Algebra

Algebra (från arabiska اَلْجَبْرُ ‎ al -jabr "påfyllning" [1] ) är en gren av matematiken som löst kan karakteriseras som en generalisering och förlängning av aritmetik ; i detta avsnitt betecknas siffror och andra matematiska objekt med bokstäver och andra symboler, vilket gör det möjligt att skriva ner och studera deras egenskaper i den mest allmänna formen. Ordet "algebra" används också i allmän algebra i namnen på olika algebraiska system . I en bredare mening förstås algebra som en gren av matematiken som ägnas åt studier av operationer på beståndsdelar i mängder av godtycklig natur, vilket generaliserar de vanliga operationerna för addition och multiplikation av tal [2] .

Klassificering

Algebra som en gren av matematiken inkluderar traditionellt följande kategorier.

Elementär algebra , som studerar egenskaperna hos operationer på reella tal . I den betecknas konstanter och variabler med alfabetiska tecken. Elementär algebra innehåller regler för att transformera algebraiska uttryck och ekvationer med dessa symboler. Undervisas vanligtvis i en skola som kallas algebra [3] .
Allmän algebra , ibland kallad modern algebra eller abstrakt algebra , därmest allmänna algebraiska strukturerna som grupper , ringar och fält axiomatiseras och studeras .
Universal algebra , som studerar egenskaper som är gemensamma för alla algebraiska strukturer (anses som en underavdelning av allmän algebra).
Linjär algebra , som studerar egenskaperna hos vektorrum (inklusive matriser ).
Algebraisk kombinatorik , där abstrakt algebras metoder används för att studera frågor inom kombinatorik .

Elementär algebra

Elementär algebra är en gren av algebra som studerar de mest grundläggande begreppen. Studeras vanligtvis efter att ha lärt sig de grundläggande begreppen aritmetik . I aritmetiken studeras siffror och de enklaste (+, −, ×, ÷) operationerna med dem. I algebra ersätts siffror med variabler ( och så vidare). Detta tillvägagångssätt är användbart eftersom: $a,b,c,x,y$

Låter dig få en allmän uppfattning om aritmetikens lagar (till exempel för alla och ), vilket är det första steget mot en systematisk studie av egenskaperna hos reella tal . $a + b = b + a$ $a$ $b$
Låter dig introducera begreppet "okänt", formulera ekvationer och studera sätt att lösa dem. (Till exempel, "Hitta ett tal x så att " eller, mer allmänt, "Hitta ett tal x så att ". Detta leder till slutsatsen att att hitta värdet på en variabel inte ligger i arten av talen från ekvationen, men i operationer mellan dem.) $3x+1=10$ $ax+b=c$
Låter oss formulera begreppet funktion . (Till exempel, "Om du sålde biljetter kommer din vinst att vara rubel eller , var är en funktion och är ett nummer som funktionen beror på") $x$ $3x-10$ $f(x)=3x-10$ $f$ $x$

Linjär algebra

Linjär algebra är den del av algebra som studerar vektorer, vektorer eller linjära utrymmen, linjära avbildningar och linjära ekvationssystem . Linjär algebra inkluderar också teorin om determinanter , teorin om matriser , teorin om former (till exempel kvadratisk ), teorin om invarianter (delvis), tensorkalkyl (delvis) [4] . Modern linjär algebra fokuserar på studiet av vektorrum [5] .

Linjär , eller vektorutrymme över ett fält är en ordnad fyrdubbling , där $V\vänster(F\höger)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

V

- en icke- tom uppsättning element av godtycklig natur, som kallas vektorer ;

F

- (algebraiskt) fält, vars element kallas skalärer ;

+\colon V\ gånger V\till V

är operationen av vektortillägg, som mappar till varje par av element i mängden det enda elementet i mängden , betecknat med ;

\mathbf {x} ,\mathbf {y}

V

V

\mathbf {x} +\mathbf {y}

\cdot \colon F\ gånger V\till V

är operationen att multiplicera vektorer med skalärer, som associerar varje element i fältet och varje element i mängden med ett enda element i mängden , betecknat med ;

\lambda

\in F

\mathbf {x}

V

V

\lambda \mathbf {x}

dessutom uppfyller de givna operationerna följande axiom - axiomen för ett linjärt (vektor)utrymme:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , för alla ( kommutativitet av addition ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , för alla ( associativitet av addition ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
det finns ett element så att för varje ( förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition ), i synnerhet, det inte är tomt; $\theta \i V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \i V$ $V$
för varje det finns ett element så att ( existensen av ett motsatt element med avseende på addition ). $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( associativitet av multiplikation med en skalär );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( enhetlighet: multiplikation med ett neutralt (genom multiplikation) element i fältet F bevarar en vektor ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivitet av multiplikation med en vektor med avseende på addition av skalärer );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivitet av multiplikation med en skalär med avseende på vektoraddition ).

Euklidiska utrymmen , affina utrymmen , såväl som många andra utrymmen som studerats i geometri , definieras utifrån ett vektorrum. Automorphisms av ett vektorrum över ett fält bildar en grupp under multiplikation som är isomorfisk till gruppen av icke-degenererade kvadratiska matriser , som förbinder linjär algebra med gruppteori , i synnerhet, med teorin om linjära representationer av grupper [5] .

Övergången från n-dimensionella vektorrum som används i linjär algebra till oändligt dimensionella linjära rum återspeglades i vissa delar av funktionell analys [4] . En annan naturlig generalisering är att inte använda ett fält, utan en godtycklig ring . För en modul över en godtycklig ring stämmer inte de grundläggande satserna för linjär algebra. Allmänna egenskaper hos vektorrum över ett fält och moduler över en ring studeras i algebraisk K-teori [5] .

Allmän algebra

Allmän algebra handlar om studier av olika algebraiska system. Den behandlar egenskaperna för operationer på objekt, oavsett objektens faktiska natur [2] . Det inkluderar i första hand teorin om grupper och ringar. Allmänna egenskaper som är karakteristiska för båda typerna av algebraiska system ledde till övervägande av nya algebraiska system: gitter, kategorier, universella algebror, modeller, semigrupper och kvasigrupper. Ordnade och topologiska algebror, partiellt ordnade och topologiska grupper och ringar hör också till den allmänna algebra [6] .

Den exakta gränsen för den allmänna algebra är inte definierad. Det kan också inkludera teorin om fält, ändliga grupper, ändliga dimensionella Lie-algebror [6] .

Gruppteori

En icke-tom uppsättning med en binär operation definierad på den kallas en grupp om följande axiom är sanna: $G$ $*\,\colon G\times G\to G$ $(G*)$

associativitet :; $\forall (a,b,c\in G):(a*b)*c=a*(b*c)$
förekomsten av ett neutralt element : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)$
närvaron av ett inverst element : $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Konceptet med en grupp uppstod som ett resultat av en formell beskrivning av geometriska objekts symmetri och ekvivalens. I Galois-teorin , som gav upphov till begreppet en grupp, används grupper för att beskriva symmetrin hos ekvationer vars rötter är rötterna till någon polynomekvation . Grupper används överallt i matematik och naturvetenskap, ofta för att upptäcka objektens inre symmetri ( automorfismgrupper ). Nästan alla strukturer av allmän algebra är specialfall av grupper.

Ringteori

En ring är en mängd R på vilken två binära operationer ges : + och × (kallas addition och multiplikation ), med följande egenskaper:

$\forall a,b\in R\left(a+b=b+a\right)$ — kommutativitet av addition;
$\förallt a,b,c\i R\vänster(a+(b+c))=((a+b)+c\höger)$ - associativitet av addition;
$\exists 0\in R\;\forall a\in R\left(a+0=0+a=a\right)$ - förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition;
$\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ - förekomsten av det motsatta elementet med avseende på addition;
$\forall a,b,c\in R\;(a\ gånger b)\ gånger c=a\ gånger (b\ gånger c)$ - associativitet av multiplikation (vissa författare kräver inte att detta axiom är uppfyllt [7] )
$\forall a,b,c\in R\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b \times a+c\times a\end{matris}}\right.$ - distributionsförmåga .

Universal algebra

Universal algebra är en speciell gren av allmän algebra som behandlar studiet av egenskaper som är karakteristiska för alla algebraiska system. Ett algebraiskt system är en godtycklig icke-tom uppsättning med en given (möjligen oändlig) uppsättning finita-matrisoperationer på sig och finita-matrisrelationer: , , . Uppsättningen i det här fallet kallas systemets bärare (eller huvuduppsättning), uppsättningen funktionella symboler och predikatsymboler med deras ariteter är dess signatur . Ett system med en tom uppsättning relationer kallas en universell algebra (i ämnets sammanhang - oftare bara en algebra), och med en tom uppsättning operationer - en modell eller system av relationer, ett relationssystem. ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $A$ $\langle F,R,\langle n_{1},\dots n_{i},\dots \rangle ,\langle m_{1}\dots m_{i},\dots \rangle \rangle$

I universella algebratermer, till exempel, är en ring en universell algebra så att algebra är en Abelisk grupp och operationen är vänster och höger distributiv med avseende på . En ring sägs vara associativ om den multiplikativa groupoiden är en halvgrupp . $\left(R,+,\times\right)$ $\left(R,+\right)$ $+$ $\ gånger$

Avsnittet betraktar både riktiga universella algebror och medföljande strukturer: monoiden av alla endomorphisms , gruppen av alla automorphisms , gitter av alla subalgebras och alla kongruenser [8] . $\mathbf {Slut} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} {\mathfrak {A}}$

Universal algebra är i skärningspunkten mellan logik och algebra [6] .

Historisk översikt

Ursprunget till algebra går tillbaka till antiken. Aritmetiska operationer på naturliga tal och bråk - de enklaste algebraiska operationerna - finns i tidiga matematiska texter [3] . Tillbaka 1650 f.Kr. e. Egyptiska skriftlärda kunde lösa abstrakta ekvationer av första graden och de enklaste ekvationerna av andra graden, dessa inkluderar problem 26 och 33 från Rinda-papyrusen och problem 6 från Moskva-papyrusen (de så kallade "aha"-problemen). Det antas att lösningen av problem baserades på regeln om falsk ståndpunkt [9] . Samma regel, dock extremt sällan, användes av babylonierna [10] .

Babyloniska matematiker visste hur man löser andragradsekvationer. De handlade bara om positiva koefficienter och rötter till ekvationen, eftersom de inte kände till negativa tal. Enligt olika rekonstruktioner i Babylon kände de till antingen regeln för summans kvadrat eller regeln för produkten av summan och skillnaden, men metoden för att beräkna roten är helt förenlig med den moderna formeln. Det finns också ekvationer av tredje graden [11] . Dessutom introducerades speciell terminologi i Babylon, sumeriska kilskriftstecken användes för att beteckna det första okända ("längd"), det andra okända ("bredd"), det tredje okända ("djup"), såväl som olika härledda kvantiteter ("fält" som produkter av "längd" och "bredd", "volym" som en produkt av "längd", "bredd" och "djup"), vilket kan betraktas som matematiska symboler, eftersom det akkadiska språket redan användes i vanligt tal . Trots det uppenbara geometriska ursprunget för uppgifterna och termerna användes de abstrakt, i synnerhet ansågs "area" och "längd" vara homogena [10] . För att lösa andragradsekvationer var det nödvändigt att kunna utföra olika identiska algebraiska transformationer, att arbeta med okända storheter. Således identifierades en hel klass av problem, för vars lösning det är nödvändigt att använda algebraiska tekniker [11] .

Efter att inkommensurabiliteten av sidan och diagonalen av en kvadrat upptäcktes, upplevde den grekiska matematiken en kris, vars upplösning underlättades av valet av geometri som bas för matematik och definitionen av algebraiska operationer för geometriska storheter. Geometrisk algebra är föremål för den andra boken av Euklids element , verk av Arkimedes och Apollonius . Med hjälp av segment , rektanglar och parallellepipeder , addition och subtraktion, definierades en produkt (en rektangel byggd på två segment). En sådan representation gjorde det möjligt att bevisa multiplikationens distributiva lag med avseende på addition, identiteten för summans kvadrat. Algebra var ursprungligen baserad på planimetri och anpassad främst för att lösa andragradsekvationer [12] . Samtidigt reduceras de problem som formulerades av pytagoreerna om att fördubbla kuben och treskära vinkeln och att konstruera regelbundna polygoner [13] till algebraiska ekvationer . Lösningen av kubiska ekvationer utvecklades i verk av Archimedes (verken "Om sfären och cylindern" och "Om konoider och sfäroider"), som studerade ekvationen i allmän form . Individuella problem löstes med hjälp av koniska sektioner [14] . $x^{3}+ax+b=0$

En oväntad övergång till algebra baserad på aritmetik inträffade i Diophantus verk , som introducerade bokstavsbeteckningar: han kallade det okända talet "nummer", andra potensen av det okända - "kvadrat", den tredje - "kub", den fjärde - "square-square", den femte - "square-cube", den sjätte - "cube-cube". Han introducerade också notationen för negativa potenser, den fria termen, det negativa talet (eller subtraktionen) och likhetstecknet. Diophantus kände till och använde regeln för att överföra det som subtraheras från en del av en ekvation till en annan och regeln för att reducera lika termer [15] . Genom att utforska ekvationerna för den tredje och fjärde graden använder Diophantus metoder för geometrisk algebra för att hitta en rationell punkt på en kurva, som att rita en tangent vid en rationell punkt i en kurva eller rita en rät linje genom två rationella punkter. På 900-talet översattes Diophantus aritmetik, där han beskrev sina metoder, till arabiska och nådde på 1500-talet Västeuropa, vilket påverkade Fermats och Vietas verk . Diophantus idéer kan också ses i verk av Euler , Jacobi , Poincare och andra matematiker fram till början av 1900-talet. För närvarande hänförs problemen med Diophantus vanligtvis till algebraisk geometri [16] .

2000 år före vår tid löste kinesiska forskare förstagradsekvationer och deras system, samt andragradsekvationer (se Mathematics in Nine Books ). De visste redan negativa och irrationella tal. Eftersom varje tecken på kinesiska står för ett begrepp, fanns det inga förkortningar. På 1200-talet upptäckte kineserna lagen om bildning av binomialkoefficienter, nu känd som " Pascals triangel ". I Europa upptäcktes den bara 250 år senare [17] .

Termen "algebra" är hämtad från den centralasiatiska vetenskapsmannen Al-Khwarizmi " En kort bok om beräkningen av al-jabr och al-muqabala " ( 825 ). Ordet "al-jabr" betydde i detta fall operationen att överföra det subtraherade från en del av ekvationen till en annan och dess bokstavliga betydelse är "påfyllning" [1] .

På 1100-talet kom algebra till Europa. Sedan dess börjar dess snabba utveckling. Metoder för att lösa ekvationer på 3 och 4 grader upptäcktes. Negativa och komplexa tal har blivit utbredda. Det har bevisats att någon ekvation över 4:e graden inte kan lösas på ett algebraiskt sätt.

Fram till andra hälften av 1900-talet var den praktiska tillämpningen av algebra huvudsakligen begränsad till att lösa algebraiska ekvationer och ekvationssystem med flera variabler. Under andra hälften av 1900-talet började den snabba utvecklingen av en rad nya teknikgrenar. Elektroniska datorer , enheter för lagring, bearbetning och överföring av information och övervakningssystem av radartyp dök upp . Utformningen av nya typer av teknik och deras användning är otänkbar utan användning av modern algebra. Så elektroniska datorer är ordnade enligt principen om ändliga automater . Booleska algebrametoder används för att designa elektroniska datorer och elektroniska kretsar . Moderna datorprogrammeringsspråk är baserade på principerna för teorin om algoritmer . Mängdlära används i datorhämtning och informationslagringssystem . Kategoriteori används i mönsterigenkänningsproblem , som definierar semantiken för programmeringsspråk och andra praktiska problem. Kodning och avkodning av information sker med gruppteoretiska metoder . Teorin om återkommande sekvenser används vid drift av radar . Ekonomiska beräkningar är omöjliga utan användning av grafteori . Matematisk modellering använder i stor utsträckning alla grenar av algebra.

Anteckningar

↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematiska termer (Referensbok). Moskva: Högre skola, 1978, s. 6.
↑ 1 2 Algebra // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ 1 2 Vinogradov I. M. Algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ 1 2 Linjär algebra // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Linjär algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Allmän algebra // Mathematical encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ Algebra - artikel från Mathematical Encyclopedia
↑ Vinogradov I. M. Universal Algebra // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 29-30.
↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 42.
↑ 1 2 History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 42-46.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 78-80.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 82-86.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 86-87.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 144-146.
↑ History of mathematics, vol. I, 1970 , sid. 146-150.
↑ M. Ya. Vygodsky "Handbok i elementär matematik"

Litteratur

Matematikens historia: i 3 volymer / redigerad av A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Från gamla tider till början av New Age.
Nikiforovsky V. A. Från historien om algebra under XVI-XVII-talen. - M . : Nauka, 1979. - S. 174-204. — 208 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).

Länkar

Algebra på Curlie Links Directory (dmoz)
Information i början av 1900-talet : Algebra // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Ordböcker och uppslagsverk

Stor dansk
Stor katalanska
Stor norsk
Stor ryss
Brockhaus och Efron
runt världen
Litet Brockhaus och Efron
Britannica (11:e)
Britannica (online)
Treccani
Universalis
Moderna Ukraina

I bibliografiska kataloger
BNE : XX527665 BNF : 119308580 GND : 4001156-2 J9U : 987007293933405171 LCCN : sh85003425 NDL : 00561221 NKC : ph114025

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"