till utvecklingen av matematik genom utvecklingen av detta nya fält som kallas abstrakt algebra [97] .

Abstrakt algebra och begriffliche Mathematik (konceptuell matematik)

De grundläggande föremålen för abstrakt algebra är grupper och ringar.

En grupp består av en uppsättning element och en binär operation som mappar till varje ordnat par av element i denna uppsättning ett tredje element. Operationen måste uppfylla vissa restriktioner - den måste ha egenskapen associativitet , och det måste också finnas ett neutralt element , och för varje element måste det finnas ett inverst element till det .

Ring har på samma sätt många element, men nu är två operationer definierade på den - addition och multiplikation. En ring kallas kommutativ om multiplikationsoperationen är kommutativ (vanligtvis antyds också dess associativitet och förekomsten av en enhet). En ring där det finns ett identitetselement och varje element som inte är noll har ett inverst element med avseende på multiplikation (det vill säga ett element x så att ax \ u003d xa \u003d 1) kallas en kropp . Fältet definieras som en kommutativ kropp.

Grupper lärs ofta genom deras representationer . I det mest allmänna fallet är en representation av en grupp G  en godtycklig mängd med en verkan av gruppen G på denna mängd. Vanligtvis är en mängd ett vektorrum , och en grupp representerar symmetrierna för det rummet. Till exempel finns det en grupp av rymdrotationer med avseende på någon fast punkt. Rotation är rymdens symmetri, eftersom själva rummet inte förändras när det roteras, även om objektens position i det ändras. Noether använde liknande symmetrier i sitt arbete med invarianter i fysiken.

Ett kraftfullt sätt att lära sig om ringar är genom modulerna ovanför dem. En modul över en ring består av en uppsättning, vanligtvis skild från uppsättningen av element i ringen och kallas uppsättningen av modulelement, en binär operation på uppsättningen av modulelement, och en operation som tar ett ringelement och ett modulelement och returnerar ett modulelement. Begreppet en modul är analog med begreppet en representation för fallet med ringar: att glömma multiplikationsoperationen i en ring tilldelar en representation av en grupp till en modul över denna ring. Den verkliga fördelen med moduler är att man studerar de olika modulerna över en given ring och deras interaktioner avslöjar strukturen på ringen som inte är synlig när man tittar på själva ringen. Ett viktigt specialfall av denna struktur är algebra . (Ordet "algebra" betyder både en gren av matematik och ett av studieobjekten i det avsnittet.) Algebra består av två ringar och en operation som tar ett element från varje ring och returnerar ett element i den andra ringen, vilket gör att andra ring en modul över den första. Ofta är den första ringen ett fält.

Ord som "element" och "binär operation" är väldigt generella och kan användas i många konkreta och abstrakta situationer. Varje uppsättning objekt som uppfyller alla axiom för en (eller två) operationer definierade på den är en grupp (eller ring) och lyder alla satser om grupper (eller ringar). Heltal och operationerna addition och multiplikation är bara ett exempel. Till exempel kan elementen vara maskinord , den första binära operationen är "exklusiv eller" och den andra är en konjunktion. Abstrakta algebrasatser är kraftfulla eftersom de beskriver många system. Noethers talang var att bestämma den maximala uppsättningen egenskaper som är konsekvenser av en given uppsättning, och vice versa, att bestämma den minsta uppsättningen egenskaper som är ansvariga för särskilda observationer. Till skillnad från de flesta matematiker, fick Noether inte abstraktion genom att generalisera kända exempel; snarare arbetade hon direkt med abstraktioner. Van der Waerden återkallade henne i en dödsruna [98] :

Den maxim som följs av Emmy Noether genom hela hennes arbete kan formuleras på följande sätt: varje samband mellan siffror, funktioner och operationer blir transparent, generaliserbart och produktivt först efter att det separerats från några specifika objekt och reducerats till universellt giltiga begrepp.

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] Alla samband mellan tal, funktioner och operationer blir transparenta, allmänt tillämpliga och fullt produktiva först efter att de har isolerats från sina speciella objekt och formulerats som universellt giltiga begrepp.

Detta är rent konceptuell matematik ( begriffliche Mathematik ) som är karakteristisk för Noether. Denna riktning togs också av andra matematiker, särskilt de som då studerade abstrakt algebra.

Heltal och ringar

Heltalen bildar en kommutativ ring med avseende på operationerna addition och multiplikation . Vilket par av heltal som helst kan adderas eller multipliceras, vilket resulterar i något tredje tal. Adderingsoperationen är kommutativ , det vill säga för alla element a och b i ringen a + b = b + a . Den andra operationen, multiplikation , är också kommutativ, men detta är inte sant för alla ringar. Exempel på icke-kommutativa ringar är matriser och kvaternioner . Heltal bildar inte en kropp eftersom operationen att multiplicera heltal inte alltid är reversibel - det finns till exempel inget heltal a så att 3 ×  a = 1.

Heltal har ytterligare egenskaper som inte gäller alla kommutativa ringar. Ett viktigt exempel är aritmetikens grundläggande sats , som säger att vilket positivt heltal som helst kan delas upp till en produkt av primtal och på ett unikt sätt. En sådan nedbrytning existerar inte alltid för ringar, men Noether bevisade satsen om existensen och det unika i faktoriseringen av ideal för många ringar, som nu kallas Lasker-Noether-satsen . En betydande del av Noethers arbete bestod i att bestämma egenskaper som håller för alla ringar , att hitta analoger till satser om heltal och att hitta den minsta uppsättningen av antaganden som är tillräckliga för att härleda vissa egenskaper från dem.

Första perioden (1908–1919)

Teori om algebraiska invarianter

Det mesta av Emmy Noethers arbete under den första perioden av hennes vetenskapliga karriär var kopplat till invariant teori , främst med teorin om algebraiska invarianter. Invariant teori studerar uttryck som förblir oförändrade (invarianta) med avseende på någon grupp av transformationer. Ett exempel från vardagen: om du roterar en metalllinjal ändras koordinaterna för dess ändar ( x 1 , y 1 , z 1 ) och ( x 2 , y 2 , z 2 ), men längden bestäms av formeln L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 förblir oförändrad. Teorin om invarianter var ett aktivt forskningsfält i slutet av 1800-talet, föranledd av Felix Kleins tal, det så kallade Erlangen-programmet , enligt vilket olika geometrier skulle karakteriseras av transformationsinvarianter som existerade i dem, som t.ex. till exempel dubbelförhållandet i projektiv geometri . Ett klassiskt exempel på en invariant är diskriminanten B 2 − 4 AC i den binära kvadratiska formen Ax 2 + Bxy + Cy 2 . Diskriminanten kallas en invariant eftersom den inte förändras under linjära permutationer x → ax + by , y → cx + dy med determinant ad − bc = 1. Dessa permutationer bildar den speciella linjära gruppen SL 2 . Mer generellt kan man betrakta invarianter av homogena polynom A 0 x r y 0 + … + A r x 0 y r av högre grad, som är polynom i koefficienterna A 0 , …, A r . Och ännu mer generellt kan man betrakta homogena polynom med fler än två variabler.

En av de viktigaste uppgifterna för teorin om algebraiska invarianter var att lösa problemet med "finita basen". Summan eller produkten av två invarianter är en invariant, och det finita basproblemet frågar sig om det är möjligt att erhålla alla invarianter, börja med en finit lista av invarianter, kallade generatorer , genom att tillämpa operationerna addition och multiplikation på dem. Till exempel ger diskriminanten en finit (bestående av ett element) bas av invarianter av binära kvadratiska former . Paul Gordan , Noethers handledare, var känd som "kungen av invariant teori", och hans huvudsakliga bidrag till matematiken var lösningen av det finita basproblemet för invarianter av homogena polynom i två variabler [100] . Han bevisade detta genom att erbjuda ett konstruktivt sätt att hitta alla invarianter och deras generatorer, men han kunde inte använda detta tillvägagångssätt för invarianter med tre eller fler variabler. År 1890 bevisade David Hilbert ett liknande uttalande för invarianter av homogena polynom i valfritt antal variabler [101] [102] . Dessutom fungerade hans metod inte bara för den speciella linjära gruppen, utan också för några av dess undergrupper, såsom den speciella ortogonala gruppen [102] . Hans första bevis gav inget sätt att konstruera generatorer, men i senare arbete gjorde han sin metod mer konstruktiv. I sin avhandling utvidgade Neter Gordans beräkningsbevis till homogena polynom i tre eller flera variabler. Noethers konstruktiva tillvägagångssätt gjorde det möjligt att studera sambanden mellan invarianter. Därefter, när hon vände sig till mer abstrakta metoder, kallade Noether sin avhandling för Mist ("skräp") och Formelngestrüpp ("djungel av ekvationer").

Galois teori

Galois teori studerar transformationer av talfält som omarrangerar rötterna till någon ekvation. Betrakta ett polynom i en variabel x av grad n vars koefficienter tillhör något underliggande fält - till exempel fältet för reella tal , rationella tal eller rester modulo 7. Det kan finnas ett värde på x i detta fält som gör polynomet noll . Sådana värden, om de finns, kallas rötter . Till exempel har polynomet x 2 + 1 inga rötter i fältet för reella tal, eftersom varje värde på x gör polynomet större än eller lika med ett. Men om fältet expanderas kan vilket polynom som helst börja ha rötter, och om fältet är tillräckligt utvidgat kommer det att ha n rötter. Om man fortsätter med föregående exempel, om fältet expanderas till komplexa tal , kommer polynomet att förvärva två rötter, i och − i , där i  är den imaginära enheten , det vill säga i  2 = −1 .

Galoisgruppen för ett polynom är samlingen av alla transformationer av dess nedbrytningsfält som bevarar basfältet. Galois-gruppen av polynomet x 2 + 1 består av två element: identitetsmapping , som mappar varje komplext tal till sig själv, och den komplexa konjugationen, som mappar i till − i . Eftersom Galois-gruppen bevarar markfältet förblir polynomets koefficienter oförändrade, och därför ändras inte uppsättningen av dess rötter. Men roten till detta polynom kan gå till dess andra rot, så transformationen definierar en permutation av n rötter sinsemellan. Betydelsen av Galois-gruppen följer av Galois-teorins grundläggande teorem , som säger att fälten som ligger mellan huvudfältet och nedbrytningsfältet är i en-till-en-överensstämmelse med undergrupper av Galois-gruppen.

År 1918 publicerade Noether en framstående artikel om det omvända problemet med Galois teori [103] . Istället för att definiera en Galois-grupp för ett givet fält och dess förlängning, frågade Noether om det alltid är möjligt att hitta en förlängning av ett givet fält som har den givna gruppen som en Galois-grupp. Hon visade att detta problem reduceras till det så kallade "Noether-problemet": är det sant att fältet av element fixerat med avseende på undergruppen G i gruppen S n som verkar på fältet k ( x 1 , ... , x n ) är alltid rent transcendental fältförlängning k . (Hon nämner detta problem först i en tidning från 1913 [104] och tillskrev det till sin kollega Fisher.) Noether visade att detta påstående är sant för n = 2 , 3 eller 4. 1969 hittade R. Swan ett motexempel till Inget problem, där n = 47 och G  är en cyklisk grupp av ordningen 47 [105] (även om denna grupp kan realiseras som en Galois-grupp över fältet av rationella tal på andra sätt). Det omvända problemet med Galois teori förblir olöst [106] .

Fysik

Noether anlände till Göttingen 1915 på begäran av David Hilbert och Felix Klein, som var intresserade av att lära sig hennes kunskaper om invariant teori, för att hjälpa dem förstå generell relativitet  , den geometriska gravitationsteorin utvecklad, till största delen, av Albert Einstein . Hilbert märkte att lagen om bevarande av energi tycks vara kränkt i den allmänna relativitetsteorien, på grund av det faktum att gravitationsenergin själv kan tjäna som en källa till gravitation. Noether hittade en lösning på denna paradox med hjälp av Noethers första teorem , som hon bevisade 1915 men publicerades inte förrän 1918 [107] . Hon löste inte bara detta problem i den allmänna relativitetsteorien, utan bestämde också de bevarade kvantiteterna för varje system av fysiska lagar som hade någon form av kontinuerlig symmetri .

Efter att ha fått sitt arbete skrev Einstein till Hilbert [108] :

Igår fick jag en mycket intressant artikel av Mrs Noether om konstruktionen av invarianter. Jag är imponerad av att sådana saker kan betraktas ur en sådan generell synvinkel. Det skulle inte skada det gamla gardet i Göttingen om de skickades för att utbildas av Madame Noether. Hon verkar känna sin verksamhet väl.

— Kimberling, 1981 , sid. 13

För att illustrera, om ett fysiskt system beter sig likadant oavsett hur det är orienterat i rymden, så är de fysiska lagarna som styr det rotationssymmetriska; av denna symmetri, enligt Noethers teorem, följer att systemets rotationsmoment måste vara konstant [109] . Det fysiska systemet i sig kanske inte är symmetriskt; taggiga asteroider, som roterar i rymden, behåller sin vinkelmoment, trots sin asymmetri . Snarare är symmetrin av de fysiska lagarna som styr systemet ansvarig för lagarna om bevarande . Som ett annat exempel, om ett fysiskt experiment har samma resultat var som helst och när som helst, då är dess lagar symmetriska under kontinuerliga förskjutningar i rum och tid ; enligt Noethers teorem, från närvaron av dessa symmetrier följer lagen om bevarande av momentum och energi inom detta system, respektive. Noethers teorem har blivit ett av de viktigaste verktygen för modern teoretisk fysik på grund av den teoretiska förståelsen av bevarandelagarna den ger, såväl som ett praktiskt verktyg för beräkningar.

Andra perioden (1920–1926)

Även om resultaten av Noethers första period av arbete var imponerande, vilar hennes berömmelse som matematiker till stor del på det arbete hon gjorde under den andra och tredje perioden, vilket noterades av Hermann Weyl och Barthel Warden i sina dödsannonser om henne.

Vid den här tiden tillämpade hon inte bara före detta matematikers idéer och metoder, utan utvecklade nya system av matematiska definitioner som skulle användas i framtiden. I synnerhet utvecklade hon en helt ny teori om ideal i ringar genom att generalisera Dedekinds tidigare arbete . Hon är också känd för att utveckla det stigande kedjeavslutningsvillkoret, ett enkelt ändlighetstillstånd, med vilket hon kunde få kraftfulla resultat. Sådana förhållanden och ideal teori tillät Noether att generalisera många tidigare resultat och ta en ny titt på gamla problem som uteslutningsteori och algebraiska varianter , studerade av hennes far.

Ökande och minskande kedjor

Under denna period av sitt arbete blev Noether känd för sin skickliga användning av villkor för att avsluta stigande och nedåtgående kedjor. En sekvens av icke-tomma delmängder A 1 , A 2 , A 3 ... av mängden S kallas ökande, förutsatt att var och en av dem är en delmängd av nästa

Omvänt kallas en sekvens av delmängder av S minskande om var och en av dem innehåller följande delmängd:

Sekvensen stabiliseras efter ett ändligt antal steg om det finns n så att för alla m ≥ n . Mängden delmängder av en given mängd uppfyller villkoret att bryta ökande kedjor om någon ökande sekvens blir konstant efter ett ändligt antal steg. Om någon fallande sekvens blir konstant efter ett ändligt antal steg, så uppfyller uppsättningen av delmängder det fallande kedjevillkoret.

Förutsättningarna för att bryta uppåtgående och nedåtgående kedjor är generella - i den meningen att de kan tillämpas på många typer av matematiska objekt - och verkar vid första anblicken inte vara ett särskilt kraftfullt verktyg. Noether visade hur sådana villkor kunde användas till maximal fördel: till exempel hur man använder dem för att visa att varje uppsättning av subobjekt har ett maximum eller minimum element, eller att ett komplext objekt kan byggas från färre överordnade element. Dessa slutsatser är ofta de viktigaste stegen i bevis.

Många typer av objekt i abstrakt algebra kan uppfylla kedjeavslutningsvillkoren, och som regel, om de uppfyller villkoret för stigande kedjeavslutning, kallas de Noetherian. Per definition tillfredsställer en Noethersk ring brytningsvillkoret för stigande kedjor av ideal. En noeterisk grupp definieras som en grupp där varje strikt ökande kedja av undergrupper är ändlig. En Noetherian modul är en modul i vilken varje ökande sekvens av submoduler blir konstant efter ett ändligt antal steg. Ett noeteriskt utrymme  är ett topologiskt utrymme där varje ökande sekvens av öppna utrymmen blir konstant efter ett ändligt antal steg; denna definition gör spektrumet av en Noether-ring till ett Noetherskt topologiskt utrymme.

Avbrottsförhållanden "ärvs" ofta av subobjekt. Till exempel är alla delrum i ett noeteriskt rum noeterska; alla undergrupper och faktorgrupper i en Noetherisk grupp är också Noetherian; detsamma gäller för submoduler och faktormoduler i en Noetherian-modul . Alla faktorringar i en Noether-ring är Noetherian, men detta är inte nödvändigtvis sant för subringar. Avbrottsförhållanden kan också ärvas av kombinationer eller förlängningar av ett Noetherian-objekt. Till exempel är ändliga direkta summor av Noetherian ringar Noetherian, liksom ringen av formella potensserier över en Noetherian ring.

En annan tillämpning av kedjeavslutningsvillkor är Noetherian induction , som är en generalisering av matematisk induktion. Noeterisk induktion används ofta för att reducera ett uttalande om en samling objekt till ett uttalande om specifika objekt i den samlingen. Antag att S är en delvis ordnad mängd. Ett av sätten att bevisa påståendet om objekt från S är att anta att det finns ett motexempel och få en motsägelse. Grundförutsättningen för Noethersk induktion är att varje icke-tom delmängd av S innehåller ett minimumelement; i synnerhet innehåller uppsättningen av alla motexempel ett minimalt element. Sedan, för att bevisa det ursprungliga påståendet, räcker det att bevisa att det för varje motexempel finns ett mindre motexempel.

Kommutativa ringar, ideal och moduler

Noethers artikel från 1921 "The Theory of Ideals in Rings" [110] utvecklade grunden för den allmänna teorin om kommutativa ringar och gav en av de första allmänna definitionerna av en kommutativ ring [111] . Tidigare var många resultat i kommutativ algebra begränsade till särskilda exempel på kommutativa ringar, såsom polynomringar över ett fält eller ringar av algebraiska heltal . Noether bevisade att i en ring vars ideal uppfyller det stigande kedjevillkoret, genereras varje ideal ändligt. År 1943 myntade den franske matematikern Claude Chevalley termen " Noetherian ring " för att beskriva denna egenskap [111] . Huvudresultatet i Noethers uppsats från 1921 är Lasker–Noether-satsen , som generaliserar Laskers sats om den primära nedbrytningen av ideal i polynomringar. Lasker-Noether-satsen kan ses som en generalisering av aritmetikens fundamentalsats, som säger att vilket positivt heltal som helst kan representeras som en produkt av primtal, och att denna representation är unik.

Noethers arbete med den abstrakta konstruktionen av teorin om ideal i algebraiska talfält (1927) [112] kännetecknar ringar där ideal har en unik nedbrytning till primideal som Dedekind-ringar  , Noetheriska integrerat slutna ringar av dimension 0 eller 1. Denna artikel har också innehåller det faktum som för närvarande kallas isomorphism theorems , som beskriver några grundläggande naturliga isomorphisms , såväl som några andra resultat för Noetherian och Artinian moduler.

Uteslutningsteori

1923-1924 tillämpade Noether sin idealteori på teorin om uteslutning – i en formulering som hon tillskrev sin elev, Kurt Hentzelt – och visade att de grundläggande satserna om utvidgningen av polynom kunde generaliseras direkt. Traditionellt anser elimineringsteorin eliminering av en eller flera variabler från ett system av polynomekvationer, vanligtvis genom den resulterande metoden . För att illustrera kan ett ekvationssystem ofta skrivas som "produkten av en matris M (som inte innehåller variabeln x ) och en kolumnvektor v (vars komponenter beror på x ) är lika med nollvektorn ". Därför måste determinanten för matrisen M vara noll, vilket gör att vi kan få en ny ekvation som inte är beroende av variabeln x .

Teorin om invarianter av ändliga grupper

Hilberts metoder var en icke-konstruktiv lösning på problemet med finita bas och kunde inte användas för att få kvantitativ information om algebraiska invarianter, och dessutom var de inte tillämpliga på alla grupphandlingar. I sitt papper från 1915 [113] hittade Noether en lösning på det finita basproblemet för en finit grupp G som verkar på ett ändligt dimensionellt vektorutrymme över ett fält med karakteristisk noll. Dess lösning visar att ringen av invarianter genereras av homogena invarianter vars grader inte överstiger gruppens ordning; detta kallas Noether-gränsen . Hennes uppsats ger två bevis för existensen av Noether-gränsen, som båda också fungerar när kännetecknet för markfältet är coprime till( faktorial i storleksordningen av gruppen G ). Antalet generatorer uppskattas inte nödvändigtvis av gruppens ordning i det fall då fältets egenskap delar sig | G | [114] , men Noether kunde inte avgöra om denna uppskattning är tillämplig i det fall då fältets karakteristika delar sig, men inte. År 2000 bevisade Martin Fleischman och 2001 Brian Fogarty att Noether-gränsen även gäller i detta fall [115] [116] .

I sitt papper från 1926 [117] utvidgade Noether Hilberts teorem till fallet när egenskapen hos ett fält delar ordningen på en grupp. Denna sats utvidgades därefter till fallet med en godtycklig reduktiv grupp med William Haboshs bevis på Mumfords gissningar [118] . I denna artikel bevisade Noether också Noethers normaliseringslemma , som säger att en ändligt genererad integritetsdomän A över ett fält k innehåller en uppsättning algebraiskt oberoende element x1, …, x 1 , ... , xn så att A är helt över k [ x 1 , ... , x n ] .

Bidrag till topologi

Hermann Weyl och P.S. Alexandrov påpekar i sina dödsannonser att Noethers bidrag till topologin illustrerar den generositet med vilken hon delade idéer, såväl som hur hennes insikter kunde förändra hela matematikens områden. Inom topologi studerar matematiker egenskaperna hos objekt som förblir oförändrade när de deformeras, till exempel rymdens anslutning . Det sägs skämtsamt att en topolog inte kan skilja en munk från en mugg, eftersom de kontinuerligt kan deformeras till varandra.

Noether tillskrivs författarskapet till de grundläggande idéerna som bidrog till utvecklingen av algebraisk topologi , nämligen idén om homologigrupper [119] . Somrarna 1926 och 1927 deltog Noether i Hopf och Alexandrovs topologiska kurser, där hon "ständigt gjorde kommentarer, ofta djupa och subtila" [120] . Alexandrov skrev:

När hon först i våra föreläsningar bekantade sig med den systematiska konstruktionen av kombinatorisk topologi, märkte hon omedelbart att det var ändamålsenligt att direkt beakta grupperna av algebraiska komplex och cykler för en given polyeder, och gruppen av cykler, en undergrupp av cykler som är homologa med noll; istället för den vanliga definitionen av Betti-talen föreslog hon att omedelbart definiera Betti -gruppen som den komplementära gruppen (faktorgruppen) i gruppen av alla cykler över undergruppen av cykler som är homologa med noll. Denna kommentar verkar nu självklar. Men under de åren (1925-28) var det en helt ny synvinkel […]

- P. S. Alexandrov [121]

Noethers förslag att topologi skulle studeras med algebraiska metoder accepterades omedelbart av Hopf, Alexandrov och andra matematiker [121] , och blev ett frekvent diskussionsämne bland matematikerna i Göttingen . Noether noterade att den systematiska användningen av Betti-gruppens koncept gör beviset för den allmänna Euler-Poincaré-formeln enkel och transparent, och Hopfs arbete med detta ämne [122] "bär stämpeln av dessa Emmy Noether-anmärkningar" [123 ] .

Tredje perioden (1927–1935)

Hyperkomplexa tal och representationsteori

Mycket arbete med hyperkomplexa tal och grupprepresentationer gjordes under 1800- och början av 1900-talet, men förblev heterogent. Noether kombinerade alla dessa resultat och skapade den första allmänna teorin om representationer av grupper och algebror [124] . Kortfattat kombinerade Noether den strukturella teorin om associativa algebror och teorin om grupprepresentationer till en aritmetisk teori om moduler och ideal i ringar som uppfyller de stigande kedjevillkoren. Detta arbete av Noether var av grundläggande betydelse för utvecklingen av modern algebra [125] .

Icke-kommutativ algebra

Noether var också ansvarig för ett antal andra utvecklingar inom algebraområdet. Med Emil Artin , Richard Brouwer och Helmut Hasse skapade hon teorin om centrala enkla algebror [126] .

I sin uppsats övervägde Noether, Helmut Hasse och Richard Brouwer divisionalgebror [127] . De bevisade två viktiga satser: satsen att om en finit central divisionsalgebra över ett talfält delas lokalt överallt, så delas den globalt (och är därför trivial), och "huvudsatsen" som följer av den: varje finitdimensionell central division algebra över det algebraiska talfältet F delar sig över en cyklisk cirkulär förlängning . Dessa satser gör det möjligt att klassificera alla finita dimensionella divisionalgebror över ett givet talfält.

Utvärdering och erkännande

Noethers verk är fortfarande relevanta för utvecklingen av teoretisk fysik och matematik. Hon är en av 1900-talets största matematiker. I sin dödsruna skrev den holländska matematikern Barthel van der Waerden att Noethers matematiska originalitet var "absolut oöverträffad" [128] , och Hermann Weyl sa att Noether "förändrade ansiktet på algebra med sitt arbete" [13] . Under hennes livstid och fram till idag anser många att Noether är den största kvinnliga matematikern i historien [129] [7] , bland dem Pavel Alexandrov [130] , Hermann Weyl [131] och Jean Dieudonné [132] .

Den 2 januari 1935, några månader före hennes död, skrev matematikern Norbert Wiener att [133]

Miss Noether är […] den största kvinnliga matematikern som någonsin levt […] och en vetenskapsman åtminstone i paritet med Madame Curie .

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] Miss Noether är... den största kvinnliga matematiker som någonsin har levt; och den största kvinnliga vetenskapsmannen av något slag som nu lever, och en forskare åtminstone på Madame Curies plan.

Vid 1964 års världsutställning för modern matematik var Noether den enda kvinnliga representanten bland de viktiga matematikerna i den moderna världen [134] .

Noether har hedrats med flera minnesmärken:

  • Association of Women Mathematicians etablerade en årlig Noether-föreläsning till ära för kvinnliga matematiker; Föreningen karakteriserar Noether som ”en av sin tids stora matematiker; Noether arbetade och kämpade för det hon älskade och trodde på .
  • Institutionen för matematik och fysik vid universitetet i Siegen ligger på "Emmy Noether Campus" [136] .
  • Den tyska forskningsstiftelsen " Deutsche Research Society " har inrättat Emmy Noether-stipendiet, som ger finansiering till lovande unga forskare för deras fortsatta forskning och undervisning [137] .
  • En gata i Noethers hemstad Erlangen är uppkallad efter henne och hennes far, Max Noether .
  • Gymnasieskolan i Erlangen döptes om till Emmy Noether School [132] .
  • Institutet för teoretisk fysik (Kanada) delar årligen ut Emmy Noether-priset till framstående [138] kvinnliga teoretiska fysiker. Institutets grund är hem för Emmy Noether Council [138] .
  • 1970 tilldelade International Astronomical Union namnet Emmy Noether till en krater på månens bortre sida .

Lista över doktorander

datumet Elevs namn Avhandlingens titel och översättning till ryska universitet Publiceringsdatum
1911.12.16 Falkenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Förgrening av lösningar till icke-linjära differentialekvationer §
Erlangen Leipzig 1912
1916.03.04 Seidelman, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
En uppsättning kubiska och andragradsekvationer med inflytande från alla områden av rationalitet
Erlangen Erlangen 1916
1925.02.25 tyska, Greta Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
Frågan om ett ändligt antal steg i teorin om polynomideal med hjälp av Kurt Henselts teorem §
Göttingen Berlin 1926
1926.07.14 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Relationer mellan ideal för olika ringar §
Göttingen Berlin 1927
1927 Dorota, Wilhelm Über einem verallgemeinert Gruppenbegriff
Om det generaliserade begreppet en grupp §
Göttingen Berlin 1927
dog före skydd Holzer, Rudolf Zur Theorie der primären Ringe
Om teorin om primringar §
Göttingen Berlin 1927
1929.06.12 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
En idealisk teoretisk tolkning av representationen av godtyckliga naturliga tal i termer av kvadratiska former §
Göttingen Berlin 1930
1929.06.26 Levitsky, Yaakov Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe
På helt reducerbara ringar och subringar §
Göttingen Berlin 1931
1930.06.18 Under, Max Zur aritmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
Om den aritmetiska teorin om algebraiska funktioner §
Göttingen Berlin 1932
1931.07.29 Fitting, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
Om teorin om automorfismer av ringen av abelska grupper och deras analoger för icke-kommutativa grupper §
Göttingen Berlin 1933
1933.07.27 Witt, Ernest Riemann-Rochscher Satz och Zeta-Funktion im Hypercomplexen
Riemann-Rochs sats och zetafunktionen för hyperkomplexa tal §
Göttingen Berlin 1934
1933.12.06 Ching Ze Zeng Algebren über Funktionenkorpern
Algebror över funktionsfält §
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Otto Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
Om några samband mellan aritmetiken för hyperkomplexa talsystem och fält för algebraiska tal §
marburg Brunswick 1935
1935 Stauffer, Ruth Byggande av normal grund i en avskiljbar fältförlängning Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Forbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Nedbrytningar av enkla system som inte är Galois-fält §
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Tillämpning av p -adic teori i icke-kommutativ algebra §
Göttingen Monthly Mathematics and Physics (1936) 44 , 203-24.

Matematiska ämnen med samma namn

Stora verk

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Encyclopædia Britannica 
  2. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics Archive
  3. ↑ Emmy Noether // FemBio : Databanken över kända kvinnor
  4. ↑ Noether Emmy // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / ed. A. M. Prokhorov - 3:e uppl. - M .: Soviet Encyclopedia , 1974. - T. 17: Morshin - Nikish. - S. 523.
  5. ↑ https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math
  6. ↑ 1 2 http://cwp.library.ucla.edu/Phase2/[email protected]
  7. ↑ 1 2 Alexandrov, 1936 , sid. 255.
  8. ↑ DEN SENA EMMY NOETHER.; Professor Einstein skriver i uppskattning av en kollega-matematiker. . Hämtad 24 maj 2021. Arkiverad från originalet 24 maj 2021.
  9. ↑ Hermann Weyls tal vid Emmy Noethers begravning . Hämtad 24 maj 2021. Arkiverad från originalet 24 maj 2021.
  10. ↑ Biografi om Lev Semyonovich Pontryagin, en matematiker sammanställd av honom själv. DEL II. Universitet. . Hämtad 8 september 2012. Arkiverad från originalet 6 februari 2012.
  11. ↑ Weyl, 1935
  12. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 73
  13. ↑ 12 Dick , 1981 , sid. 128
  14. ↑ Kimberling, 1981 , s. 3–5.
  15. ↑ Hösten, 1974 , sid. 142.
  16. ↑ Dick, 1981 , s. 7–9.
  17. ↑ Noethers handskrivna sammanfattning .
  18. ↑ MacTutor .
  19. ↑ 1 2 Emmy Noether Arkiverad 17 april 2019 på Wayback Machine // Encyclopædia Britannica Online
  20. ↑ Matematik. Mekanik, 1983 .
  21. ↑ Dick, 1981 , s. 9–10.
  22. ↑ Hösten, 1974 , sid. 142.
  23. ↑ Dick, 1981 , s. 10–11.
  24. ↑ Dick, 1981 , s. 25, 45.
  25. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 5.
  26. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 8–10.
  27. ↑ Dick, 1981 , s. 11–12.
  28. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 71
  29. ↑ Kimberling, 1981 , s. 10–11.
  30. ↑ Dick, 1981 , s. 13–17.
  31. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 71
  32. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 11–12.
  33. ↑ Dick, 1981 , s. 18–24.
  34. ↑ Hösten, 1974 , sid. 143.
  35. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , sid. fjorton.
  36. ↑ 12 Dick , 1981 , sid. 32.
  37. ↑ 1 2 3 Hösten, 1974 , s. 144–45.
  38. ↑ Dick, 1981 , s. 24–26.
  39. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 72
  40. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 73
  41. ↑ Dick, 1981 , sid. 188.
  42. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 14–18.
  43. ↑ Hösten, 1974 , sid. 145.
  44. ↑ Dick, 1981 , sid. 33–34.
  45. ↑ Noether, 1983 .
  46. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , sid. arton.
  47. ↑ Dick, 1981 , s. 44–45.
  48. ↑ Hösten, 1974 , s. 145–46.
  49. ↑ van der Waerden, 1985 , sid. 100.
  50. ↑ Dick, 1981 , s. 57–58.
  51. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 19.
  52. ↑ Lederman & Hill, 2004 , sid. 74
  53. ↑ Hösten, 1974 , sid. 148.
  54. ↑ Kimberling, 1981 , s. 24–25.
  55. ↑ Dick, 1981 , s. 61–63.
  56. ↑ 1 2 3 4 Alexandrov, 1936 .
  57. ↑ Dick, 1981 , s. 53–57.
  58. ↑ Dick, 1981 , s. 37–49.
  59. ↑ van der Waerden, 1985 , sid. 98.
  60. ↑ Dick, 1981 , s. 46–48.
  61. ↑ Taussky, 1981 , sid. 80.
  62. ↑ Scharlau, W. "Emmy Noethers bidrag till teorin om algebras" i Teicher, 1999 , sid. 49.
  63. ↑ Mac Lane, 1981 , sid. 77.
  64. ↑ Dick, 1981 , sid. 37.
  65. ↑ Mac Lane, 1981 , sid. 71.
  66. ↑ Dick, 1981 , sid. 76.
  67. ↑ Dick, 1981 , s. 63–64.
  68. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 26.
  69. ↑ Hösten, 1974 , sid. 150.
  70. ↑ Dick, 1981 , s. 82–83.
  71. ↑ Emmy Amalie Noether . Storbritannien: St And.. Hämtad 4 september 2008. Arkiverad från originalet den 11 maj 2019.
  72. ↑ 12 Dick , 1981 , s. 72–73.
  73. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 26–27.
  74. ↑ Hasse, Helmut (1933), Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper , Mathematische Annalen T. 107: 731–760, doi : 10.1007/BF01448916 , < http: //gdz.subjekten.de-goettingen . /index.php?id=11&PPN=GDZPPN002276062&L=1 > . Hämtad 16 november 2015. Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine . 
  75. ↑ Kimberling, 1981 , s. 26–27.
  76. ↑ Dick, 1981 , s. 74–75.
  77. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 29
  78. ↑ Dick, 1981 , s. 75–76.
  79. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. 28–29.
  80. ↑ Dick, 1981 , s. 75–76.
  81. ↑ Dick, 1981 , s. 78–79.
  82. ↑ Kimberling, 1981 , s. 30–31.
  83. ↑ Dick, 1981 , s. 80–81.
  84. ↑ Dick, 1981 , s. 81–82.
  85. ↑ Dick, 1981 , sid. 81.
  86. ↑ Dick, 1981 , sid. 82.
  87. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 34.
  88. ↑ Kimberling, 1981 , s. 37–38.
  89. ↑ Kimberling, 1981 , sid. 39.
  90. ↑ Alexandrov P. S. Till minne av Emmy Noether, "Advances in the Mathematical Sciences", 1936, nr. II.
  91. ↑ Einstein, A. Till minne av Emmy Noether // Samling av vetenskapliga artiklar i fyra volymer. - M . : Nauka, 1967. - T. IV. - S. 198-199. — 600 s. - (Vetenskapens klassiker).
  92. ↑ Hösten, 1974 , s. 148–49.
  93. ↑ Weyl, 1935 : "Originaltext  (engelska)[ visaDölj] Emmy Noethers vetenskapliga produktion föll i tre tydligt distinkta epoker:

    (1) perioden av relativt beroende, 1907–1919;
    (2) undersökningarna grupperade kring den allmänna teorin om ideal 1920–1926;

    (3) studiet av de icke-kommutativa algebrorna, deras representationer genom linjära transformationer och deras tillämpning på studiet av kommutativa talfält och deras aritmetik. ".
  94. ↑ Gilmer, 1981 , sid. 131.
  95. ↑ Kimberling, 1981 , s. 10–23.
  96. ↑ C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. soc. Reg. sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; omtryckt i Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, s. 93-148.
  97. ↑ Noether, 1987 , sid. 168.
  98. ↑ Dick, 1981 , sid. 101.
  99. ↑ Noether, 1908 .
  100. ↑ Noether, 1914 , sid. elva.
  101. ↑ Weyl, Hermann (1944), David Hilbert och hans matematiska arbete , Bulletin of the American Mathematical Society vol. 50 (9): 612–654 , DOI 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 
  102. ↑ 1 2 Hilbert, David (december 1890), Ueber die Theorie der algebraischen Formen , Mathematische Annalen vol. 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , < http://gdz.sub.uni.-uni. de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0036&DMDID=DMDLOG_0045&L=1 > . Hämtad 16 november 2015. Arkiverad 3 september 2014 på Wayback Machine 
  103. ↑ Noether, 1918 .
  104. ↑ Noether, 1913 .
  105. ↑ Swan, Richard G (1969), Invariant rational functions and a problem of Steenrod , Inventiones Mathematicae vol 7 (2): 148–158 , DOI 10.1007/BF01389798 
  106. ↑ Malle, Gunter & Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3 
  107. ↑ Noether, 1918b
  108. ↑ Från Hypatia till Emmy Noether .
  109. ↑ Lederman & Hill, 2004 , s. 97–116.
  110. ↑ Noether, 1921 .
  111. ↑ 12 Gilmer , 1981 , sid. 133.
  112. ↑ Noether, 1927 .
  113. ↑ Noether, 1915 .
  114. ↑ Fleischmann, 2000 , sid. 24.
  115. ↑ Fleischmann, 2000 , sid. 25.
  116. ↑ Fogarty, 2001 , sid. 5.
  117. ↑ Noether, 1926 .
  118. ↑ Haboush, WJ (1975), Reductive groups are geometrically reductive , Annals of Mathematics vol. 102(1): 67–83 , DOI 10.2307/1970974 
  119. ↑ Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine vol. 60 (5): 282–91 
  120. ↑ Dick, 1981 , sid. 173.
  121. ↑ 12 Dick , 1981 , sid. 174.
  122. ↑ Hopf, Heinz (1928), Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch - Physikalische Klasse vol 2 : 127–36 
  123. ↑ Dick, 1981 , s. 174–75.
  124. ↑ Noether, 1929 .
  125. ↑ van der Waerden, 1985 , sid. 244.
  126. ↑ Lam, 1981 , s. 152–53.
  127. ↑ Brauer, Hasse & Noether, 1932 .
  128. ↑ Dick, 1981 , sid. 100.
  129. ↑ Hösten, 1974 , sid. 152.
  130. ↑ Dick, 1981 , s. 154.
  131. ↑ Dick, 1981 , s. 152.
  132. ↑ 12 Noether , 1987 , sid. 167.
  133. ↑ Kimberling, 1981 , s. 35.
  134. ↑ Duchin, Moon (december 2004), The Sexual Politics of Genius , University of Chicago , < http://www.math.lsa.umich.edu/~mduchin/UCD/111/readings/genius.pdf > . Hämtad 23 mars 2011. Arkiverad 18 juli 2011 på Wayback Machine (Noethers födelsedag). 
  135. ↑ Inledning , Profiler av kvinnor i matematik , Emmy Noether-föreläsningarna, Association for Women in Mathematics , 2005 Arkiverad 23 maj 2011 på Wayback Machine . 
  136. ↑ Emmy-Noether-Campus , DE : Universität Siegen , < http://www.uni-siegen.de/uni/campus/wegweiser/emmy.html > . Hämtad 13 april 2008. Arkiverad 8 oktober 2009 på Wayback Machine . 
  137. ↑ "Emmy Noether Program: Kortfattat"  (länk inte tillgänglig) . Forskningsfinansiering . Deutsche Forschungsgemeinschaft . Återhämtad den 5 september 2008.
  138. ↑ 1 2 Emmy Noether Visiting Fellowships http://www.perimeterinstitute.ca/emmy-noether-visiting-fellowships Arkiverad 29 oktober 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Tematiska platser
Ordböcker och uppslagsverk
Släktforskning och nekropol