Pascals teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 februari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Pascals sats [1] är en klassisk sats av projektiv geometri .

Formulering

Om en hexagon är inskriven i en cirkel (eller någon annan konisk sektion - ellips , parabel , hyperbel , eller till och med ett par raka linjer ), så ligger skärningspunkterna för tre par av motsatta sidor på samma räta linje. Denna linje kallas Pascals linje [2] .

Historik

Först formulerades och bevisades av Blaise Pascal vid 16 års ålder som en generalisering av Pappus teorem . Pascal tog denna teorem som grund för sin avhandling om koniska sektioner. Själva avhandlingen har försvunnit och endast en sammanfattning av den är känd från ett brev från Leibniz, som under sin vistelse i Paris hade den i sina händer, och en sammanfattning av huvudsatserna i denna avhandling, sammanställd av Pascal själv (Experiment on conic) avsnitt). Pascal själv ansåg att linjeparet i Pappus sats var ett koniskt snitt, och Pappus sats var ett specialfall av hans sats.

Om bevis

Ett av bevisen använder dubbelräkning .
Ett möjligt bevis är baserat på en konsekvent tillämpning av Menelaos' teorem .
Genom en projektiv transformation kan man omvandla den beskrivna kägeln till en cirkel, samtidigt som satsens tillstånd bevaras. För en cirkel kan satsen bevisas från förekomsten av en isogonal konjugation .
- I fallet med en konvex polygon inskriven i en cirkel är det möjligt att utföra en projektiv transformation som lämnar cirkeln på plats, och linjen som går genom skärningspunkterna för två par motsatta sidor kan tas till oändlighet. I detta fall blir påståendet om satsen uppenbart.
Ett möjligt bevis kan också baseras på 9-punkts-på-en-tärningen-satsen .

Applikation

Låter dig bygga en konisk sektion med fem punkter, som platsen för punkter som motsvarar den sjätte punkten i hexagonen i konfigurationen.

Variationer och generaliseringar

Pascals sats är dubbel till Brianchons sats .

Om huvuddiagonalerna för en hexagon skär varandra vid en punkt, så är den motsvarande linjen som uppstår i Pascals sats polären för denna punkt med avseende på kägeln i vilken hexagonen är inskriven.
- Generellt sett är linjen från Pascals sats för en hexagon inskriven i en konisk polär med avseende på punkten från Brianchons sats för en hexagon som bildas av tangenter till vid hörnen på den ursprungliga hexagonen. ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

Satsen är också sant i fallet när två eller till och med tre närliggande hörn sammanfaller (men inte mer än två på en punkt). I detta fall tas tangenten till linjen vid denna punkt som en rät linje som går genom två sammanfallande hörn. Särskilt:
- En tangent till en linje av 2:a ordningen tecknad vid en av hörnen på en inskriven femhörning skär den sida som är motsatt denna vertex i en punkt som ligger på en rät linje som går genom skärningspunkterna för de återstående paren av icke-intilliggande sidor av denna. femhörning.
- Om ABCD är en fyrhörning inskriven på en linje av andra ordningen, så ligger skärningspunkterna för tangenterna vid hörn C respektive D med sidorna AD och BC och skärningspunkten för linjerna AB och CD på en linje.
- Om ABCD är en fyrhörning inskriven på en linje av 2:a ordningen, så ligger skärningspunkterna för tangenterna vid hörnen C och D, linjerna AC och BD och linjerna AD och BC på samma räta linje.
- Skärningspunkterna för tangenterna vid toppen av en triangel inskriven i en linje av 2:a ordningen med motsatta sidor ligger på samma räta linje.
  - Denna linje kallas Pascal-linjen i den givna triangeln.

År 1847 kom en generalisering av Pascals teorem gjord av Möbius , som låter så här:
- Om en polygon med sidor är inskriven i en konisk sektion och dess motsatta sidor är förlängda på ett sådant sätt att de skär varandra i en punkt, då om dessa punkter ligger på en linje, kommer den sista punkten att ligga på samma linje. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Kirkmans teorem : Låt punkterna , , , , och ligga på samma koniska sektion. Sedan Pascals linjer av hexagoner , och skär varandra vid en punkt. $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Sats om 9 punkter på en kub

Ytterligare illustrationer

Anteckningar

↑ Även känd under det latinska namnet hexagrammum mysticum theorem
↑ Dmitrij Efremov . Ny triangelgeometri arkiverad 25 februari 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 7-8. Kapitel I, punkt 11.

Litteratur

Kotelnikov K. Pascals hexagon // V.O.F.E.M. . - 1888. - Nr 50 . - S. 34-35 .
Pascal . Ett experiment på koniska snitt med en bilaga till Leibniz brev till E. Perrier. Översättning och kommentar av G. I. Ignatius. // Historisk och matematisk forskning . Nummer XIV.
Freivert D. M. Ett nytt ämne i euklidisk geometri på planet: teorin om "Pascal-punkter" som bildas med hjälp av en cirkel på sidorna av en fyrhörning . - 2019. - S. 37-42 .
Sjal . En historisk genomgång av geometriska metoders ursprung och utveckling . Ch. 2, § 16-19. M., 1883.
R. Courant, G. Robbins, Vad är matematik? Kapitel IV, § 8.4.
Live-ritningar (i Java )
- Pascals sats om Klipp knuten
- Pascals teorem
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
D. Fraivert. Teorin om en konvex fyrhörning och en cirkel som bildar Pascalpunkter - egenskaperna hos Pascalpunkter på sidorna av en konvex fyrhörning // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 40 . — S. 1–34. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121666 .
D. Fraivert. Egenskaper för en Pascal-punktcirkel i en fyrhörning med vinkelräta diagonaler // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - P. 509-526.