Kapslade radikaler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I algebra är en kapslad radikal en radikal som finns i en annan radikal. Till exempel

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

eller mer komplext exempel

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Värdena för alla kapslade radikaler kallas radikaluttryckbara .

Förenkling av kapslade radikaler

Vissa kapslade radikaler kan förenklas. Till exempel:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

Generellt sett är förenkling ett svårt problem, om det överhuvudtaget är möjligt. Följande formel möjliggör en förenkling när den är rationell: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

Till exempel,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

Särskilt för komplexa tal ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operatörsnamn{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\right),

var

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Oändligt kapslade radikaler

Allmänna bestämmelser

I vissa fall kan oändligt kapslade radikaler vara identiska med något rationellt tal, till exempel uttrycket

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))))))

är lika med 2. För att se detta, låt oss kvadratisera båda sidorna av uttrycket och subtrahera 2:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Uppenbarligen kan det inte vara värdet av den ursprungliga radikalen. $-ett$

Triviala fall

För kvadratrot: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
För grunden till graden $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ var är lösningen av ekvationen . $x$ $x^{n}-bx-a=0$

Icke-triviala fall

Ramanujans formel : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots )))))))))))$

Specialfall

Gyllene snittet : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots ))))))))))$
plastnummer : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Pi-nummer : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Länkar

Weisstein, Eric W. Nested Radicals at Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Square Root på Wolfram MathWorld .
Minska häckningsdjupet för uttryck som involverar kvadratrötter
Förenkla fyrkantsrötter av kvadratrötter