Parabel

Parabel

Parabol, dess fokus och riktning
Excentricitet	$e=1$
Ekvationer
${\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F \\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}$
Andra koniska sektioner
Hyperbel Parabel Ellips Cirkel

Parabel ( grekiska παραβολή - approximation [1] ) är en plan kurva, en av typerna av koniska sektioner .

Definition

Forntida matematiker definierade en parabel som resultatet av skärningen av en cirkulär kon med ett plan som inte passerar genom toppen av konen och är parallell med dess generatris (se figur). Inom analytisk geometri är en ekvivalent definition mer praktiskt: en parabel är ett ställe av punkter på ett plan för vilket avståndet till en given punkt ( fokus ) är lika med avståndet till en given rät linje ( direktrix ) (se figur) [ 2] .

Om fokus ligger på riktlinjen, urartar parabeln till en streckad linje .

Tillsammans med ellipsen och hyperbeln är parabeln en konisk sektion . Den kan definieras som en konisk sektion med enhetsexcentricitet .

Summit

Punkten på en parabel närmast dess riktlinje kallas för parabelns vertex . Spetsen är mittpunkten av vinkelrät sänkt från fokus till riktlinje.

Ekvationer

Den kanoniska ekvationen för en parabel i ett rektangulärt koordinatsystem är :

\textstyle y^{2}=2px,p>0

(eller , om koordinataxlarna är omvända).

\textstyle x^{2}=2py

Talet p kallas fokalparametern, det är lika med avståndet från fokus till riktlinjen [3] . Eftersom varje punkt i parabeln är lika långt från fokus och riktlinje, så är det även vertex, så den ligger mellan fokus och riktlinje på ett avstånd från båda. $\frac{p}{2}$

Slutsats
Directrix- ekvation PQ: , fokus F har koordinater . Ursprunget O är alltså mittpunkten av segmentet CF. Enligt definitionen av en parabel, för varje punkt M som ligger på den, är likheten KM = FM uppfylld . Vidare, eftersom och , då tar jämställdheten formen: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .$ Efter kvadrering och några transformationer erhålls en ekvivalent ekvation $y^{2}=2px.$

Slutsats

Directrix- ekvation PQ: , fokus F har koordinater . Ursprunget O är alltså mittpunkten av segmentet CF. Enligt definitionen av en parabel, för varje punkt M som ligger på den, är likheten KM = FM uppfylld . Vidare, eftersom och , då tar jämställdheten formen: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$

{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .

Efter kvadrering och några transformationer erhålls en ekvivalent ekvation $y^{2}=2px.$

Parabol ges av en kvadratisk funktion

Den kvadratiska funktionen för är också en ekvation för en parabel och representeras grafiskt av samma parabel som men, till skillnad från den senare, har den en vertex inte vid origo, utan vid någon punkt A, vars koordinater beräknas med formlerna: $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2},$

x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a)),\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a)),

var är diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium.

D=b^2-4ac

Symmetriaxeln för en parabel som ges av en kvadratisk funktion passerar genom spetsen parallellt med y-axeln. För a > 0 ( a < 0 ), ligger fokus på denna axel ovanför (under) vertexet på ett avstånd av 1/4 a , och riktlinjen ligger under (ovanför) vertexet på samma avstånd och är parallell med x-axeln. Ekvationen kan representeras i formen och vid överföring av origo till punkt A övergår parabelekvationen till en kanonisk. Således kan man för varje kvadratisk funktion hitta ett koordinatsystem så att i detta system representeras ekvationen för motsvarande parabel som kanonisk. Vart i $y=ax^{2}+bx+c$ $y=a(x-x_{\textrm {A)))^{2}+y_{\textrm {A)),$ $p=\frac{1}{|2a|}.$

Den allmänna ekvationen för en parabel

I allmänhet behöver en parabel inte ha en symmetriaxel parallell med en av koordinataxlarna. Men som alla andra koniska sektioner är parabeln en kurva av andra ordningen och därför kan dess ekvation på planet i det kartesiska koordinatsystemet skrivas som ett kvadratiskt polynom:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Om en andra ordningens kurva som ges i denna form är en parabel, så är diskriminanten som består av koefficienterna vid de högsta termerna lika med noll. $B^2-4AC$

Ekvationen i det polära systemet

En parabel i polära koordinater centrerad i fokus och nollriktning längs parabelns axel (från fokus till spets) kan representeras av ekvationen $(\rho,\vartheta)$

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

där p är fokalparametern (avstånd från fokus till direktlinje eller två gånger avståndet från fokus till spets)

Beräkning av koefficienterna för en kvadratisk funktion

Om för ekvationen av en parabel med en axel parallell med y-axeln, koordinaterna för tre olika punkter i parabeln är kända , kan dess koefficienter hittas enligt följande: $y=ax^{2}+bx+c$ $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),$

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{ 2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{ 2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_ {1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Om vertexet och den ledande koefficienten är givna , beräknas de återstående koefficienterna och rötterna med formlerna: $(x_{0};y_{0})$ $a$

b=-2ax_0

c=ax_0^2+y_0

x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Egenskaper

En parabel är en kurva av andra ordningen .
Den har en symmetriaxel som kallas parabelaxeln . Axeln passerar genom fokus och vertex vinkelrätt mot riktlinjen.
optisk egenskap. En stråle av strålar parallellt med parabelns axel, reflekterad i parabeln, samlas vid dess fokus. Omvänt reflekteras ljus från en källa som är i fokus av en parabel till en strålstråle parallellt med dess axel. Signalen kommer också att komma i en fas, vilket är viktigt för antenner.
Om parabelns fokus reflekteras i förhållande till tangenten, kommer dess bild att ligga på riktningen .
Segmentet som förbinder mittpunkten av ett godtyckligt ackord av parabeln och skärningspunkten för tangenterna till den vid ändarna av detta ackord är vinkelrät mot riktningen, och dess mittpunkt ligger på parabeln.
Parabeln är linjens antipodera .
Alla paraboler är lika . Avståndet mellan fokus och riktlinje bestämmer skalan.
Banan för fokus för en parabel som rullar längs en rak linje är kontaktledningen [4] .
Den omskrivna cirkeln av en triangel som är omskriven kring en parabel passerar genom dess fokus, och skärningspunkten för höjderna ligger på dess riktlinje

Relaterade definitioner

När en parabel roteras runt symmetriaxeln erhålls en elliptisk paraboloid .

Variationer och generaliseringar

Grafer för en potensfunktion med en naturlig exponent kallas paraboler av ordning [5] [6] . Den tidigare betraktade definitionen motsvarar , det vill säga en parabel av 2:a ordningen. $y=x^{n}$ $n>1$ $n$ $n=2,$

Parabeln är också en sinusformad spiral vid ; $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$

Paraboler i det fysiska rummet

Banorna för vissa kosmiska kroppar ( kometer , asteroider och andra) som passerar nära en stjärna eller annat massivt föremål ( stjärna eller planet ) med tillräckligt hög hastighet har formen av en parabel (eller hyperbel ). Dessa kroppar, på grund av sin höga hastighet, fångas inte av stjärnans gravitationsfält och fortsätter sin fria flygning. Detta fenomen används för gravitationsmanövrar av rymdfarkoster (särskilt Voyager- fordon ).

För att skapa tyngdlöshet under markförhållanden flyger flygplan längs en parabolisk bana, den så kallade Kepler-parabeln.

I frånvaro av luftmotstånd är flygbanan för en kropp i approximationen av ett enhetligt gravitationsfält en parabel.

Dessutom används paraboliska speglar i bärbara amatörteleskop av Cassegrain-, Schmidt-Cassegrain-, Newton-systemen, och extraspeglar är installerade i parabelns fokus och matar bilden till okularet.

När ett kärl med en vätska roterar runt en vertikal axel skärs ytan av vätskan i kärlet och det vertikala planet längs en parabel.

Egenskapen hos en parabel att fokusera en strålstråle parallellt med parabelns axel används i designen av strålkastare, lampor, strålkastare, såväl som reflekterande teleskop (optiska, infraröda, radio ...), i utformningen av snävt riktade ( satellit och andra) antenner som behövs för att överföra data till stora avstånd, solkraftverk och andra områden.

Parabelformen används ibland i arkitektur för konstruktion av tak och kupoler.

Parabolbana och satellitrörelse längs den (animation)
Fallande basket _
Paraboliskt solkraftverk i Kalifornien , USA
Paraboliska banor av vattenstrålar
Roterande kärl med vätska
Parabol - antipodera rak

Anteckningar

↑ Parabel . Ordbok över främmande ord . Hämtad 19 juni 2021. Arkiverad från originalet 14 januari 2020. (obestämd)
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ Alexandrov P. S. Parabola // Kurs för analytisk geometri och linjär algebra. - M . : Nauka , 1979. - S. 69-72. — 512 sid.
↑ Savelov A. A. Plana kurvor. Systematik, egenskaper, tillämpningar (Referensguide) / Ed. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Bityutskov V.I. Power-funktion // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 sid.
↑ Power funktion // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 564 -565. — 847 sid.

Litteratur

Akopyan A. A., Zaslavsky A. V. Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen . - M. : MTSNMO, 2007. - 136 sid.
Bronstein I. Parabola // Kvant . - 1975. - Nr 4 . - S. 9-16 .
Markushevich AI Anmärkningsvärda kurvor . - Gostekhizdat , 1952. - 32 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik , nummer 4).
Parabol // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 191-192. — 1216 sid.

Länkar

Artikel i uppslagsboken "Tillämpad matematik".
Animerade ritningar som illustrerar några av egenskaperna hos en parabel.
Information ( engelska ) om parabelns koppling till fysik.
Pedagogisk film om parabel

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri