Elementär algebra

Elementär algebra är den äldsta grenen av algebra , som studerar algebraiska uttryck och ekvationer över reella och komplexa tal .

Grundläggande begrepp

I algebra är det vanligt att skriva matematiska uttryck ( formler ) i den mest allmänna formen, ersätta specifika siffror med alfabetiska tecken, på grund av vilket, när man löser problem av samma typ, uppnås den maximala generaliteten av resultatet. Huvudinnehållet i algebra är reglerna för identiska transformationer av formler som är nödvändiga för att lösa ekvationer, analysera beroenden, optimera det studerade systemet och andra praktiska problem [1] .

Förutom bokstäver och siffror använder elementära algebraformler aritmetiska operationer ( addition , subtraktion , multiplikation , division , exponentiering , rotextraktion ) och elementära funktioner ( logaritm , trigonometriska funktioner ). Två formler förbundna med ett likhetstecken kallas en ekvation .

Om ingen operatorsymbol anges mellan två uttryck, antas multiplikation:

ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a ^{2}+b^{2})

Ett exempel på en formel: arean av en triangel uttrycks enligt följande i termer av längden på en av sidorna och längden på höjden sänkt till sidan : $S$ $a$ $h$ $a$

S={1\över 2}ah

Det enklaste algebraiska uttrycket är ett monom som består av en numerisk faktor multiplicerad med ett eller flera alfabetiska tecken [2] . Exempel:

1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w

Algebraiska summor (det vill säga summor och/eller skillnader) av monomial kallas polynom . Uttryck som ser ut som en kvot från att dividera ett polynom med ett annat kallas en algebraisk bråkdel . Operationer med algebraiska bråk liknar operationer med vanliga bråk - att faktorisera täljaren och nämnaren i faktorer, föra flera bråk till en gemensam nämnare, reducera täljaren och nämnaren med en gemensam faktor, etc.

Lagar för elementär algebra

Beräkna värdet på ett uttryck

Ordningen i vilken operationer utförs anges med parentes . Om det inte finns några parenteser, är prioritet, i fallande ordning, nästa.

Exponentiering.
Funktionsberäkning.
Multiplikation och division.
Addition och subtraktion.

Exempel:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
$\sin x^{2}=\sin(x^{2})$
$\sin a+b=(\sin a)+b$

När man beräknar värdet på ett uttryck, istället för alfabetiska tecken, ersätts deras numeriska värden som motsvarar en specifik uppgift. Uppsättningen numeriska värden som uttrycket är vettigt för kallas intervallet av giltiga värden för detta uttryck [3] . Exempel: för ett uttryck är intervallet av giltiga värden alla par där . ${\frac {a+b}{ab}}$ $a,b$ $a\neq b$

Funktionsegenskaper

Kommutativitet (permutationsegenskap) för addition :

a+b=b+a.\

Subtraktion är inversen av addition .
Att subtrahera talet b motsvarar att addera till motsatsen till b :

ab=a+(-b).\

Kommutativitet (permutationsegenskap) för multiplikation :

a\cdot b=b\cdot a\

Division är inversen av multiplikation .
Division med noll är inte möjlig.
Att dividera med b är detsamma som att multiplicera med det reciproka av b :

{a \över b}=a\vänster({1 \över b}\höger).

Exponentiering är inte kommutativ. Därför har den två omvända operationer: extrahera roten och ta logaritmen .
- Exempel: if , then If , then $3^{x}=10$ $x=\log _{3}10.$ $x^{2}=10$ $x=\pm {\sqrt {10}}.$
Det finns ingen jämn rot av ett negativt tal (bland reella tal). Se komplexa tal .
Associativ (associativ) egenskap för addition: $(a+b)+c=a+(b+c).$
Associativ (associativ) egenskap för multiplikation: $(ab)c=a(bc).$
Distributiv (distributiv) egenskap för multiplikation: $c(a+b)=ca+cb.$
Distributiv (distributiv) egenskap för exponentiering: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}.$
Lägga till exponenter: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
Multiplikation av exponenter: $(a^{b})^{c}=a^{bc}.$

Equality Properties

Om och , då ( jämlikhetens transitivitet ). $a=b$ $b=c$ $a=c$
$a=a$ ( reflexivitet ).
Om , då ( symmetrisk ). $a=b$ $b=a$

Andra lagar

Om och , då ( tillsats av jämlikhet) $a=b$ $c=d$ $a+c=b+d.$
- Om , då för någon
c $a=b$ $a+c=b+c$

Om och , då = ( multiplikativitet av jämlikhet )

a=b

c=d

ac

bd.

Om , då för någon

a=b

ac=bc

Om värdena för två tecken är desamma, kan du istället för en ersätta den andra (substitutionsprincipen).

Om och , då ( beställningens transitivitet ).

a>b

b>c

a>c

Om , då för någon c .

a>b

a+c>b+c

Om och då

a>b

c>0

ac>bc.

Om och då

a>b

c<0

ac<bc.

Vissa algebraiska identiteter

(a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(ab)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(ab)^{3}=a^{3} -3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(ab) (a^{2}+ab+b^{2})

Lösa ekvationer

En ekvation är en likhet av formen:

f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )

Lösningen av ekvationen är uppgiften att hitta sådana värden av okända variabler för vilka denna likhet uppnås. Ytterligare villkor (heltal, reell, etc.) kan ställas på de möjliga värdena för variabler. Att lösa ekvationer är ett av huvudproblemen inom algebra och matematik i allmänhet; under vetenskapens historiska utveckling har många metoder ( algoritmer ) utvecklats för olika varianter av detta problem.

Historisk översikt

För ursprunget till vetenskapens namn, se algebra .

Idén att skriva ner de allmänna egenskaperna hos siffror och beräkningsalgoritmer i ett speciellt symboliskt metaspråk dök upp för länge sedan, men initialt betecknade de alfabetiska symbolerna i ekvationerna endast okända, vars värden borde hittas och för andra termer i ekvationen, specifika numeriska värden skrevs ner. Tanken att det också är användbart för generalitet att beteckna kända storheter ( koefficienter ) med symboler tog sig långsamt fram.

För första gången, så vitt man kan bedöma från de gamla skrifter som har kommit till oss, uppträder ett utvecklat algebraiskt system i Diofantos Aritmetik ( 300-talet ). Det kan knappast betvivlas att han hade föregångare, som Euklid , Arkimedes och andra hade dem, men vi vet ingenting om personerna eller de verk som denna märkliga algebraist kunde lita på. Och han hade inte anhängare förrän på 1400-talet . Men i Europa blev översättningen av "Aritmetik" känd först på 1500-talet , och Diophantus metoder hade en enorm inverkan på Vieta och Fermat .

Aritmetikens huvudproblem är att hitta rationella lösningar på obestämda ekvationer (polynom av godtycklig grad) med rationella koefficienter. Diophantus använder alfabetiska symboler, dock fortfarande bara för okända personer. I introduktionen till aritmetiken antar Diophantus följande beteckningar: han kallar det okända "talet" och betecknar det med bokstaven ξ, det okändas kvadrat med symbolen , etc. Specialsymboler betecknade negativa grader, likhetstecknet och t.o.m. , verkar det, negativa tal (det finns även en regel tecken: minus gånger minus är lika med plus). Allt annat är verbalt. Många algebraregler som vi känner till har formulerats: teckenändring vid överföring till en annan del av ekvationen, reduktion av vanliga termer, etc. $\delta ^{\nu }$

De indiska matematikerna under medeltiden var också långt framme i algebra; deras symbolik är rikare än Diophantus, även om den är något besvärlig (belamrad med ord).

I Europa, i böckerna "Arithmetic" och "On Given Numbers" av Jordan Nemorarius ( XIII-talet ), ses början av symbolisk algebra, för tillfället inte skild från geometrin. Han, liksom Fibonacci , har redan uttryck som " en hästar äter e mått av havre på f dagar." De har dock ännu inte tagit med symbolik i det allmänna presentationsbegreppet.

1400-talets största algebraist, Luca Pacioli , publicerade sin version av algebraisk symbolik, som ännu inte var för allmän och inte alltför bekväm.

En begreppsreform och grundläggande förbättringar av det algebraiska språket introducerades i slutet av 1500-talet av Francois Viet , en advokat till yrket, en matematiker av själens böjelse. Han föreställde sig tydligt det slutliga målet - utvecklingen av en "ny kalkyl", ett slags generaliserad aritmetik. Viet betecknade med bokstäver alla koefficienter (förresten, det var Viet som myntade denna term). Alla problem löses på ett generellt sätt, och först då ges numeriska exempel. Viet fritt tillämpade algebraiska transformationer, förändring av variabler och andra algebraiska tekniker.

Vietas system var allmänt beundrat. Det gjorde det möjligt att beskriva aritmetikens och algoritmernas lagar med tidigare otänkbar generalitet och kompakthet, underlättade och fördjupade studiet av allmänna numeriska lagar. Men symboliken i Vieta var till skillnad från modern, ibland besvärlig, och forskare från olika länder började förbättra den.

Engelsmannen Thomas Harriot , i sitt postumt publicerade (1631) arbete, är redan mycket nära modern symbolik: han betecknar variabler med små bokstäver, och inte med stora bokstäver, som i Vieta, använder likhetstecknet, liksom jämförelsesymbolerna uppfanns av honom ">" och "<" . Ett nästan modernt utseende gavs till algebraisk symbolik av Rene Descartes (mitten av 1600-talet, avhandling " Geometri ").

Resultatet och fullbordandet av denna process var Newtons Universal Arithmetic . Några återstående subtiliteter förfinades av Euler . Bokstäver i algebra förstods dock under lång tid endast som icke-negativa reella tal ; förståelsen att algebraiska lagar och metoder för att lösa ekvationer är tillämpliga på en mängd olika matematiska objekt (med hänsyn till deras särdrag) kom först på 1800-talet.

Se även

Anteckningar

↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 70..
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 73..
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 71..

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan . - M . : Utbildning, 1964. - 376 sid.

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"