Erlangen program

Erlangen-programmet är ett tal av den 23-årige tyske matematikern Felix Klein vid universitetet i Erlangen (oktober 1872 ), där han föreslog ett allmänt algebraiskt förhållningssätt till olika geometriska teorier och skisserade en lovande väg för deras utveckling. Rapporten var relaterad till proceduren för att bekräfta Klein som professor och publicerades samma år. Den första ryska översättningen kom 1895 .

I originalet kallades Kleins rapport "Komparativ granskning av den senaste geometriska forskningen" ( tyska:  Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ) [1] , men den kom in i vetenskapshistorien under kortnamnet " Erlangen Program ". Inflytandet från detta program på den fortsatta utvecklingen av geometrin var exceptionellt stort. Descartes upptäckt upprepades på en ny nivå : algebraiseringen av geometrin gjorde det möjligt att få djupa resultat, som var extremt svåra eller helt ouppnåeliga för gamla instrument.

Sammanfattning

Vid mitten av 1800-talet var geometrin uppdelad i många olika sektioner: euklidisk , sfärisk , hyperbolisk , projektiv , affin , konform , riemannsk , flerdimensionell, komplex etc. Vid sekelskiftet, efter Kleins rapport, pseudo-euklidisk geometri och topologi lades till dem .

Klein kom på idén om en algebraisk klassificering av olika grenar av geometri i enlighet med de klasser av transformationer som inte är väsentliga för denna geometri. Mer exakt, en sektion av geometri skiljer sig från en annan genom att de motsvarar olika grupper av rymdtransformationer, och studieobjekten är invarianter av sådana transformationer [2] .

Till exempel studerar klassisk euklidisk geometri egenskaperna hos figurer och kroppar som bevaras under rörelser utan deformation; det motsvarar en grupp som innehåller rotationer , översättningar och deras kombinationer. Projektiv geometri kan studera koniska sektioner , men behandlar inte cirklar eller vinklar eftersom cirklar och vinklar inte bevaras under projektiva transformationer . Topologi studerar invarianterna av godtyckliga kontinuerliga transformationer (Klein noterade detta redan innan topologin föddes). Genom att studera transformationsgruppers algebraiska egenskaper kan vi upptäcka nya djupa egenskaper hos motsvarande geometri, och även lättare bevisa gamla. Kleins tillvägagångssätt förenade de olika geometrierna och deras metoder och klargjorde deras skillnader. Utanför detta schema återstod endast Riemannsk geometri ; för att inkludera det i det allmänna systemet var det nödvändigt på 1920-talet att avsevärt generalisera Kleins synsätt [3] .

Ett exempel på ett enkelt bevis på att medianerna för en triangel skär varandra vid en punkt. Medianen är en affin invariant; om medianerna i en liksidig triangel skär varandra vid en punkt, då i vilken som helst annan kommer det att vara sant, eftersom vilken triangel som helst kan omvandlas till en liksidig triangel och vice versa genom en affin transformation .

Efter den första algebraiseringen av geometri av Descartes , det vill säga i analytisk geometri , fanns det en olägenhet: ofta var det nödvändigt att separat bevisa resultatens geometriska karaktär, det vill säga deras oberoende från koordinatsystemet. En ytterligare fördel med Kleins tillvägagångssätt var att de resulterande invarianterna, genom själva betydelsen av deras definition, inte är beroende av koordinatsystemet.

Applikationer

Baserat på de idéer som presenterades visade Klein i sin rapport att Lobachevsky-geometrin är ett utrymme med konstant negativ krökning, och uppmärksammade sambandet mellan den projektiva modellen som föreslagits av Beltrami och den projektiva gruppen.

Kleins tillvägagångssätt visade sig vara tillämpbart på de mest abstrakta geometrierna - flerdimensionella, icke-euklidiska , icke-arkimediska , etc. I början av 1900-talet utvecklade Isai Schur , Emmy Noether , Eli Cartan och andra matematiker en allmän teori om grupp. representationer och invariant teori . Dessa studier berikade inte bara geometrin avsevärt, utan visade sig vara användbara för fysiken. Hermann Minkowski 1905 inkluderade relativitetsteorin i Kleins system , vilket visar att ur en matematisk synvinkel är det teorin om invarianter i Poincaré-gruppen , som agerar i fyrdimensionell rum-tid . Ett liknande tillvägagångssätt behövdes i teorin om elementarpartiklar , kvantteorin och andra fysikaliska teorier [4] .

Text i rysk översättning

• Klein F. Jämförande genomgång av den senaste geometriska forskningen ("Erlangen-programmet") // On the foundations of geometry. Samling av klassiska verk om Lobatsjovskijs geometri och utvecklingen av dess idéer, Moskva: GITTL, 1956, sid. 399-434.

Litteratur

• Erlangen_program i TSB .
• Vizgin V.P. Om historien om "Erlangen-programmet" av F. Klein // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1973. - Nr 18 . - S. 218-248 .
  • Uppdaterad version: Vizgin V.P. Erlangen program och fysik. M.: Nauka, 1975. 111 sid.
• Klein F. Elementär matematik ur högre synvinkel, trans. från tyska., 2:a uppl., bd 2, M.  - L .: Stat. tech.-teor. förlag, 1934.
• Prasolov V.V. , Tikhomirov V.M. Geometry. M.: MTSNMO , 1997, 352 sid.

Länkar

• Rozov N.Kh. Felix Klein och hans Erlangen-program.
• Smirnov S. G. Erlangen-programmet: tidigare och nu Arkivexemplar av 28 december 2010 på Wayback Machine (på 125-årsdagen av Klein-programmet). Vetenskapliga anteckningar från Institute of Informatization of Education (IIO RAO), nr 2, 1998.

Anteckningar

1. ↑ Erlangen-program på tyska .
2. ↑ Grunderna för gruppteorin vid denna tidpunkt hade redan skapats av Evariste Galois och Camille Jordan .
3. ↑ Vizgin V.P., 1973 , sid. 223.
4. ↑ Vizgin V.P., 1973 , sid. 218, 245-246.

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online)