Projektiv dualitet

En viktig egenskap hos det projektiva planet är " symmetri " hos de roller som punkter och linjer spelar i definitioner och satser, och dualitet är en formalisering av detta koncept. Det finns två tillvägagångssätt till begreppet dualitet: en, med hjälp av språket i " principen om dualitet ", låter dig förklara en uppsättning satser dubbla till varandra, medan satsen dual till sann också är sann; och ett annat, funktionellt tillvägagångssätt baserat på en speciell dualitetskartläggning. Sambandet mellan tillvägagångssätten är att dualsatsen erhålls genom att tillämpa dualitetsmappingen på varje objekt av det ursprungliga. Ett samordnat tillvägagångssätt är också möjligt .

Begreppet plan dualitet kan lätt utvidgas till dualitet i vilken ändlig dimensionell projektiv geometri som helst.

Dualitetsprincipen

Dualitetsprincipen för det projektiva planet säger att om vi tar någon sann påstående formulerad i termer av projektiv geometri (vilken projektiv sats som helst), och ersätter alla förekomster av varje term med dess dual, får vi återigen en sann påstående. I synnerhet för påståenden om punkter och linjer räcker det att ersätta varje förekomst av ordet "punkt" med "linje" och "linje" med "punkt" (och även ersätta de omgivande orden på ett lämpligt sätt, t.ex. "ligger på" med "hör till"). Ett sålunda erhållet uttalande sägs vara dubbelt mot det ursprungliga. Till exempel, för det projektiva axiomet "Det finns bara en linje genom varannan punkt", är det dubbla uttalandet ett annat projektivt axiom "Varje två linjer skär varandra i en punkt".

Denna princip ger ett bra skäl för att använda den "symmetriska" termen för incidensrelationen . Så istället för meningen "en punkt ligger på en linje", kan man säga "en punkt och en linje är infallande", och för att göra påståendet till en dubbel räcker det att ordna om orden punkt och linje ("linje och punkt är incident”).

Detta koncept kan generaliseras till dualiteten i ett tredimensionellt projektivt utrymme, där begreppen "punkt" och "plan" byter roll (och raka linjer förblir raka). [1] Detta leder till Dualitetsprincipen för rymden . Ytterligare generaliseringar är också möjliga (se nedan).

Dualitet av mer komplexa figurer

En konfiguration av punkter och linjer med en symbol är en uppsättning punkter och linjer så att exakt konfigurationslinjer passerar genom varje punkt , och exakt konfigurationspunkter på varje linje . Det dubbla objektet för konfigurationen med symbolen är konfigurationen med symbolen . Till exempel är det dubbla objektet för ett komplett fyrsidigt objekt ett komplett fyrsidigt [2] . $(m_{c},n_{d})$ $m$ $n$ $c$ $d$ $(m_{c},n_{d})$ $(n_{d},m_{c})$

Dualitetsprincipen tillåter en generalisering till godtyckliga kurvor på det projektiva planet. För att konstruera en dubbelkurva byggs en linje dual till varje punkt i den givna kurvan, och sedan betraktas deras envelopp - en sådan kurva att alla erhållna linjer tangerar den. Speciellt för andra ordningens kurvor på det projektiva planet visar det sig att den dubbla kurvan också är en andra ordningens kurva.

Mer generellt gäller följande uttalande för kvadriker i ett projektivt rum: uppsättningen tangenthyperplan till en icke-degenererad kvadratisk i ett projektiv rymd bildar en icke-degenererad kvadratisk i rymden (asterisken betyder som vanligt dubbelrum ) [ 3] . Dualitet kan också utvidgas till godtyckliga projektiva algebraiska varianter. $P(L)$ $P(L^{*})$

Dubbla satser

För det verkliga projektiva planet finns det ett antal välkända påståenden som är dubbla till varandra. Bland dem: ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$

Dubbla polyedrar

Inom stereometri finns det en dualitet av polyedrar , när punkter är dubbla mot ytor och kanter är dubbla till kanter, så att till exempel en icosahedron är dubbel till en dodekaeder och en kub är dubbel till en oktaeder . Ett sätt att konstruera denna dualitet är att använda projektiv dualitet.

