Konisk sektion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 juni 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En konisk sektion , eller en konisk [1] , är skärningen av ett plan med ytan av en rät cirkulär kon . Det finns tre huvudtyper av koniska sektioner: ellips , parabel och hyperbel , dessutom finns det degenererade sektioner: punkt , linje och par av linjer. Cirkeln kan ses som ett specialfall av ellipsen . Dessutom kan en parabel betraktas som ett extremfall av en ellips, vars ena brännpunkter är i oändligheten.

Koniska sektioner kan erhållas som skärningen av ett plan med en tvåsidig kon

(i kartesiska koordinater )

Här

 är vinkeln mellan könens generatris och dess axel.

Om planet passerar genom origo , erhålls en degenererad sektion. I det icke-degenererade fallet,

Ekvationen för en cirkulär kon är kvadratisk, därför är alla koniska sektioner kvadratiska , även alla kvadrater i planet är koniska sektioner (även om två parallella linjer bildar en degenererad kvadratisk, som inte kan erhållas som en sektion av en kon, men det kan erhållas som en sektion av en cylinder  - en degenererad kon , och anses vanligtvis vara en "degenererad konisk sektion").

Historik

Koniska sektioner var kända för matematikerna i antikens Grekland .

Det mest kompletta arbetet som ägnades åt dessa kurvor var "koniska sektioner" av Apollonius av Perga (cirka 200 f.Kr.). Tydligen var han den förste som beskrev ellipsens och hyperbelns fokus [2] :41 .

Pappus från Alexandria var den första som beskrev en parabels fokus och härledde den allmänna ekvationen för ett koniskt snitt som platsen för punkter för vilka förhållandet mellan avstånden till fokuspunkten och riktningen är konstant [2] :48 .

Excentricitet

Alla icke-degenererade koniska sektioner, förutom cirkeln , kan beskrivas på följande sätt:

Låt oss välja en punkt och en linje på planet och sätta ett reellt tal . Då är platsen för punkter , för vilka avståndet till punkten och till linjen skiljer sig med en faktor, en konisk sektion. Punkten kallas konisk sektions fokus , den räta linjen är riktlinjen och numret är excentriciteten .

Beroende på excentriciteten kommer det att visa sig:

För en cirkel antas det (även om det i själva verket vid GMT bara är en punkt ).

Excentriciteten är relaterad till konens parametrar och skärplanets placering i förhållande till konens axel genom följande förhållande [3] :46.47 :

här - sekantplanets lutningsvinkel mot konens axel, - vinkeln mellan generatrisen och konens axel, lika med halva konens öppningsvinkel. Det kan ses från denna formel att genom att skära en given kon med ett plan kan man få en ellips med vilken excentricitet som helst, en parabel och en hyperbel kan bara erhållas en vars excentricitet inte överstiger . Detta maximala värde uppnås när en given kon skärs av ett plan parallellt med dess axel.

Dandelin bollar

Några viktiga egenskaper hos koniska sektioner erhålls genom att överväga två bollar som tangerar en konisk sektion och en kon - Dandelin-kulorna . Till exempel, med deras hjälp, fastställs den geometriska betydelsen av fokus, riktning och excentricitet för en konisk sektion [3] :46,47 .

Egenskaper

Polär dualitet

Vi fixar en cirkel på planet . Vilken punkt som helst på planet kan associeras med dess polar relativt - och vice versa, vilken rät linje som helst kan associeras med dess pol. Den resulterande transformationen, som associerar linjer med punkter och punkter med linjer, kallas en polär överensstämmelse och är en involution , bilderna av punkter och linjer under en sådan transformation kallas dubbla bilder. En polär överensstämmelse kan definieras inte bara med avseende på en cirkel, utan också med avseende på vilken konisk form som helst - i detta fall kommer det att vara en sammansättning av en projektiv transformation som tar denna koniska till en cirkel, en polär överensstämmelse med avseende på denna cirkel och en omvänd projektiv transformation.

Den dubbla bilden av en jämn kurva är uppsättningen av dubbla bilder av alla tangenter till denna kurva. Då är det sant att den dubbla bilden av en kägel också är en kägelform. Således är vissa påståenden, som Pascals och Brianchons satser, polära dualer av varandra.

Omvandla grupper

Koordinatrepresentation

Kartesiska koordinater

I kartesiska koordinater beskrivs koniska sektioner av ett allmänt kvadratiskt polynom :

Med andra ord är koniska sektioner kurvor av andra ordningen . Diskriminerande tecken

definierar typen av konisk sektion.

Polära koordinater

I polära koordinater , centrerad i en av brännpunkterna och nollriktningen längs huvudaxeln, representeras koniska sektionen av ekvationen

där e är excentriciteten och l är fokalparametern.

Banor inom gravitationsfältet och liknande krafter

Inom ramen för klassisk mekanik är banan för en materiell punkt eller en stel sfäriskt symmetrisk kropp i fältet för en kraft som lyder den omvända kvadratlagen en av de koniska sektionerna - en parabel, hyperbel, ellips (i synnerhet en cirkel) eller en rak linje.

I fallet när en sådan kraft är en attraktionskraft är alla dessa banor möjliga (beroende på de initiala förhållandena); om det är en frånstötande kraft så är bara raka linjer och hyperboler möjliga.

En kropps rörelsebana (eller dess masscentrum i fallet med vilken icke-punkt kropp som helst) i fältet för en enhetlig konstant kraft [5] inom ramen för klassisk mekanik är en exakt parabel.

Denna slutsats är giltig inte bara för en fixerad (orörlig) position av kraftcentrum [6] , utan också för samverkan mellan två punkt- eller sfäriska kroppar med jämförbar massa [7] .

Det andra påståendet inom ramen för klassisk mekanik är exakt (i praktiken är det lika exakt som hur exakt interaktionskraften uppfyller den omvända kvadratlagen och det finns inga andra krafter).

För mer än två samverkande kroppar är allt detta generellt sett inte sant (det vill säga banorna kan vara exakta koniska sektioner exakt endast i sällsynta specialfall - under utvalda speciella initiala förhållanden), men det kan vara en bra approximation i fallet med en massiv central kropp och relativt svagt samverkande mycket mindre massiva andra kroppar, särskilt för solsystemet som helhet, med undantag för små himlakroppar, som ibland kommer för nära planeterna.

Fysiskt kan situationen hänvisas till som interaktionen av punkt (som har en mycket liten storlek jämfört med avståndet till andra kroppar) eller sfäriska kroppar under inverkan av gravitationskrafter som följer lagen om universell gravitation (denna lag är en ganska bra ungefärlig uppskattning beskrivning av den verkliga gravitationsinteraktionen i de flesta fall som vi kolliderar med inom solsystemet) och/eller elektrostatiska krafter som lyder Coulombs lag [8] .

För att kroppars banor ska vara koniska sektioner [9] är det viktigt att villkoren för antalet och/eller massorna av samverkande kroppar som beskrivs ovan är uppfyllda, och att det idealiskt inte finns några (praktiskt taget försumbara, eller, ibland, väl kompenserade) alla andra krafter, såsom t.ex. aerodynamiska motståndskrafter (för detta behövs t.ex. en tillräcklig sällsynthet av mediet, vakuum), strålningsförluster (vid rörelse av elektriskt laddade kroppar, de kan vara betydande, inom ramen för Newtonsk gravitation är sådana förluster alltid lika med noll, men i verkligheten kan förluster på grund av strålningen från gravitationsvågor vara märkbara under interaktionen mellan närliggande massiva och snabbt rörliga föremål). Utöver det vanliga aerodynamiska motståndet kan krafter som tryckkraften och motståndskraften på grund av solvinden vara betydande.

Vid förflyttning av kosmiska kroppar uppfylls som regel dessa villkor åtminstone till viss del, så att koniska sektionen är en acceptabel, och ofta mycket bra, approximation av den verkliga omloppsbanan (under en tid).

I solsystemet är planeternas banor ellipser med en ganska bra approximation (avvikelsen från den exakta ellipticiteten är störst för Merkurius), kometernas banor är ellipser, hyperboler [10] ; kometbanor är ofta "nästan paraboliska" [11] (se även Celestial mekanik ).

Flygbanan för en kanonkula i jordens gravitationsfält, utan att ta hänsyn till luftens inverkan, är en båge av en ellips nära en parabel (eftersom kanonkulans hastighet är mycket mindre än den första kosmiska).

I ett litet (jämfört med jordens radie) laboratorium kan gravitationsfältet betraktas som enhetligt och konstant. Om luft pumpas ut tillräckligt bra i ett sådant laboratorium, så blir banan för en sten som kastas in i den nästan en exakt parabel (eller rät linje) [12] . Under normala förhållanden (närvaro av luft) är banorna för utkastade kroppar generellt sett helt annorlunda än paraboler och raka linjer (med undantag för ett strikt vertikalt kast), men vid låga hastigheter och korta flygavstånd kan de vara ganska nära en parabel.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Lohwaters AJ rysk-engelska ordbok för de matematiska vetenskaperna. Redigerad av R.P.Boas. 1990. sid 162
  2. ↑ 1 2 Florian Cajori, A History of Mathematics, 5:e upplagan 1991
  3. ↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometri. — M .: Nauka , 1983. — 288 sid.
  4. ↑ A.V. Akopyan, A.A. Zaslavskij. Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen . — M.: MTsNMO, 2007. — S.  79 .
  5. ↑ En kraft avses, vars storlek och riktning är desamma överallt i det betraktade rörelseområdet och är konstanta i tiden; andra krafter som skulle bryta mot denna egenskap anses vara frånvarande. Med andra ord, i detta fall påverkas kroppen alltid av samma, i riktning och storlek, konstant kraft. I praktiken kan detta vara resultatet av flera krafter som uppfyller det beskrivna villkoret, och de möjliga avvikelserna, om inte exakt noll, är små - då kommer parabeln att vara en ungefärlig lösning för banan.
  6. ↑ Det här alternativet implementeras med god noggrannhet i fallet då massan av en av de samverkande kropparna är mycket större än massan av den andra. Då är den första kroppen (nästan) orörlig, och följaktligen är centrum för kraften som verkar på den andra kroppen orörlig.
  7. ↑ I det här fallet är det lätt att visa att masscentrum för systemet av samverkande kroppar kommer att spela rollen som ett fast kraftcentrum, och kraften som verkar på var och en av de två kropparna kommer att vara omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet till detta centrum.
  8. ↑ I praktiken är detta fall av klassisk rörelse under förhållanden av rent elektrostatisk interaktion mindre viktigt och ganska sällsynt, eftersom det är ganska sällsynt att stöta på närvaron av en övervägande elektrostatisk interaktion med den jämförande litenheten hos andra krafter, men teoretiskt sett är möjligt.
  9. ↑ I verkligheten är detta bara möjligt ungefär, men vi pratar om att det åtminstone är en tillräckligt bra approximation.
  10. ↑ Hughes D.U. Om hyperboliska kometer  //  Journal of the British Astronomical Association. - 1991. - Vol. 101, nr. 2 . - S. 119-120 .
  11. ↑ Funktioner av fångsten av Halley-typ kometer från nästan paraboliska banor
  12. ↑ Strängt taget, bara om jorden inte roterade; jordens rotation förvränger den verkliga banan, om än svagt.

Litteratur

Länkar