Stokes teorem

Stokes sats är en av de viktigaste satserna för differentialgeometri och matematisk analys om integrationen av differentialformer , som generaliserar flera analyssatser . Uppkallad efter J. G. Stokes .

Formulering

Låt ett positivt orienterat avgränsat -dimensionellt delrör ( ) och en differentiell form av klassens grad ges på ett orienterbart dimensionsgrenrör . Sedan om gränsen för undergrenröret är positivt orienterad, då $M$ $n$ $sid$ $\sigma$ $1\leqslant p\leqslant n$ $\omega$ $p-1$ $C^1$ $\partiell \sigma$

\int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _({\partial \sigma }}\omega ,

där betecknar formens yttre differential . $d\omega$ $\omega$

Satsen sträcker sig till linjära kombinationer av subvarieteter av samma dimension - de så kallade kedjorna . I det här fallet inser Stokes-formeln dualiteten mellan de Rham-kohomologi och mångfaldig cykelhomologi . $M$

Specialfall

Newton-Leibniz formel

Låt det ges en kurva ( endimensionell kedja ) orienterad från punkt till punkt i ett mångfald av godtycklig dimension. Nollgradsformen för en klass är en differentierbar funktion . Då skrivs Stokes formel som $l$ $a$ $b$ $\omega$ $C^1$ $f$

\int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a ).

Greens teorem

Kallas ibland för Green-Riemann-satsen. Låt vara planet , och vara en del av dess positivt orienterade avgränsade domän med en bitvis jämn Jordan - gräns. Låt formen av den första graden skrivas i koordinater och vara uttrycket. Sedan, för integralen av denna form längs den positivt orienterade (moturs) gränsen för domänen , $M$ $D$ $x$ $y,$ $L\,dx+M\,dy.$ $D$

\ \int \limits _{\partial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{ \partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

Härledning från Stokes sats

När vi definierar differentialformen finner vi dess externa differential : $\omega =L\,dx+M\,dy$

d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x))\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y))\,dy\right)\wedge dx+\left( {\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.

Med hänsyn till det och : $dx\wedge dx=0$ $dy\wedge dy=0$

d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y))\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y }}\,dy\wedge dx}}}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}} -{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Härifrån använder du Stokes sats:

\int \limits _{{\partial D}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\ frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

■

Ett oberoende bevis på Greens formel ges i hennes huvudartikel.

Kelvin-Stokes formel

Benämns ofta enkelt som Stokes formel. Låta vara en bitvis slät yta ( ) i tredimensionellt euklidiskt utrymme ( ), vara ett differentierbart vektorfält . Då är vektorfältets cirkulation längs den slutna konturen lika med flödet av fältets rotor (virvel) genom ytan som begränsas av konturen: $\Sigma$ $p=2$ $n=3$ $\mathbf {F}$ $\partiell \Sigma$ $\Sigma$

\int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

eller i koordinerad notation:

\iint \limits _{{\Sigma }}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\ ,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac { \partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\partial \Sigma }}P\ ,dx+Q\,dy+R\,dz.

Ofta skrivs en sluten slinga integral på höger sida.

Härledning från Stokes sats

Tänk på differentialformen . Använd sedan differentialegenskapen för differentialformen : $\omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ $d(\omega _{F}^{1})=\omega _{({\mathrm {rot}}\,F}}^{2}$

d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y))-{\frac {\partial Q}{\partial z))\right)\,dy\wedge dz+\left({\ frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Härifrån använder du Stokes sats:

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y))-{\frac {\partial Q}{\partial z))\right)\,dy\,dz+ \left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\partial \Sigma }}P\,dx +Q\,dy+R\,dz.

■

Bevis med Greens formel

Låt . Sedan $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))$

$\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\int _{\alpha }^{\beta }((\mathbf {a} (\mathbf { r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t) ))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.$

Härifrån får vi med hjälp av Greens formel $\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u)) {(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\partial }{\partial v)){(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u} )}\right]dudv={}$

${}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\ iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}} y_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv$ ${}=\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r} _{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,$ vilket, per definition av en virvel , är den erforderliga kvantiteten:

$\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u }} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operatörsnamn {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operatörsnamn {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.$ ■

Ostrogradsky-Gauss formel

Låt nu vara en bitvis jämn hyperyta ( ) som avgränsar något område i -dimensionellt rum. Då är fältdivergensintegralen över regionen lika med fältflödet genom regiongränsen : $\partiell V$ $p=n-1$ $V$ $n$ $\partiell V$

\int \limits _{V}{\mathrm {div}}\,{\mathbf {F}}\,dV=\int \limits _{{\partial V}}{\mathbf {F}}\cdot d {\mathbf {\Sigma }}.

I tredimensionellt rum med koordinater motsvarar detta att skriva: $(n=3)$ $\{x,y,z\}$

\ \int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\ partiell x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dV

eller

\iint \limits _{{\partial V}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

Härledning från Stokes sats

Tänk på differentialformen . Använd sedan differentialegenskapen för differentialformen : $\omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy$ $d(\omega _{F}^{2})=\omega _{({\mathrm {div}}\,F}}^{3}$

d\omega =\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z} }\right)\,dx\wedge dy\wedge dz.

Härifrån använder du Stokes sats:

\iint \limits _{{\partial V}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x))+{\frac {\partial Q}{\partial y))+{\frac {\partial R}{\partial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

■

Litteratur

Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl - T. 3
Arnold V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics (djvu) (otillgänglig länk) (otillgänglig länk från 2013-05-18 [3449 dagar] - historia )
Cartan A. Differentialkalkyl. differentiella former. — M.: Mir, 1971.

Stokes teorem

Formulering

Specialfall

Newton-Leibniz formel

Greens teorem

Kelvin-Stokes formel

Ostrogradsky-Gauss formel

Litteratur

Se även