Formalisering

Om man definierar det projektiva planet axiomatiskt som en infallsstruktur i termer av en uppsättning punkter , en uppsättning linjer och en binär infallsrelation som bestämmer vilka punkter som ligger på vilka linjer, då kan man definiera en dubbelplansstruktur . $P$ $L$ $jag$

Om vi byter ut rollerna som "punkter" och "räta linjer" i incidensstrukturen

C=(P,L,I),

vi får den dubbla strukturen

C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),

var är den omvända relationen av till . är också ett projektivt plan, som kallas dubbelplanet för . ${\displaystyle I^{\ast ))$ $jag$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $C$

Om och är isomorfa, så kallas det självdual . Projektiva plan för vilket fält som helst (eller, mer allmänt, för vilken kropp som helst som är isomorf för sig själv) är självdual. I synnerhet är desarguesiska plan med ändlig ordning alltid självduala. Men bland icke-desarguesiska plan finns det både självduala (till exempel Hughesplanen ) och icke-självduala (till exempel Hallplanen). $C$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $C$ $\operatörsnamn {PG} (2,K)$ $K$

Dualitet som kartläggning

Dualitet (av ett plan) är en kartläggning från ett projektivt plan till dess dubbla , vilket bevarar incidensegenskapen. Således mappar dualitet punkter till linjer och linjer till punkter ( och ) på ett sådant sätt att om en punkt ligger på en linje (betecknad med ), då . $C=(P,L,I)$ $C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })$ $\sigma$ $P^{\sigma }=L$ $L^{\sigma }=P$ $F$ $m$ $Qim$ $m^{\sigma }I^{\ast}Q^{\sigma }\Leftrightarrow QIm$

Dualitet definierad på detta sätt är inte nödvändigtvis en bijektion. Dualiteten av projektiva plan, som är en isomorfism, kallas korrelation . [4] [5] Ibland är de begränsade endast till fallet med en automorfism, det vill säga en kartläggning från det projektiva planet in i sig självt, då innebär förekomsten av en korrelation det projektiva planets självdualitet.

Förhållande med kollinering

Man kan se på begreppet korrelation som en analog till begreppet kollination. En kollinering är en kartläggning mellan projektiva plan som kartlägger punkter till punkter och linjer till linjer, det vill säga bevarar infall. [6]

En viktig egenskap hos kollinationer är att de bevarar dubbelrelationen [7] . Korrelationer uppfyller också detta krav, och översätter det dubbla förhållandet av poäng till ett dubbelt förhållande av linjer. Sålunda, när man översätter en uppsättning punkter på en linje till en penna av linjer genom en punkt, översätts varje harmonisk kvadring av punkter till en harmonisk fyrkant av linjer.

Med tanke på sammansättningen av en godtycklig korrelation med sig själv får vi automatiskt en viss kollinering . Om det visar sig vara en identitetskartläggning, det vill säga om korrelationen i sig är en involution , så kallas det en polaritet eller polär överensstämmelse . Ibland används detta namn bara för en viss typ av korrespondens, se #poler och polar . $\varphi$ $\varphi ^{2}$

Mappningar med samma egenskaper kan också införas i utrymmen med högre dimensioner, alla argument upprepas ordagrant.

Klassificering av korrelationer

Eftersom sammansättningen av två korrelationer är en kollination tillåter detta att kollinationer kan klassificeras, varefter mängden av alla korrelationer beskrivs som en sammansättning av en fast korrelation med alla kollinationer.

Föreställningen om en kollination är nära besläktad med föreställningen om en projektiv transformation . Formellt är en projektiv transformation en kollinering som kommer från en linjär operator på . Det visar sig att i det verkliga fallet eller för , dessa begrepp helt enkelt sammanfaller. För ett projektivt plan av formen , där är en kropp, enligt grundsatsen för projektiv geometri , är varje kollinering en sammansättning av en automorfism och en projektiv omvandling . $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n>2$ $\operatörsnamn {PG} (2,K)$ $K$ $K$

Detta kan användas för att visa att korrelationen på ges av en godtycklig sesquilinjär form på fältet som är associerat med en godtycklig antiautomorfism . I det här fallet mappas varje delrum till ortogonalt mot det med avseende på den givna formen. $\operatörsnamn {PG} (2,K)$ $K^{3}$ $K$

Dualitet i homogena koordinater

Det projektiva planets dualitet är ett specialfall av dualiteten för projektiva rum , transformationer (som också betecknas med ), där är ett fält som byter dimensionsobjekt med dimensionsobjekt (= kodimension ). I ett projektivt utrymme kommer alltså dimensionerna för en punkt (dimension 0) att motsvara hyperplan (kodimension 1), linjer som passerar genom två punkter (dimension 1) kommer att motsvara skärningspunkten mellan två hyperplan (kodimension 2) och så vidare . $\operatörsnamn {PG} (n,K)$ $K\mathbb {P} ^{n}$ $K$ $r$ $n-1-r$ $r+1$ $n$

Punkterna kan betraktas som icke-nollvektorer i det ( )-dimensionella vektorutrymmet över , där vi identifierar vektorer som skiljer sig åt genom multiplikation med en skalär. En vektor som inte är noll definierar också ett -dimensionellt delrum (hyperplan) som är ortogonalt mot det : $\operatörsnamn {PG} (n,K)$ $n+1$ $K$ $\mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n})$ $K^{n+1}$ $(n-1)$ ${\displaystyle H_{u))$

H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n} =0\}.

Vektorn som används för att definiera hyperplanet kommer att betecknas med , och för att beteckna punkten som motsvarar slutet av vektorn använder vi notationen . När det gäller den vanliga prickprodukten , . Eftersom det är ett fält är punktprodukten symmetrisk, vilket betyder . Du kan ange en korrelation mellan punkter och hyperplan. Denna korrespondens kan utökas till linjer som bildas av två punkter och skärningspunkten mellan två hyperplan, och så vidare. $\mathbf {u}$ $\mathbf {u} _{H}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{P))$ ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\))$ $K$ $\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_ {n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}$ ${\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}$

På det projektiva planet med fältet har vi en överensstämmelse: homogena koordinater är räta linjer som ges av ekvationerna . I projektivt utrymme ser överensstämmelsen ut som punkter i homogena koordinater ↔ för planet, givet av ekvationerna . Denna överensstämmelse kartlägger också linjen som ges av de två punkterna och till den linje som är skärningspunkten mellan de två planen som ges av ekvationerna och . $\operatörsnamn {PG} (2,K)$ $K$ $(a,b,c)\leftrightarrow$ $axe+by+cz=0$ $\operatörsnamn {PG} (3,K)$ $(a,b,c,d)$ $ax+by+cz+dw=0$ $(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})$ $(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})$ $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0$ $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0$

Den skalära produkten i kan ersättas av en godtycklig icke-degenererad bilinjär form, och därigenom konstruera andra korrelationer. $K^{n+1}$

Geometrisk konstruktion av ömsesidig transformation

Överensstämmelsen i homogena koordinater kan beskrivas geometriskt. För detta används modellen av det verkliga projektiva planet "enhetssfären med identifiering av antipoder [8] ", eller på motsvarande sätt modellen av linjer och plan som passerar genom rymdens ursprung . Låt oss jämföra den räta linjen som går genom koordinaternas ursprung med det enda planet som är ortogonalt mot det, som innehåller koordinaternas ursprung. Om linjerna i denna modell betraktas som punkter, och planen som linjer i det projektiva planet , blir denna jämförelse en överensstämmelse (i själva verket en polär kartläggning) av det projektiva planet. En sfärisk modell kan erhållas som skärningspunkten mellan linjer och plan som passerar genom origo, med en enhetssfär centrerad vid origo. Linjerna skär sfären vid två motsatta punkter, som identifieras för att erhålla en punkt i det projektiva planet, medan planen skär sfären i storcirklar , som är linjerna i det projektiva planet. $\operatörsnamn {PG} (2,R)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatörsnamn {PG} (2,R)$

Att en sådan sammanställning "bevarar" förekomsten är lätt att visa i modellen av linjer och plan. En punkt som faller in på en linje i det projektiva planet motsvarar en linje som ligger på planet i modellen. Med dualitet blir planet en rät linje som går genom origo och vinkelrät mot planet. Denna bild (linje) är vinkelrät mot vilken linje som helst som ligger på det ursprungliga planet, och i synnerhet mot den ursprungliga linjen (en punkt på det projektiva planet). Alla linjer vinkelräta mot den ursprungliga linjen bildar ett plan, vilket är bilden av den ursprungliga linjen. Bilden av linjen ligger alltså i bilden av planet, så att infallet bevaras.

Polar och polare

På det euklidiska planet fixar vi en cirkel med centrum och radie . För varje punkt som skiljer sig från definierar vi bilden på strålen enligt regeln . Den sålunda definierade mappningen kallas cirkelinversionen . En linje som går genom och vinkelrät mot kallas punktens polar i förhållande till cirkeln . $C$ $O$ $r$ $P$ $O$ $P'=Q$ $OP$ $OP\cdot OQ=r^{2}$ $P\mapsto Q$ $C$ $q$ $P$ $OP$ $F$ $C$

Låt vara en linje som inte går igenom . Låt oss släppa vinkelrät från punkten till linjen . Låt vara bilden av punkten under inversion med avseende på . Sedan säger de att det är linjens pol . Om punkten ligger på en linje (som inte går igenom ), så ligger linjens pol på punktens pol och vice versa. Således, en kartläggning som tar punkter och linjer till deras poler och poler med avseende på , bevarar incidens och är en projektiv omvandling av . [9] $q$ $O$ $OP$ $O$ $q$ $F$ $P$ $C$ $F$ $q$ $M$ $q$ $O$ $F$ $q$ $m$ $M$ $C$

För att göra denna process till en en-till-en-transformation och förvandla den till en korrelation , måste det euklidiska planet utökas till det projektiva planet genom att lägga till en linje vid oändligheten och punkter i oändligheten som ligger på denna linje vid oändlighet. På detta utökade plan definierar vi en punkts polar som linjen i oändligheten (och punkten är linjens pol i oändligheten), och polerna för linjerna genom som punkterna i oändligheten, där, om linjen har en sluttning , dess pol är den punkt i oändligheten som motsvarar klassens parallella räta linjer med en lutning . Polen för en axel är en punkt i oändligheten av de vertikala linjerna, och polen för en axel är en punkt i oändligheten av de horisontella linjerna. $O$ $O$ $O$ $s(\neq 0)$ $-1/s$ $x$ $y$

Konstruktionen av den polära transformationen för inversion kring en cirkel som ges ovan kan generaliseras med inversion kring koniska sektioner (på det utsträckta reella planet). Den ömsesidiga transformationen konstruerad på detta sätt är en projektiv korrelation av ordning 2, det vill säga en polär transformation.

Mappa en sfär till ett plan

Den projektiva planmodellen med enhetssfären är isomorf (med hänsyn till infallsegenskapen) för den plana modellen, där planet förlängs med den projektiva linjen i oändligheten. I denna modell anses motsatta punkter på sfären (i förhållande till mitten) vara en punkt.

För att associera sfärens punkter med punkter på planet, antar vi att sfären berör planet någon gång, och vi väljer denna punkt som utgångspunkt för planet. Låt oss nu rita en linje genom en punkt på sfären och mitten av sfären. Denna linje kommer att skära sfären någon gång. Den resulterande punkten kan användas för att konstruera en en-till-en-mappning

f:[0,\pi /2]\ gånger [0,2\pi ]\högerpil {\mathbb {R}}P^{2}.

Om punkterna i ges i homogena koordinater , då ${\mathbb {R}}P^{2}$

f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],

f^{{-1}}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \ över z}\höger)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\höger).

Linjerna på den plana modellen är projektioner av sfärens stora cirklar, eftersom ett plan kan dras genom en linje på planet och ursprunget för 3-dimensionella koordinater, och detta plan kommer att skära sfären längs storcirkeln.

Som kan ses kan vilken storcirkel som helst på sfären förknippas med en projektiv punkt som motsvarar en enda linje vinkelrät mot det plan som cirkeln ligger på och som kan definieras som dubbel. Denna linje skär tangentplanet, och den visar hur man associerar en enstaka punkt i planet med vilken linje som helst i detta plan, på ett sådant sätt att punkten blir dubbel med linjen.

