Parametrisk representation

Parametrisk representation är en sorts representation av variabler som används i matematisk analys , när deras beroende uttrycks genom en extra kvantitet - en parameter.

Parametrisk representation av en funktion

Låt oss anta att det funktionella beroendet av inte ges direkt som utan genom ett mellanvärde $y$ $x$ $y=f(x),$ $t.$

Sedan formlerna:

x=\varphi (t);\

y=\psi (t)

definiera en parametrisk representation av en funktion av en variabel.

Om vi antar att båda dessa funktioner och har derivator och för det finns en invers funktion, uttrycks den explicita representationen av funktionen i termer av den parametriska som [1] : $\varphi$ $\psi$ $\varphi$ $\theta ,$

y=\psi [\theta (x)]=f(x)

och derivatan av funktionen kan beräknas som: $y(x)$

y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t )}{\varphi '(t))).

Parametrisk representation ger en så viktig fördel att den låter dig studera implicita funktioner i fall där deras reduktion till en explicit form är svår eller omöjlig genom elementära funktioner förutom genom parametrar .

Parametrisk representation av ekvationen

Parametrisk representation för det mer allmänna fallet: när variablerna är relaterade till en ekvation (eller ett ekvationssystem , om det finns fler än två variabler).

Parametrisk ekvation

Ett närbesläktat koncept är en parametrisk ekvation [2] för en uppsättning punkter, när punkternas koordinater ges som funktioner av någon uppsättning fria parametrar. Om parametern är en får vi den parametriska ekvationen för kurvan.

x=x(t);y=y(t)

(kurva på ett plan),

x=x(t);y=y(t);z=z(t)

(kurva i 3-dimensionellt utrymme),

Genom att uttrycka koordinaterna för ytpunkterna i termer av två fria parametrar får vi en parametrisk specifikation av ytan .

Exempel

Cirkelekvationen är :

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Parametrisk cirkelekvation:

x=r~\cos ~t~;

y=r~\sin ~t~;~~0\leq t<2\pi

En hyperbel beskrivs med följande ekvation:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Parametrisk ekvation för hyperbelns högra gren:

x=a~\operatörsnamn {ch} ~t

;~y=b~\operatörsnamn {sh} ~t~;~~-\infty <t<+\infty

Se även

Parametrisk ytspecifikation

Anteckningar

↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. Volym I. Moskva 1969. Sida 218.
↑ Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 5. - S. 221-222.