Sfärisk geometri

Sfärisk geometri är en gren av geometrin som studerar geometriska former på ytan av en sfär . Sfärisk geometri uppstod under antiken i samband med geografins och astronomis behov .

Grundläggande begrepp

En storcirkel är en cirkel som delar en boll (sfär) i två lika stora halvor. Storcirkelns centrum sammanfaller alltid med sfärens centrum. På en jordglob är till exempel alla meridianer stora cirklar. Men av parallellerna är bara ekvatorn en storcirkel. Alla andra paralleller är små cirklar .

Stora cirklar på ytan av en sfär spelar en roll som liknar den för raka linjer i planimetri . Den kortaste vägen mellan två punkter följer den stora cirkellinjen.

Genom två valfria punkter på ytan av en sfär, förutom de som är diametralt motsatta, kan man rita en enda storcirkel. Valfritt antal storcirklar kan ritas genom diametralt motsatta punkter på en sfär.

Alla två storcirklar skär varandra i en rät linje som går genom sfärens centrum, och storcirklarnas cirklar skär varandra vid två diametralt motsatta punkter.

När två storcirklar skär varandra bildas fyra sfäriska digoner . Arean av en diagon ges av , där är sfärens radie och är vinkeln på diagonen i radianer. $S=2R^2 \alfa$ $R$ $\alfa$

Tre stora cirklar som inte skär varandra vid en punkt bildar åtta sfäriska trianglar . En sfärisk triangel, vars alla sidor är mindre än halva storcirkeln, kallas Euler. Förutom de tre likhetstecken för platta trianglar, för sfäriska trianglar finns det ytterligare en: två sfäriska trianglar är lika om deras motsvarande vinklar är lika.

Sidorna i en sfärisk triangel mäts av vinkeln som bildas av sfärens radier som dras till ändarna av den givna sidan. Varje sida av en sfärisk triangel är mindre än summan och större än skillnaden mellan de andra två. Summan av alla sidor i en sfärisk triangel är alltid mindre än . Summan av vinklarna i en sfärisk triangel är alltid mindre och mer än . Kvantiteten kallas sfäriskt överskott. Arean av en sfärisk triangel bestäms av Girards formel . $2\pi$ $s=\alfa +\beta +\gamma$ $3\pi$ $\pi$ $s-\pi = \varepsilon$ $S=R^{2}\varepsilon$

Relationer mellan elementen i en sfärisk triangel studeras med sfärisk trigonometri .

Se även

Litteratur

Alekseevskii DV , Vinberg EB , Solodovnikov AS Geometrin hos utrymmen med konstant krökning. // Resultat av vetenskap och teknik. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. - M .: VINITI , 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometry. / Per. från franska, i 2 vols - M .: Mir , 1984. - Volym II, del V: Sfärens inre geometri, hyperbolisk geometri, sfärernas rymd.
Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - L. - M. , 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M .: Fizmatlit , 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometry. — M .: Nauka , 1990.
Aleksandrov PS Vad är icke-euklidisk geometri. — M .: URSS , 2007.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss runt världen Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4182228-6 NDL : 01212460