Uttryckbarhet i radikaler

Uttryckbarhet i radikaler betyder förmågan att uttrycka ett tal eller en funktion i termer av de enklaste talen eller funktionerna genom att extrahera roten till en heltalsgrad och aritmetiska operationer - addition , subtraktion , multiplikation , division .

För siffror

Primära definitioner

Standarddefinition

Ett fältelement sägs vara radikalt uttryckbart över ett fältunderfält om det finns ett algebraiskt uttryck som endast innehåller de element i fältet vars värde är lika med . Om roten i fältet är en funktion med flera värden anses det tillräckligt att talet är lika med minst ett av de möjliga värdena för det algebraiska uttrycket . $a$ $F$ $G$ $F$ $G$ $a$ $F$ $a$

Med andra ord består uppsättningen av siffror som kan uttryckas i radikaler av uppsättningen värden för alla rationella uttryck , delsummor av radikaler från värdena för rationella uttryck och delsummor av kapslade radikaler från värden för rationella uttryck.

Definition utan hänvisning till matematikens formella språk

Låt vara ett underfält av fältet . Betrakta en ändlig kedja av kapslade fält så att och [nb 1] för någon från till , där är ett tal från fältet så att för något naturligt tal hör till . Ett tal sägs vara radikalt uttryckbart över ett delfält av fältet om det för vissa finns samlingar och för det så att [1] . $G$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $i$ $ett$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i))$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Andra definitioner

Ett reellt tal sägs kunna uttryckas i reella radikaler om det kan uttryckas i radikaler över ett delfält av rationella tal i fältet för reella tal . I det här fallet tillåts rötterna till en jämn grad i det algebraiska uttrycket som antar ett värde endast tas från icke-negativa tal , det vill säga värdet av ett underuttryck av uttrycket i fråga måste ha en noll imaginär del . $x$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $x$
Ett komplext tal (som också kan vara reellt ) sägs vara uttryckbart i komplexa radikaler om det är uttryckbart i radikaler över underfältet av rationella tal i området för komplexa tal . Ett tal som kan uttryckas i verkliga radikaler kan alltid uttryckas i komplexa radikaler. Den primära förekomsten av komplexa tal i ett algebraiskt uttryck som tar värdet kan endast inträffa på grund av extraktion av en jämn gradsrot från negativa tal . För att förenkla hanteringen av tvetydigheten hos rötterna i komplexa tal, används olika metoder för att indikera vilken av rötterna som är nödvändig för att erhålla ett givet tal: till exempel numreras komplexa rötter av enhet , som är viktiga konstanter, uttryckligen i moturs ordning. på det vanliga komplexa planet , med början från själva enheten. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
Ett element i ett fält sägs kunna uttryckas i gradradikaler över ett delfält av fältet om något algebraiskt uttryck med tal från , vars värde är lika med , av möjliga rötter endast innehåller gradrötter . I synnerhet när ett tal kallas uttryckbart i kvadratradikaler och när det uttrycks i kubiska radikaler . Kombinationer är också möjliga: till exempel är siffrorna och uttryckbara i kvadratiska och kubiska radikaler över fältet för rationella tal . Definitionen, som inte går utöver räckvidden för det vanliga formspråket , har följande form: ett fältelement sägs vara uttryckbart i grad radikaler över ett fältunderfält om det är uttryckbart i radikaler över ett fält och alla involverade i definition av radikal uttryckbarhet för givna ovan är lika [1] . $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $a$ $n$ $n=2$ $a$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $a$ $n$
Ett tal som kan uttryckas i reella kvadratradikaler kallas reell constructible [2] .
Låt vara ett fält . Då kallas fältet [nb 2] , där och , en radikal förlängning av fältet [3] . Således, i kedjan av fält som konstruerats ovan, är varje nästa en radikal förlängning av den föregående. I fallet kallas det angivna fältet en kvadratisk förlängning av fältet , det vill säga talet uttryckt i kvadratradikaler hör till nästa fält i kedjan av kvadratiska förlängningar av det ursprungliga delfältet [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $i K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $n=2$ $K$
Ett antal uttryckbart i radikaler kallas uttryckbart i radikaler $n$ , om bland alla algebraiska uttryck som är lika med det, det minsta antalet rötter i dem är [5] . $n$

Exempel

Siffran kan uttryckas i verkliga kvadratradikaler , det vill säga det är verkligt konstruerbart . Samtidigt är det uttryckbart i reella radikaler av vilken grad som helst av formen , där är ett naturligt tal, eftersom . ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
Antalet tycks också vid första anblicken endast kunna uttryckas i radikaler av vilken grad av form som helst , men i själva verket är det uttryckbart i radikaler av vilken grad och av vilket slag som helst , eftersom för alla . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $n$
Det är inte alltid möjligt att omedelbart fastställa ett sådant minimum att antalet i fråga är uttryckbart i termer av radikaler , eftersom antalet som kan uttryckas i termer av två kvadratradikaler faktiskt är lika och kan uttryckas i termer av en kvadratradikal . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288))))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
För fler liknande exempel, se artikeln kapslade radikaler .
Antalet kan uttryckas i radikaler över fältets delfält , eftersom den enda roten av en jämn grad i detta algebraiska uttryck extraheras från ett icke-negativt tal , men är inte uttryckbart i reella radikaler , eftersom . Till skillnad från de föregående styckena kan vi i det här fallet tala om den negativa egenskapen för det aktuella talet på grundval av dess specifika notation, eftersom, om vi antar att det är uttryckbart i reella radikaler , skulle vi lätt få ett algebraiskt uttryck för , vilket gör existerar inte på grund av överskridandet av dessa siffror (se avsnittet Allmänna egenskaper ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Förklaringar

Uttryckbarhet i radikaler med avseende på ett reellt tal, utan andra kvalifikationer i litteraturen, betyder vanligtvis uttryckbarhet i komplexa radikaler .

För funktioner , polynom och ekvationer

Primära definitioner

Standarddefinition

En funktion som tar värden i ett fält och beror på ett visst antal parametrar sägs kunna uttryckas i radikaler över ett underfält av fältet om det finns ett algebraiskt uttryck som endast innehåller fältets element och de angivna parametrarna som siffror, vars värde sammanfaller med värdet för eventuella tillåtna värden för dessa parametrar [6] . $f$ $F$ $G$ $F$ $G$ $f$

Definition utan hänvisning till matematikens formella språk

Låt vara ett underfält av fältet . Betrakta en sådan finit kedja av kapslade fält , vars element är funktioner från (möjligen, utan flera punkter för att undvika division med noll) till , som består av alla rationella funktioner över , och [nb 3] för alla från till , där är en sådan kontinuerlig funktion på , att för vissa naturliga funktionen tillhör . En funktion sägs vara uttryckbar i radikaler över ett delfält av fältet om det för vissa finns sådana samlingar för det och , att . $G$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $i$ $ett$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ ${\displaystyle f\in K_{s))$

Andra definitioner

En funktion med flera värden kallas radikal- uttryckbar över ett underfält om alla envärdiga funktioner som extraheras från den också är uttryckbara i radikaler över ett underfält . $f$ $G$ $G$
Ett polynom i en variabel, beroende på ett visst antal parametrar (som bestämmer några av dess koefficienter), kallas lösbart i radikaler , om en kontinuerlig och, möjligen, flervärdig funktion kan uttryckas i radikaler , som matchar uppsättningen parametervärden u200b\u200b med motsvarande uppsättning polynomrötter .
En algebraisk ekvation kallas lösbar i radikaler om vi i radikaler kan lösa ett polynom som är lika med noll i denna ekvation [4] [7] .
Funktioner och polynom är föremål för alla restriktioner för definitionen av uttryckbarhet och upplösningsförmåga i radikaler , respektive, som anges ovan . Till exempel kan en funktion definierad som på hela den reella linjen uttrycks i kvadratiska komplexa radikaler . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Exempel

En funktion med flera värden , kan uttryckas i radikaler , eftersom alla sex envärdiga funktioner som extraheras från den uppfyller villkoret , där är ett algebraiskt uttryck som endast använder en variabel som fungerar som ett argument för funktionen, och komplexa tal. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
Polynomet är lösbart i komplexa kvadratradikaler , eftersom dess rötter för alla ges av funktionen . Detta polynom kan dock endast lösas i reella radikaler under begränsningen att talet tillhör uppsättningen av icke-positiva tal. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $a$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $a$

Förklaringar

I fallet med en komplex funktion utan specifikation av underfältet antas den vanligtvis vara lika med samma uppsättning komplexa tal . $G$ $\mathbb {C}$
Det är viktigt att notera det faktum att uttryckbarheten i en funktions radikaler och uttryckbarheten i radikalerna i bilden av varje element när den används inte är likvärdiga: till exempel kan en funktion som uppfyller det andra villkoret inte vara kontinuerlig , medan detta krav är obligatoriskt för det som uppfyller det första villkoret. $\mathbb {R}$

Allmänna egenskaper

Uppsättningarna av tal som kan uttryckas i radikaler och funktioner som kan uttryckas i radikaler är fält som innehåller de fält över vilka de är uttryckbara i radikaler som underfält.
Alla komplexa tal som kan uttryckas i radikaler är algebraiska , men inte alla algebraiska tal är uttryckbara i radikaler. Det första påståendet följer av de rationella talens algebraiska karaktär och från det faktum att mängden algebraiska tal är ett fält (vid varje steg av övergången från till i definitionen av ett tal som kan uttryckas i radikaler genererar algebraiska tal endast algebraiska tal ). Det andra påståendet följer av följande teorem om förekomsten av en gradekvation med heltalskoefficienter, vars åtminstone en av rötter är outsäglig i radikaler. På liknande sätt är alla funktioner som kan uttryckas i radikaler algebraiska , medan inte alla algebraiska funktioner kan uttryckas i radikaler. Med andra ord innehåller fältet med algebraiska tal fältet med tal som kan uttryckas i radikaler, och fältet för algebraiska funktioner innehåller fältet med funktioner som kan uttryckas i radikaler, men det omvända är inte sant. $G_{i-1}$ $G_{i}$ $5$
Varje funktion som kan uttryckas i radikaler tar upp de tal som kan uttryckas i radikaler, algebraiska tal och transcendentala tal över samma fält till sig själva. Om argumentet för en funktion med flera värden som kan uttryckas i radikaler helt och hållet består av numren för en av dessa mängder, faller bilden också in i den. Men bara de två sista uppsättningarna är alltid helt bilder av sig själva. Du kan få ett tal uttryckbart i radikaler, erhållet genom att tillämpa en funktion som endast kan uttryckas i radikaler på tal som inte kan uttryckas i radikaler, enligt följande: ta ett polynom av grad med heltalskoefficienter, vars rötter inte kan uttryckas i radikaler och vars fria term inte är lika med noll (av satsen Kronecker , som beskrivs nedan, eftersom ett sådant polynom kan vara lämpligt, till exempel, [2] ). Då får en funktion som ges av ett sådant polynom utan en fri term ett lika värde endast i rötterna till detta polynom, vilka är outsägliga i radikaler, medan den fria termen i sig är ett heltal och uppenbarligen kan uttryckas i vilka radikaler som helst. $5$ $x^{5}-4x+2$

Geometriska och trigonometriska satser

Huvudsatsen i teorin om geometriska konstruktioner : om det finns ett längdsegment på planet , konstruerar vi ett längdsegment med en kompass och en linjal om och bara om talet är verkligt konstruerbart (det vill säga det kan uttryckas i kvadratiska reella radikaler) [2] [1] [8] [9] . Detta innebär omöjligheten att kvadrera cirkeln och dubbla kuben med en kompass och en linjal, eftersom som ett resultat icke-konstruerbara reella tal och respektive [1] kommer att erhållas . $ett$ $x$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
I en mer allmän form låter satsen ovan så här: för givna längdsegment kan ett längdsegment konstrueras med en kompass och en linjal om och endast om [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n))$ $a$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots,a_{n})$
Gauss sats : Ett tal är verkligt konstruerbart om och endast om , där alla är parvis distinkta Fermat primtal . Av denna sats, i synnerhet, följer att talet inte är reellt konstruerbart, det vill säga det är omöjligt att rita en tresektion av vinkeln med en kompass och en linjal , och därmed en godtycklig vinkel [2] [1] . På liknande sätt bevisas omöjligheten att dela upp en godtycklig vinkel i ett antal lika delar som inte är en potens av två - om en sådan uppdelning var möjlig, skulle det vara möjligt att konstruera vinklar av formen , vilket endast är möjligt för . ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $pi}$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )))$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2))))$ ${\displaystyle a=2^{k))$

En lista över algebraiska uttryck för trigonometriska funktioner för vissa vinklar ges i artikeln Trigonometriska konstanter . Ett sidoresultat av den övervägda satsen är att värdena för trigonometriska funktioner i en vinkel som är ett heltal av grader uttrycks i radikaler om och endast om detta tal är delbart med .

3

Gauss-Wanzels sats följer också omedelbart av Gauss sats ovan och säger att en regelbunden -gon kan konstrueras med en kompass och en rätlinje om och endast om, där allaär parvis distinkta Fermat-primtal , det vill säga om och endast om cosinus dess centrala vinkel likamed , vi konstruerar reella [2] [9] [4] . $n$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $pi}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
Trots ovanstående fakta, cosinus för varje vinkel som är en multipel av , kan vi uttrycka i komplexa radikaler, eftersom , där är den andra roten av enhet i standardnumreringen efter själva enheten, och talet uttrycks genom eller med hjälp av Chebyshev polynom . Men även i fall där cosinus för en given vinkel endast kan uttryckas i komplexa radikaler av godtycklig grad, men inte i kvadratiska reella, är den minsta graden av radikaler för motsvarande uttryck inte nödvändigtvis lika med : till exempel , att är att detta nummer kan uttryckas i kvadratiska och kubiska radikaler (i detta fall för att få det korrekta värdet bland de möjliga nio, bör man ta värdena för kubrötter med den största reella delen). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\ frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ ${\displaystyle u_{2))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\höger)$

Funktionssatser _

Galois-gruppen av en funktion uttryckt i komplexa radikaler är lösbar [6] . (I detta fall betyder "Galois-gruppen av en funktion" gruppen av permutationer av ark av Riemann-ytan av en funktion som genereras av ringpermutationer runt grenpunkterna på denna yta.)
Derivatan av en funktion uttryckt i radikaler uttrycks också i radikaler, eftersom derivatorna av alla aritmetiska operationer tillåtna i algebraiska uttryck som tillämpas på funktioner är algebraiska uttryck som endast använder värdena för dessa funktioner och, i fallet med roten , dess grad, som variabler:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Det omvända är dock inte sant: till exempel är derivatorna av inversa trigonometriska funktioner uttryckbara i radikaler över , medan de inversa trigonometriska funktionerna i sig är transcendentala funktioner , det vill säga de är inte algebraiska (och alla funktioner som kan uttryckas i radikaler, som nämnts) ovan , är algebraisk): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Polynomsatser _

Ett polynom är lösligt i radikaler om och endast om dess Galois-grupp är allmänt löslig [10] .
Kroneckers teorem : åtminstone en av rötterna till en ekvation av primegrad irreducible i rationella tal med heltalskoefficienter kan uttryckas i radikaler som ett tal endast om bland dem exakt en eller exakt reell [2] [3] . Från detta, genom att konstruera ett irreducerbart gradpolynom med heltalskoefficienter och tre reella rötter (ett exempel på ett sådant polynom kan tjäna ), härleds ett specialfall av följande sats för fältet av rationella tal omedelbart : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Abel-Ruffini-satsen , som säger att ekvationer av vilken grad som helst inte mindre än, med heltalskoefficienter, inte är lösbara i radikaler i allmän form (det vill säga näralla deras koefficienter är parametriserade ). $5$
Emellertid är ekvationer med heltalskoefficienter av grad upp till och med lösbara (se Linjärekvation , Andragradsekvation , Kubikekvation , Ekvation av fjärde graden ). Samtidigt är linjära ekvationer lösbara utan användning av radikaler, kvadratiska - endast med användning av kvadratradikaler (och med verkliga rötter också verkliga), kubiska och fjärde graden - endast med användning av verkliga kvadratiska och komplexa kubiska radikaler [2] [5] . Dessutom, som kan ses av formlerna för att lösa alla dessa ekvationer (för och potenser, se Cardanos formel och Ferraris formel ), är de lösbara även över fältet rationella tal . $fyra$ $3$ $fyra$

Formler för att lösa gradersekvationer , ,

ett

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
En av lösningarna till ekvationen är , var och (du bör ta sådana värden av kubrötter så att antalet är lika med deras produkt). Genom att ta ut en faktor med denna rot omvandlas kubikekvationen till produkten av en linjär och en andragradsekvation, för vilka lösningarna ges ovan. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

Fullständig formel för en av lösningarna i gradekvationen

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Formler för examen i full form är för krångliga. $fyra$

En smalare klass av ekvationer, kallade ömsesidiga ekvationer , är lösbara i radikaler upp till och med graden. Återkommande polynom av udda grad har formen och representeras som produkten av en parentes och någon återkommande ekvation av jämn grad, och det i sin tur ser ut så här: grad . Enligt ovanstående Abel-Ruffini-sats är en sådan ekvation lösbar i radikaler upp till , därför är den reciproka ekvationen lösbar i radikaler upp till graden [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
Det är också lätt att verifiera genom induktion på att polynom av formen , där är polynom av högst grad , är lösbara i radikaler i den allmänna formen . Ett specialfall av formen , där är ett polynom av grad, kallas en biquadratic ekvation och skrivs i formen , har fyra rötter lika med . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n))$ $fyra$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Låta vara ett irreducibelt polynom över fältet , och vara dess nedbrytningsfält . Ett polynom är lösbart i kvadratiska radikaler om och endast om (det vill säga dimensionen som ett linjärt utrymme över ett fält är lika med för vissa naturliga ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

Ursprunget till termen

Med " radikaler " i alla betraktade fraser menar vi de matematiska rötterna av en heltalsgrad - detta ord kommer från det latinska ordet "radix" , som bland annat har samma betydelse. Eftersom operationerna addition och multiplikation , tillsammans med deras inverser, också tillåtna i algebraiska uttryck , är formellt definierade före exponentiering, och därav roten, är det roten, som den "extremsta" tillåtna operationen, som visas i namnet på fast egendom.

Fotnoter

↑ Här betecknar posten den minsta fälttillägget som innehåller elementet , det vill säga skärningspunkten mellan alla tillägg som innehåller det . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Här betecknar posten den minsta fälttillägget som innehåller elementet , det vill säga skärningspunkten mellan alla tillägg som innehåller det . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Här betecknar posten den minsta fälttillägget som innehåller elementet , det vill säga skärningspunkten mellan alla tillägg som innehåller det . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f_{i}$ ${\displaystyle K_{i-1))$

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Separerbara polynom. Galois-grupp. Uttryckbarhet i radikaler. Olösliga konstruktionsproblem." . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 22 september 2018. (obestämd)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Några fler bevis från boken: lösbarhet och olöslighet av ekvationer i radikaler" . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 20 januari 2021. (obestämd)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Abel och hans stora teorem" (Kvant magazine, 2003, januari) . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 20 januari 2022. (obestämd)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra och talteori. Lärobok för pedagogiska institut"
↑ 1 2 "Lösa ekvationer med en radikal" (sommarkonferens i turneringen av städer) . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 20 januari 2022. (obestämd)
↑ 1 2 Alekseev V.B. "Abels sats i problem och lösningar" . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 6 augusti 2020. (obestämd)
↑ Lösa ekvationer i radikaler (interaktiv informations- och konsultmiljö) . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 10 augusti 2016. (obestämd)
↑ A. Adler "Teori om geometriska konstruktioner" (otillgänglig länk) . Hämtad 5 maj 2020. Arkiverad från originalet 27 maj 2020. (obestämd)
↑ 1 2 M. Balandin "Introduktion till konstruktioner med kompass och linjal"
↑ Föreläsning vid Handelshögskolan . Hämtad 17 maj 2020. Arkiverad från originalet 29 mars 2017. (obestämd)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra och analysens början. Ekvationer och ojämlikheter"

Uttryckbarhet i radikaler

För siffror

Primära definitioner

Andra definitioner

Exempel

Förklaringar

För funktioner , polynom och ekvationer

Primära definitioner

Andra definitioner

Exempel

Förklaringar

Allmänna egenskaper

Geometriska och trigonometriska satser

Funktionssatser _

Polynomsatser _

Ursprunget till termen

Fotnoter

Anteckningar

Litteratur