Anteckningar

↑ J.V. Jung. Projektiv geometri. - Moskva: Stat. ed. Utländsk litteratur, 1949. - S. 30.
↑ Coxeter, 2003 , sid. 26
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. 11, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Pevsner, 1980 , s. 68-69 § 13 Kollinationer
↑ Dembowski, 1968 s.151.
↑ Punkter som ligger på samma linje kallas kolinjära, det vill säga de ligger på samma linje. Kolinjär transformation bevarar egenskapen kollinitet. Se Volberg, 1949
↑ Pevzner, 1980 , s. 45-46, Dubbel relation mellan punkter och linjer i planet
↑ motsatta punkter på sfären (ändarna av diametern) kallas antipoder .
↑ Coxeter och Greitzer, 1978 s.165

Litteratur

A. Adrian Albert, Reuben Sandler. En introduktion till ändliga projektiva plan. — New York: Holt, Rinehart och Winston, 1968.
F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlin.
R. Baer. Linjär algebra och projektiv geometri. - Moskva: Förlag för utländsk litteratur, 1955.
MK Bennett. Affin och projektiv geometri . - New York: Wiley, 1995. - ISBN 0-471-11315-8 .
Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projektiv geometri: från fundament till applikationer. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - ISBN 0-521-48277-1 .
Ray Casse. Projektiv geometri: en introduktion. - New York: Oxford University Press, 2006. - ISBN 0-19-929886-6 .
Judith N. Cederberg. En kurs i moderna geometrier. - New York: Springer-Verlag, 2001. - ISBN 0-387-98972-2 .
G.S.M. Coxeter. Riktigt projektivt plan. - Moskva: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1959.
Coxeter, HSM projektiv geometri. — 2:a uppl. - Springer Verlag, 2003. - ISBN 978-0-387-40623-7 .
G.S.M. Coxeter. Introduktion till geometri. - Moskva: "Nauka" Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1968.
G.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Nya möten med geometri. - Moskva: "Nauka" Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1978. - (Bibliotek av den matematiska cirkeln).
Dembowski Peter. Finita geometrier. Berlin: Springer Verlag, 1968.
Lynn E Garner. En översikt över projektiv geometri. - New York: North Holland, 1981. - ISBN 0-444-00423-8 .
Greenberg, MJ Euklidiska och icke-euklidiska geometrier. — 4:e uppl. – Freeman, 2007.
R. Hartshorne. Grunderna i projektiv geometri. - Moskva: "Mir", 1970. - ("Modern Mathematics" Popular Series).
Hartshorne Robin. Geometri: Euklid och Beyond. — Springer, 2000.
D. Gilbert, S. Cohn-Vossen. visuell geometri. - Moskva, Leningrad: Huvudupplagan av allmän teknisk litteratur och nomografi, 1936.
DR Hughes, FC Piper. projektiva plan. — Springer, 1973.
F. Karteszi. Introduktion till ändliga geometrier. - Amsterdam: North-Holland, 1976. - ISBN 0-7204-2832-7 .
RJ Mihalek. Projektiv geometri och algebraiska strukturer . - New York: Academic Press, 1972. - ISBN 0-12-495550-9 .
S. Ramanan. Projektiv geometri // Resonans. - Springer India, augusti 1997. - Vol. 2 , nr. 8 . — S. 87–94 . — ISSN 0971-8044 . - doi : 10.1007/BF02835009 .
Pierre Samuel. Projektiv geometri . - New York: Springer-Verlag, 1988. - ISBN 0-387-96752-4 .
Frederick W. Stevenson. projektiva plan. - San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. - ISBN 0-7167-0443-9 .
Oswald Veblen, JWA Young. projektiv geometri. - Boston: Ginn & Co., 1938. - ISBN 978-1-4181-8285-4 .
O.A. Volberg. Grundläggande idéer om projektiv geometri. - Moskva, Leningrad: Uchpedgiz, 1949.
S.L. Pevzner. Projektiv geometri. - Moskva: "Enlightenment", 1980. - S. 68-69 § 13 Kollinationer.
HELVETE. Alexandrov , N.Yu. Netsvetaev. Geometri. - Moskva: Nauka, 1990.
I.R. Shafarevich , A.O. Remizov. Linjär algebra och geometri. — Moskva: Fizmatlit, 2009.

Länkar

Weisstein, Eric W. Duality Principle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .