Hypocykloid

Hypocykloid ( grekiska ὑπό (under, nedan) + grekiska κύκλος (cirkel, cirkel)) är en platt kurva som bildas av en cirkelpunkt som rullar längs insidan av en annan cirkel utan att glida.

Ekvationer

Parametriska ekvationer :

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1))\right)\\y=r( k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

där , där är radien för den fasta cirkeln, är radien för den rullande cirkeln. $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ $R$ $r$

Härledning av ekvationer

Låt i det första ögonblicket cirklarna röra vid en punkt som ligger på axeln , där punkten är storcirkelns centrum. I det här fallet är koordinaterna för punkten , där . Låt oss överväga hur koordinaterna för punkten som är fäst vid den rullande cirkeln ändras ( går till ). Låt en liten cirkel rulla så att dess centrum rör sig från punkt till punkt och roterar i förhållande till punkten med en vinkel . För det första kan det visas att rotationen av en liten cirkel kring dess centrum i detta fall (dvs vinkeln mellan och ) är lika med . För det andra kommer punktens koordinater att vara: . Sedan, när vi vet var centrum av den rullande cirkeln kommer att gå, och i vilken vinkel den har vänt i förhållande till detta centrum, kan vi skriva ner koordinaterna för punkten : $A$ $OXE$ $O$ $A$ $(kr,0)$ $k={\frac {R}{r))$ $A$ $A$ $A'$ $C'$ $C'$ $O$ $t$ $CA$ $C'A'$ $t-kt=-(k-1)t$ $C'$ $(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ $A'$

{\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin(( k-1)t)r\end{fall}}

Storleksmodulen bestämmer formen på hypocykloiden. När hypocykloiden beskrivs av ett par Tusi - detta är diametern på en fast cirkel, när är en astroid . Om modulen är en irreducerbar bråkdel av formen ( ), är antalet spetsar för den givna hypocykloiden, och är antalet fullständiga rotationer av den rullande cirkeln. Om modulen är ett irrationellt tal , då är kurvan inte stängd och har ett oändligt antal felmatchade cusps. $k$ $k=2$ $k=4$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $(mn)$ $k$

Exempel på hypocykloider

$k=3$ – deltoid
$k=1.5={\frac {3}{2))$
$k=4$ — Astroid
$k={\frac {4}{3}}$
$k=5$
$k=6$
$k=5.5={\frac {11}{2))$
$k={\frac {5}{3}}$
$k=3.6={\frac {18}{5))$

Se även

Anteckningar

Litteratur

Hypocykloid // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakiska uppslagsverk , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (ryska) (CC BY SA 3.0)

När du skriver den här artikeln, material från publikationen " Kazakstan. National Encyclopedia " (1998-2007), tillhandahållen av redaktörerna för "Kazakh Encyclopedia" under licensen Creative Commons BY-SA 3.0 Unported .

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta