Ekvationen

Ekvation - formens likhet

f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)

där oftast numeriska funktioner fungerar som , även om det i praktiken finns mer komplexa fall - till exempel ekvationer för vektorfunktioner , funktionella ekvationer och andra. $f, g$

Lösning av ekvationen

Lösningen av ekvationen är uppgiften att hitta sådana värden för de argument för vilka denna jämlikhet uppnås. Ytterligare villkor (heltal, reellt, etc.) kan ställas på argumentens möjliga värden.

Argumenten för de givna funktionerna (ibland kallade "variabler") i fallet med en ekvation kallas "okända".

Värdena för de okända vid vilka denna jämlikhet uppnås kallas lösningar eller rötter till den givna ekvationen .

Rötter sägs uppfylla en given ekvation.

Att lösa en ekvation innebär att hitta mängden av alla dess lösningar (rötter), eller att bevisa att det inte finns några rötter alls (eller att det inte finns några som uppfyller de givna villkoren).

Ekvivalenta ekvationer

Ekvivalent eller ekvivalent kallas ekvationer, vars uppsättningar av rötter sammanfaller. Ekvivalenta betraktas också som ekvationer som inte har rötter.

Ekvivalensen av ekvationer har symmetriegenskapen : om en ekvation är ekvivalent med en annan, då är den andra ekvationen ekvivalent med den första.

Ekvivalens av ekvationer har egenskapen transitivitet : om en ekvation är ekvivalent med en annan och den andra är ekvivalent med en tredje, då är den första ekvationen ekvivalent med den tredje. Ekvivalensegenskapen hos ekvationer gör det möjligt att utföra transformationer med dem, på vilka metoderna för att lösa dem är baserade.

Den tredje viktiga egenskapen ges av satsen: om funktionerna definieras över integritetsdomänen , då ekvationen $f,g$

f(x)\cdot g(x)=0

är ekvivalent med ekvationsuppsättningen

f(x)=0,\qquad g(x)=0

Det betyder att alla rötterna till den första ekvationen är rötterna till en av de andra två ekvationerna, och låter dig hitta rötterna till den första ekvationen i två steg och lösa enklare ekvationer varje gång.

Grundläggande egenskaper

Med algebraiska uttryck som ingår i ekvationer kan du utföra operationer som inte ändrar dess rötter, i synnerhet:

parenteser kan öppnas i vilken del av ekvationen som helst;
i vilken del av ekvationen som helst kan du ta med liknande termer;
samma uttryck kan adderas eller subtraheras till båda delarna av ekvationen;
vilken term som helst i ekvationen kan överföras från en del till en annan genom att ändra dess tecken till det motsatta (detta är bara en annan formulering av föregående stycke);
båda sidorna av ekvationen kan multipliceras eller divideras med samma tal som inte är noll .

Ekvationerna som blir resultatet av dessa operationer är ekvivalenta med den initiala ekvationen. Det finns dock en begränsning för egenskap 3: i fallet att addera eller subtrahera från båda delarna av ekvationen samma uttryck som innehåller det okända och förlorar sin mening med det okända som tar värdena från rötterna till denna ekvation, en ekvation kommer att erhållas som inte motsvarar originalet (initial). Men om vi adderar eller subtraherar samma uttryck till båda delarna av ekvationen, som innehåller det okända och förlorar sin betydelse först när värdena för det okända inte är rötterna till denna ekvation, får vi en ekvation som motsvarar den initiala ekvationen ett.

Att multiplicera eller dividera båda sidorna av en ekvation med ett uttryck som innehåller ett okänt kan leda till uppkomsten av främmande rötter respektive till förlust av rötter.

Att kvadrera båda sidor av en ekvation kan leda till främmande rötter.

Konsekvens av ekvationen och främmande rötter

Ekvationen

F\left(x\right)=G\left(x\right)

kallas en konsekvens av ekvationen

f\left(x\right)=g\left(x\right)

om alla rötter i den andra ekvationen är rötter till den första. Den första ekvationen kan ha ytterligare rötter, som för den andra ekvationen kallas främmande. Främmande rötter kan uppstå under de transformationer som är nödvändiga för att hitta rötterna till ekvationerna. För att upptäcka dem är det nödvändigt att kontrollera roten genom substitution i den ursprungliga ekvationen. Om ekvationen vid substitution blir en identitet, så är roten verklig, om inte är den en outsider.

Exempel

Ekvationen när man kvadrerar båda sidor ger ekvationen , eller . Båda ekvationerna är en konsekvens av den ursprungliga. Den sista av dessa är lätt att lösa; den har två rötter och . ${\sqrt {2x^{2}-1}}=x$ $2x^{2}-1=x^{2}$ $x^{2}=1$ $x=1$ $x=-1$

När den första roten i den ursprungliga ekvationen ersätts, bildas en identitet . Att ersätta en annan rot resulterar i ett felaktigt påstående . Den andra roten måste alltså kasseras som en outsider. ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=-1$

Typer av ekvationer

Det finns algebraiska ekvationer , ekvationer med parametrar , transcendentala , funktionella , differentiala och andra typer av ekvationer.

Vissa ekvationsklasser har analytiska lösningar, som är praktiska eftersom de inte bara ger det exakta värdet på roten, utan låter dig skriva lösningen i form av en formel, som kan innehålla parametrar. Analytiska uttryck tillåter inte bara att beräkna rötterna, utan att analysera förekomsten och antalet rötter beroende på parametrarnas värden, vilket ofta är ännu viktigare för praktisk användning än de specifika värdena för rötterna.

Ekvationer för vilka analytiska lösningar är kända inkluderar algebraiska ekvationer som inte är högre än fjärde graden: linjära , kvadratiska , kubiska ekvationer och fjärdegradsekvationen . Algebraiska ekvationer av högre grader har i allmänhet ingen analytisk lösning, även om vissa av dem kan reduceras till ekvationer med lägre grader.

Ekvationer som inkluderar transcendentala funktioner kallas transcendentala. Bland dem är analytiska lösningar kända för vissa trigonometriska ekvationer, eftersom nollorna för trigonometriska funktioner är välkända.

I det allmänna fallet, när en analytisk lösning inte kan hittas, används beräkningsmetoder (numeriska) . Numeriska metoder ger ingen exakt lösning, utan tillåter bara att minska intervallet där roten ligger till ett visst förutbestämt värde.

Algebraiska ekvationer

En algebraisk ekvation är en ekvation av formen

P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0,

var är ett polynom i variabler , som kallas okända. $P$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Koefficienterna för ett polynom tas vanligtvis från något fält , och då kallas ekvationen för en algebraisk ekvation över ett fält . Graden av en algebraisk ekvation kallas graden av ett polynom . $P$ $F$ $P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0$ $F$ $P$

Till exempel ekvationen

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{ 2}-\sin{1}=0

är en algebraisk ekvation av sjunde graden i tre variabler (med tre okända) över fältet av reella tal .

Linjära ekvationer

i allmän form: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$
i kanonisk form: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b$

Andragradsekvationer

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0

där är en fri variabel, , , är koefficienter , och . $x$ $a$ $b$ $c$ $a\neq 0$

Uttrycket kallas kvadrattrinomial . Roten till en sådan ekvation (roten av ett kvadrattrinomium) är värdet på variabeln som gör kvadrattrinomialet noll, det vill säga värdet som gör andragradsekvationen till en identitet. Koefficienterna för en andragradsekvation har sina egna namn: koefficienten kallas den första eller senior , koefficienten kallas den andra eller koefficienten vid , kallas den fria medlemmen av denna ekvation. En reducerad andragradsekvation kallas, där den ledande koefficienten är lika med en. En sådan ekvation kan erhållas genom att dividera hela uttrycket med den ledande koefficienten : , där , och . En komplett andragradsekvation är en där alla koefficienter inte är noll. En ofullständig andragradsekvation är en där minst en av koefficienterna utom den högsta (antingen den andra koefficienten eller den fria termen) är lika med noll. $ax^{2}+bx+c$ $x$ $a$ $b$ $x$ $c$ $a$ $x^{2}+px+q=0$ $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

För att hitta rötterna till en andragradsekvation i det allmänna fallet bör du använda algoritmen nedan: $ax^{2}+bx+c=0$

Beräkna värdet på diskriminanten i andragradsekvationen: så är uttrycket för det .

D=b^{2}-4ac

1) om $D>0$	2) om $D=0$	3) om $D<0$
sedan finns det två rötter, och för att hitta dem, använd formeln $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	då är roten en (i vissa sammanhang talar man också om två lika eller sammanfallande rötter, eller en rot av multiplicitet 2 ), och den är lika med $-{\frac {b}{2a))$	då finns det inga rötter på mängden av reella tal.

Plottet för en kvadratisk funktion i rektangulära koordinater är en parabel. Den skär x-axeln vid punkter som motsvarar rötterna i andragradsekvationen . $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ $f\left(x\right)=0$

Kubikekvationer

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0

För grafisk analys av en kubisk ekvation i rektangulära koordinater används en kubisk parabel .

Vilken kubisk kanonisk ekvation som helst kan reduceras till en enklare form

y^{3}+py+q=0

dividera den med och ersätta ersättningen i den . I det här fallet kommer koefficienterna att vara lika: $a$ $x=y-{\tfrac {b}{3a))$

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}= {\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3))))

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^ {2}}}

. Fjärde gradens ekvation

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Den fjärde graden för algebraiska ekvationer är den högsta för vilken det finns en analytisk lösning i radikaler i allmän form (det vill säga för alla värden på koefficienterna).

Eftersom det är ett polynom av jämn grad, har det samma gräns som det tenderar till plus och minus oändlighet. Om , så ökar funktionen till plus oändlighet på båda sidor, och har därför ett globalt minimum. På liknande sätt, om , minskar funktionen till minus oändlighet på båda sidor och har därför ett globalt maximum. $f\vänster(x\höger)$ $a>0$ $a<0$

Irrationella och rationella ekvationer

En rationell ekvation är en slags ekvation där vänster och höger sida är rationella uttryck. I ekvationens post finns det bara addition, subtraktion, multiplikation, division samt höjning till ett heltal.
En irrationell ekvation är en ekvation som innehåller en okänd under rottecknet. eller höjs till en makt som inte kan reduceras till ett heltal.

System av linjära algebraiska ekvationer

Formens ekvationssystem:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(ett)

Här är antalet ekvationer och är antalet okända. x 1 , x 2 , …, x n är okända som måste bestämmas. a 11 , a 12 , …, a mn — koefficienter för systemet — och b 1 , b 2 , … b m — fria medlemmar — antas vara kända. Index för koefficienterna ( a ij ) i systemet anger talen för ekvationen ( i ) respektive den okända ( j ) som denna koefficient står vid [1] . $m$ $n$

Systemet kallas homogent om alla dess fria medlemmar är lika med noll ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), annars - heterogent. Ett system kallas kvadratiskt om antalet m ekvationer är lika med antalet n okända. Lösningen av systemet är en uppsättning av n tal c 1 , c 2 , …, c n , så att substitution av varje c i istället för x i i systemet förvandlar alla dess ekvationer till identiteter . Ett system kallas kompatibelt om det har minst en lösning, och inkonsekvent om det inte har några lösningar. Lösningar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) och c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) av ett gemensamt system kallas olika om åtminstone en från jämställdhet:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Ett gemensamt system kallas definitivt om det har en unik lösning; om den har minst två olika lösningar, så kallas den obestämd. Om det finns fler ekvationer än okända kallas det överbestämt .

Ekvationer med parametrar

En ekvation med parametrar är en matematisk ekvation, vars utseende och lösning beror på värdena för en eller flera parametrar. Att lösa en ekvation med en parameter innebär:

Hitta alla system med parametervärden för vilka den givna ekvationen har en lösning.
Hitta alla lösningar för varje hittat system av parametervärden, det vill säga för det okända och parametern, måste deras intervall av acceptabla värden anges.

Ekvationer med en parameter kan vara både linjära och icke-linjära.

Ett exempel på en linjär ekvation med en parameter:

a\,x+1=4,

Ett exempel på en icke-linjär ekvation med en parameter:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

där är en oberoende variabel, är en parameter. $x$ $a$

Transcendentala ekvationer

En transcendental ekvation är en ekvation som inte är algebraisk . Vanligtvis är dessa ekvationer som innehåller exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, inversa trigonometriska funktioner, till exempel:

$\cos x=x$ - trigonometrisk ekvation;
$\lg x=x-5$ - logaritmisk ekvation;
$2^{x}=\lg x+x^{5}+40$ - exponentiell ekvation.

En mer rigorös definition är denna: en transcendental ekvation är en ekvation av den form där funktionerna och är analytiska funktioner och åtminstone en av dem inte är algebraisk . $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $f$ $g$

Funktionella ekvationer

En funktionell ekvation är en ekvation som uttrycker förhållandet mellan värdet av en funktion (eller funktioner) vid en punkt med dess värden vid andra punkter. Många egenskaper hos funktioner kan bestämmas genom att undersöka de funktionella ekvationer som dessa funktioner uppfyller. Termen "funktionell ekvation" används vanligtvis för ekvationer som inte kan reduceras på enkla sätt till algebraiska ekvationer. Denna irreducerbarhet beror oftast på det faktum att argumenten för den okända funktionen i ekvationen inte är de oberoende variablerna själva, utan vissa data för funktionen från dem. Till exempel:

funktionella ekvationen

f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\Gamma \left( 1-s\höger)f\vänster(1-s\höger)

där är Eulers gammafunktion , uppfyller Riemann zetafunktionen ζ.

\Gamma(z)

Följande tre ekvationer uppfylls av gammafunktionen ; det är den enda lösningen på detta system med tre ekvationer:

{\displaystyle f\left(x\right)={f\left(x+1\right)\över x))

f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}} }f\left(2y\right)

{\displaystyle f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi \over \sin \left(\pi z\right)))

( Eulers komplementformel ).

Funktionell ekvation

f\left({az+b \over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)

där , , , är heltal som uppfyller likheten , det vill säga definierar som en modulär form av ordning k .

a

b

c

d

ad-bc=1

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1

f

Differentialekvationer

En differentialekvation är en ekvation som relaterar värdet av en okänd funktion vid någon tidpunkt och värdet av dess derivator av olika ordning vid samma punkt. Differentialekvationen innehåller i sin post en okänd funktion, dess derivator och oberoende variabler. Ordningen för en differentialekvation är den största ordningen av de derivat som ingår i den. En lösning på en differentialekvation av ordningen n är en funktion som har derivator upp till ordningen n inklusive på något intervall (a, b) och som uppfyller denna ekvation. Processen att lösa en differentialekvation kallas integration . $y\left(x\right)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),\dots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Alla differentialekvationer kan delas in i

vanliga differentialekvationer (ODEs), som bara inkluderar funktioner (och deras derivator) av ett argument :

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

eller ,

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0

där är en okänd funktion (möjligen en vektorfunktion ; i detta fall talar man ofta om ett system av differentialekvationer) beroende på den oberoende variabeln ; prime betyder differentiering med avseende på .

y=y\left(x\right)

x

x

och partiella differentialekvationer , där ingångsfunktionerna beror på många variabler :

F\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0

, där är oberoende variabler och är en funktion av dessa variabler.

x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}

z=z\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{m}\right)

Ursprungligen uppstod differentialekvationer från mekanikens problem , där kropparnas koordinater , deras hastigheter och accelerationer , betraktade som funktioner av tid, deltog .

Exempel på ekvationer

$x+3=2x$
$x^{2}+1=0$
$e^{{x+y}}=x+y$
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , var finns naturliga tal $a,b,c,n$

Se även

Anteckningar

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra: Lärobok för universitet. - 6:e uppl., raderad. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 sid.

Litteratur

Bekarevich A. N. Ekvationer i skolkursen i matematik. - Minsk: Nar. Asveta, 1968. - 152 sid.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Markushevich, L. A. Ekvationer och ojämlikheter i den slutliga upprepningen av kursen för gymnasiealgebra / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematik i skolan. - 2004. - Nr 1.

Länkar

Ekvation - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
Ekvationer // Colliers Encyclopedia. — Öppet samhälle. 2000.
Ekvation // Encyclopedia Around the World
Ekvation // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
EqWorld - De matematiska ekvationernas värld - innehåller omfattande information om matematiska ekvationer och ekvationssystem.