Integralekvation

En integralekvation är en funktionsekvation som innehåller en integraltransformation över en okänd funktion. Om integralekvationen också innehåller derivator av en okänd funktion, så talar man om en integro-differentialekvation .

Klassificering av integralekvationer

Linjära integralekvationer

Dessa är integralekvationer där den okända funktionen kommer in linjärt:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

var är den önskade funktionen, , är de kända funktionerna och är parametern. Funktionen kallas kärnan i integralekvationen. Beroende på typen av kärna och fri term kan linjära ekvationer delas in i flera fler typer. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Fredholms ekvationer Fredholms ekvationer av 2:a slaget

Fredholmsekvationerna av 2:a slaget är ekvationer av formen:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Gränserna för integration kan vara antingen ändliga eller oändliga. Variablerna uppfyller olikheten: , och kärnan och den fria termen måste vara kontinuerliga: , eller uppfylla villkoren: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Kärnor som uppfyller det sista villkoret kallas Fredholm . Om på så kallas ekvationen homogen , annars kallas den inhomogen integralekvation . $f(x)\ekvivalent 0$ $[a,\;b]$

Fredholms ekvationer av 1:a slaget

Fredholmsekvationerna av 1:a slaget ser likadana ut som Fredholmsekvationerna av 2:a slaget, bara de har inte en del som innehåller en okänd funktion utanför integralen:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

i detta fall uppfyller kärnan och den fria termen de villkor som formulerats för Fredholmsekvationerna av det andra slaget.

Volterras ekvationer Volterra-ekvationer av 2:a slaget

Volterra-ekvationerna skiljer sig från Fredholm-ekvationerna genom att en av integrationsgränserna i dem är variabel:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

Volterra-ekvationer av första slaget

Dessutom, vad gäller Fredholmsekvationerna, finns det i Volterra-ekvationerna av det första slaget ingen okänd funktion utanför integralen:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

I princip kan Volterra-ekvationerna betraktas som ett specialfall av Fredholm-ekvationerna om kärnan omdefinieras:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {fall}

Vissa egenskaper hos Volterra-ekvationerna kan dock inte appliceras på Fredholmsekvationerna.

Icke-linjära ekvationer

Du kan komma på en otänkbar variation av olinjära ekvationer, så det är inte möjligt att ge dem en fullständig klassificering. Här är bara några av deras typer, som är av stor teoretisk och tillämpad betydelse.

Urysohns ekvationer

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

En konstant är ett positivt tal som inte alltid kan fastställas i förväg. $M$

Hammersteins ekvationer

Hammerstein-ekvationerna är ett viktigt specialfall av Urysohn-ekvationen:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

var är Fredholmskärnan. $K(x,\;s)$

Lyapunov-Lichtenstein-ekvationerna

Det är vanligt att namnge Lyapunov-Lichtenstein-ekvationer som innehåller väsentligen icke-linjära operatorer, till exempel en ekvation av formen:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Icke-linjär Volterra-ekvation

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

där funktionen är kontinuerlig i helheten av dess variabler. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Lösningsmetoder

Innan man överväger några metoder för att lösa integralekvationer, bör det noteras att för dem, såväl som för differentialekvationer , är det inte alltid möjligt att få en exakt analytisk lösning. Valet av lösningsmetod beror på typen av ekvation. Här kommer vi att överväga flera metoder för att lösa linjära integralekvationer.

Laplace transform

Laplace -transformmetoden kan tillämpas på en integralekvation om integralen som ingår i den har formen av en faltning av två funktioner :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

det vill säga när kärnan är en funktion av skillnaden mellan två variabler:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

Till exempel, givet följande ekvation:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Låt oss tillämpa Laplace-transformen på båda sidor av ekvationen:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Genom att tillämpa den omvända Laplace-transformen får vi:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Metod för successiva approximationer

Metoden för successiva approximationer tillämpas på Fredholmsekvationerna av 2:a slaget, om följande villkor är uppfyllt:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Detta villkor är nödvändigt för konvergensen av Liouville-Neumann-serien :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

som är lösningen på ekvationen. -th graden av integraloperatorn : $(K^kf)(x)$ $k$ $(Kf)(x)$

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

En sådan lösning är dock en bra approximation endast för tillräckligt små . $|\lambda|$

Denna metod är också tillämpbar på lösningen av Volterra-ekvationerna av 2:a slaget. I det här fallet konvergerar Liouville-Neumann-serien för alla värden av , och inte bara för små. $|\lambda|$

Resolventmetoden

Resolventmetoden är inte den snabbaste lösningen på Fredholms integralekvation av det andra slaget, men ibland är det omöjligt att ange andra sätt att lösa problemet.

Om vi introducerar följande notation:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

då kommer de upprepade kärnorna i kärnan att vara kärnorna : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

En serie som består av upprepade kärnor,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

kallas kärnans resolvent och är regelbundet konvergent vid , och ovanstående villkor för konvergensen av Liouville-Neumann-serien . Lösningen av integralekvationen representeras av formeln: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

Till exempel för integralekvationen

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

följande kärnor kommer att upprepas:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

och upplösningsmedlet är funktionen

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Då hittas lösningen av ekvationen med formeln:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Metod för reduktion till en algebraisk ekvation

Om kärnan i Fredholms integralekvation är degenererad , det vill säga, kan integralekvationen i sig reduceras till ett system av algebraiska ekvationer . Faktum är att i det här fallet kan ekvationen skrivas om enligt följande: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

var . Genom att multiplicera den tidigare likheten med och integrera den på segmentet kommer vi fram till ett system av algebraiska ekvationer för okända tal : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $x$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

var och är numeriska koefficienter. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Ungefär den här metoden kan användas för att lösa Fredholms integralekvation med vilken kärna som helst, om vi tar segmentet i Taylor-serien för funktionen som en degenererad kärna nära den verkliga . [ett] $K(x,\;s)$

Ersätter integralen med en ändlig summa

Betrakta Fredholms integralekvation av 2:a slaget: , där och har kontinuerliga derivator av önskad ordning, är ett givet tal. Vi använder kvadraturformeln: , där är punkter på segmentet , och koefficienterna beror inte på typen av funktion . Betrakta den ursprungliga ekvationen vid punkterna : . Låt oss ersätta integralen på vänster sida av ekvationen med kvadraturformeln: . Vi får ett linjärt system av algebraiska ekvationer med okända , som är ungefärliga värden på lösningen vid punkter . Som en ungefärlig lösning på den ursprungliga integralekvationen kan man ta funktionen: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Applikationer

Termen "integralekvation" introducerades 1888 av P. Dubois-Reymond , men de första problemen med integralekvationer löstes tidigare. Till exempel löste Fourier 1811 problemet med integral inversion , som nu bär hans namn.

Fourier-inversionsformel

Uppgiften är att hitta en okänd funktion från en känd funktion : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier fick uttrycket för funktionen : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Reduktion av Cauchy-problemet till en integralekvation

Cauchy-problemet för vanliga differentialekvationer leder till olinjära Volterra-integralekvationer :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Den här ekvationen kan faktiskt integreras från till : $t$ $a$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Lösningen av det initiala problemet för linjära differentialekvationer leder till linjära Volterra-integralekvationer av 2:a slaget. Liouville utnyttjade detta redan 1837 . Låt, till exempel, uppgiften är inställd:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x '(a)=0.

För en ekvation med konstanta koefficienter med samma initiala villkor:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

lösningen kan hittas med metoden för variation av konstanter och representeras som:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Sedan visar det sig för den ursprungliga ekvationen:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

är Volterra integralekvationen av 2:a slaget.

Linjär differentialekvation -:e ordningen $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

kan också reduceras till Volterra integralekvationen av 2:a slaget.

Abels problem

Historiskt sett tror man att det första problemet som ledde till behovet av att överväga integralekvationer är Abel-problemet . 1823 kom Abel , medan han generaliserade problemet med tautochrone, till ekvationen:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

var är den givna funktionen och är den som krävs. Denna ekvation är ett specialfall av Volterras linjära integralekvation av första slaget. Abel-ekvationen är intressant genom att formuleringen av ett eller annat specifikt problem inom mekanik eller fysik leder direkt till det (förbi differentialekvationer ). Till exempel leder problemet med att bestämma den potentiella energin från svängningsperioden till en ekvation av denna typ [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Abels formulering av problemet såg ut ungefär så här:

En materialpunkt under inverkan av gravitationen rör sig i ett vertikalt plan längs en viss kurva. Det är nödvändigt att definiera denna kurva så att materialpunkten, efter att ha startat sin rörelse utan initial hastighet vid kurvans punkt med ordinatan , når axeln i tid , där är en given funktion. $(\xi ,\;\eta )$ $x$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Om vi betecknar vinkeln mellan tangenten till banan och axeln som och tillämpar Newtons lagar , kan vi komma till följande ekvation: $O\xi$ $\beta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Anteckningar

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integralekvationer. - M .: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Teoretisk fysik: lärobok. bidrag: För universitet. I 10 vol. T. I. Mechanics .. - 5:e uppl. stereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 sid. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Litteratur

Krasnov M. L. Integralekvationer: Introduktion till teori. — M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovsky I. G. Föreläsningar om partiella differentialekvationer, 3:e uppl. — 1961.
Vasilyeva A. B., Tikhonov N. A. Integralekvationer. - 2:a uppl., stereotyp. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 sid. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Integralekvationer. — M.: Nauka, 1968.

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen