Ytintegrer

Precis som med kurvlinjära integraler finns det två typer av ytintegraler.

Ytintegral av det första slaget

Definition

Låt vara en slät, avgränsad komplett yta . Låt längre fram ges en funktion . Betrakta en uppdelning av denna yta i delar genom styckvis jämna kurvor och välj en godtycklig punkt på varje sådan del . Efter att ha beräknat värdet på funktionen vid denna tidpunkt och, ta för ytan , överväg summan $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\summa _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Då kallas antalet summors gräns , if $jag$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Gränsen för summor vid kallas ytintegralen av den första typen av en funktion över ytan och betecknas enligt följande: $jag$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\to 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Parametrisk form

Låt det vara möjligt att införa en enhetlig parametrisering på ytan med hjälp av funktionerna $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

ges i ett avgränsat slutet område av planet och tillhör en klass i denna region. Om funktionen är kontinuerlig på ytan , så existerar ytintegralen för den första typen av denna funktion över ytan och kan beräknas med formeln $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

var:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Egenskaper

Av definitionen av en ytintegral av det första slaget följer att denna integral är oberoende av valet av orientering av vektorfältet av enhetsnormaler till ytan eller, som man säger, av valet av sidan av ytan. Låt funktionerna och vara integrerade över domäner . Sedan: $f$ $g$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Linjäritet: för alla reella tal . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Additivitet : förutsatt att och inte har några gemensamma inre punkter . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotoni :
- om , då ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi}g\,d\sigma$
- för , om , då . $f \geqslant 0$ ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2))$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
Medelvärdessatsen för en kontinuerlig funktion och en sluten avgränsad yta : $f$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi}d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$ , var och är området i regionen . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi)$ $\Phi$

Ytintegral av det andra slaget

Definition

Tänk på en tvåsidig yta , slät eller slät i bitar, och fixera en av dess två sidor, vilket motsvarar att välja en viss orientering på ytan. $\Phi$

För visshetens skull antar vi först att ytan ges av en explicit ekvation, och att punkten ändras i ett område på planet som begränsas av en bitvis slät kontur. $z=z(x,y)$ $(x, y)$ $(D)$ $xy$

Låt nu någon funktion definieras vid punkterna på den givna ytan . Efter att ha delat ytan med ett nätverk av bitvis jämna kurvor i delar och valt en punkt på varje sådan del , beräknar vi värdet på funktionen vid en given punkt och multiplicerar det med arean av projektionen på elementplanet , utrustad med ett visst tecken. Låt oss göra en hel summa $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $xy$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\summa _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Den slutliga gränsen för denna integralsumma eftersom diametrarna för alla delar tenderar att vara noll kallas ytintegralen för den andra typen av

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

utsträckt till den valda sidan av ytan och betecknad med symbolen $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi}f(x,y,z)\,dx\,dy

(här påminner det om området för projektionen av ett ytelement på ett plan ). $dx\,dy$ $xy$

Om vi istället för ett plan projicerar ytelementen på ett plan eller , får vi två andra ytintegraler av den andra typen: $xy$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz

eller

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.

I applikationer är de vanligaste kombinationerna av integraler av alla dessa typer:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

var är funktionerna för , definierade vid punkterna på ytan . $P,Q,R$ $(x,y,z)$ $\Phi$

Förhållandet mellan ytintegraler av andra och första slaget

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,

där är enhetens normalvektor för ytan , är ort. $\nu$ $\Sigma$ $i$

Egenskaper

Linjäritet: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi}f\,dx\,dy+\beta \iint \ gränser _{\Phi }g\,dx\,dy$
Additivitet: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
När ytorienteringen ändras ändrar ytintegralen tecken.

Se även

Litteratur

Fikhtengolts, G. M. Kapitel 17. Ytintegraler // [Differential- och integralkalkylens kurs]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 5. Ytintegraler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 2. - (Kurs i högre matematik och matematisk fysik).

Länkar

The World of Mathematical Equations Arkiverad 21 november 2019 på Wayback Machine .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph124123

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler