Simpson formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2019; kontroller kräver 19 redigeringar .

Simpson-formeln (även Newton -Simpson [1] ) hänvisar till numeriska integrationstekniker . Den fick sitt namn efter den brittiske matematikern Thomas Simpson (1710-1761).

Kärnan i metoden ligger i approximationen av integranden på segmentet genom ett interpolationspolynom av andra graden , det vill säga approximationen av grafen för funktionen på segmentet med en parabel. Simpsons metod har en felordning på 4 och en algebraisk noggrannhetsordning på 3. $[a,b]$ $p_{2}(x)$

Formel

Simpsons formel är integralen av ett interpolationspolynom av andra graden på ett segment : $[a,b]$

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{{a}}^{{b}}{p_{2}(x)}dx}= {\frac {ba}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},

där , och är värdena för funktionen vid motsvarande punkter (i ändarna av segmentet och i dess mitt). $fa)$ $f((a+b)/2)$ $f(b)$

Noggrannhet

Förutsatt att funktionen på segmentet har en fjärde derivata , är felet , enligt formeln som hittats av Giuseppe Peano , lika med: $f(x)$ $[a,b]$ $E(f)$

E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].

På grund av att värdet ofta är okänt används följande olikhet för att uppskatta felet: $\zeta$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\höger|}.

Representation i form av Runge-Kutta-metoden

Simpsons formel kan representeras som en tabell för Runge-Kutta-metoden enligt följande:

{\begin{array}{c|ccc}0&&&\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&&\\1&-1&2&\\\hline &{\frac { 1}{6}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{6}}\end{array}}

Sammansatt formel (Cotes formel)

För en mer exakt beräkning av integralen delas intervallet in i elementära segment av samma längd och Simpsons formel tillämpas på sammansatta segment. Varje sammansatt segment består av ett angränsande par elementära segment. Värdet på den ursprungliga integralen är summan av integrationsresultaten på de sammansatta segmenten: $[a,b]$ $N=2n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\summa _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\summa _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \höger],

var är stegstorleken och är de alternerande gränserna och mittpunkterna för de sammansatta segmenten på vilka Simpson-formeln tillämpas. Ett liknande sammansatt segment består av två elementära segment . Således, om vi drar paralleller med den enkla Simpson-formeln, blir i det här fallet mitten av segmentet som Simpson-formeln tillämpas på .

h={\frac {ba}{N}}

x_{j}=a+jh

[x_{j-1},x_{j+1}]

[x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]

x_{j}

Vanligtvis, för ett enhetligt rutnät, skrivs denna formel i annan notation (segmentet är uppdelat i segment) i formen

[a,b]

N

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.

Formeln kan också skrivas med endast de kända värdena för funktionen, det vill säga värdena för noderna:

{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\vänster[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\höger]

där betyder att indexet ändras från ett med ett steg lika med två.

k=1,2

Det totala felet under integration över ett segment med ett steg (i detta fall, i synnerhet, , ) bestäms av formeln [2] : $E(f)$ $[a,b]$ $x_{i}-x_{{i-1}}=h$ $x_{0}=a$ $x_{N}=b$

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|

Om det är omöjligt att uppskatta felet med maximivärdet för den fjärde derivatan (det existerar till exempel inte på ett givet intervall eller tenderar till oändlighet), kan en grovare uppskattning användas:

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|

Verifiering av Simpsons sammansatta formel vid integration av smala toppar

Simpsons sammansatta formel misslyckas med feltestet i fallet med smala (litet antal punkter per topp) toppliknande funktioner, och är mycket mindre effektiva [3] än trapetsregeln. För att uppnå samma fel som i fallet med trapetsregeln kräver Simpsons sammansatta regel 1,8 gånger fler poäng. Simpsons sammansatta regelintegral kan dekomponeras till en överlagring av två integraler: 2/3 av trapetsintegralen med steg h och 1/3 av den centrala rektangelregeln med steg 2h, och felet i Simpsons sammansatta regel motsvarar den andra termin. Det är möjligt att konstruera en tillfredsställande modifiering av Simpsons regel genom att medelvärdet av scheman för denna regel erhålls med en förskjutning av summeringsramen med en punkt, och följande regler erhålls [3] :

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ − f ( x − ett ) + 12 f ( x 0 ) + 25 f ( x ett ) + 24 ∑ i = 2 n − 2 f ( x i ) + 25 f ( x n − ett ) + 12 f ( x n ) − f ( x n + ett ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\summa _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\höger]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\summa _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\höger]

där värden används som går utanför gränsen för integrationsintervallet, eller ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ 9 f ( x 0 ) + 28 f ( x ett ) + 23 f ( x 2 ) + 24 ∑ i = 3 n − 3 f ( x i ) + 23 f ( x n − 2 ) + 28 f ( x n − ett ) + 9 f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\summa _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\höger]}

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\summa _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\höger]

där värden utanför integrationsintervallet inte används. Tillämpningen av den andra av reglerna på en sektion med tre poäng genererar Simpsons regel 1/3, till en sektion med 4 poäng - 3/8.

I dessa regler är vikten av poäng inom integrationsintervallet lika med en, skillnader observeras endast i slutet av avsnittet. Dessa regler kan associeras med Euler-Maclaurin-formeln , förutsatt att förstaderivatan tas i beaktande och kallas Euler-Maclaurin-reglerna av första ordningen [3] . Skillnaden mellan reglerna ligger i hur den första derivatan beräknas vid kanterna av integrationsintervallet. Skillnaden mellan de första derivatorna vid kanterna av integrationssektionen tar hänsyn till bidraget från den andra derivatan till funktionens integral. Euler-Maclaurin-formeln kan användas på samma sätt som reglerna av första ordningen ovan för att konstruera integrationsregler av tredje, femte och högre ordningen.

Se även

Anteckningar

↑ Newton-Simpson-formel (otillgänglig länk) . Hämtad 14 augusti 2009. Arkiverad från originalet 22 maj 2010. (obestämd)
↑ Numeriska metoder / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4:e uppl. - M. : BINOM, Laboratory of Knowledge, 2006. - S. 122. - 636 sid. — ISBN 5-94774-396-5 .
↑ 1 2 3 Jämförelse av integrationsregler vid mycket smala kromatografiska toppar // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. — 2018-08-15. — Vol. 179 . — S. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .

Litteratur

Kostomarov DP , Favorskiy AP Introduktionsföreläsningar om numeriska metoder . M.: Logos, 2004. 184 sid. ISBN 5-94010-286-7
Petrov IB , Lobanov AI Föreläsningar om beräkningsmatematik . M.: Intuit, Binom, 2006. 523 sid. ISBN 5-94774-542-9

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler