Differentialgeometri

Differentialgeometri  är en gren av matematiken som studerar släta grenrör , vanligtvis med ytterligare strukturer. De har många tillämpningar inom fysik , särskilt inom allmän relativitetsteori .

Huvudundersektioner av differentialgeometri:

• differentialgeometri för kurvor ,
• differentialgeometri för ytor ,
• Riemannsk geometri ,
• pseudo-riemannsk geometri ,
• komplex geometri ,
• symplektisk geometri ,
• ytteori ,
• Finsler geometri .

Ofta behandlas differentialgeometri som en odelbar sektion tillsammans med differentiell topologi . Skillnaderna mellan dessa sektioner kan vara närvaron eller frånvaron av ytterligare strukturer på ett jämnt grenrör, men kan också vara närvaron eller frånvaron av lokala invarianter: i differentiell topologi anses strukturer på grenrören vara sådana att vilket par av punkter som helst kan ha identiska kvarter , medan det i differentialgeometri generellt sett kan finnas lokala invarianter (som krökning ) som kan skilja sig åt i punkter. Till exempel har den symplektiska strukturen inga sådana invarianter, och tillsammans med den symplektiska geometrin beaktas " symplektisk topologi ".

Matematisk ämnesklassificering tilldelar en toppnivåsektion för differentialgeometri 53och tilldelar differentialtopologi som ett andranivåblock 57Rxxi avsnittet "Manifolds and cell complexes".

Historik

Differentialgeometri uppstod och utvecklades i nära anslutning till matematisk analys , som själv till stor del växte fram ur geometrins problem. Många geometriska begrepp föregick motsvarande analysbegrepp. Så till exempel föregick begreppet tangent begreppet en derivata , begreppet area och volym - begreppet en integral .

Uppkomsten av differentialgeometri går tillbaka till 1700-talet och förknippas med namnen Euler och Monge . Det första sammanfattande arbetet om teorin om ytor skrevs av Monge ("Application of Analysis to Geometry", 1795 ). 1827 publicerade Gauss sin General Study on Curved Surfaces, där han lade grunden för teorin om ytor i dess moderna form. Sedan dess har differentialgeometri upphört att bara vara en tillämpning av analys och har tagit en självständig plats i matematiken.

En stor roll i utvecklingen av all geometri, inklusive differentialgeometri, spelades av upptäckten av icke-euklidisk geometri . Riemann lade i sin föreläsning "Om hypoteserna som ligger till grund för geometrins grunder" ( 1854 ) grunden till Riemannsk geometri , den mest utvecklade delen av modern differentialgeometri.

Kleins gruppteoretiska synpunkt , som anges i hans " Erlangen Program " ( 1872 ), det vill säga: geometri - studiet av invarianter av transformationsgrupper, som tillämpas på differentialgeometri, utvecklades av Cartan , som byggde teorin om rum av projektiv koppling och affin förbindelse .

Differentiell topologi är en mycket yngre gren av matematiken: den började utvecklas först i början av 1900-talet.

Litteratur

• Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar. - M. : Nauka, 1986. - 760 sid.
• Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurs i differentialgeometri och topologi. - M. : MGU, 1980. - 439 sid.
• J. Schwartz Differentialgeometri och topologi. -M .: Mir, 1970. - 223 sid.
• Veblen O. , Whitehead J. Differentialgeometrins grunder = Differentialgeometrins grunder / Per. från engelska. M. G. Freidina. — M. : IL, 1949. — 230 sid.
• Hussein-Zade S. M. Föreläsningar om differentialgeometri . - M. : MGU, 2001. - 54 sid.
• Egorov D. F. Arbetar med differentialgeometri . - M. : Nauka, 1970. - 380 sid.
• Nomizu K. Liegrupper och differentialgeometri = Lie Groups and Differential Geometry / Per. från engelska. Yu. A. Shub-Sizonenko. - M. : IL, 1960. - 128 sid.
• Pogorelov AI Differentialgeometri . - 6:e uppl. - M . : Nauka, 1974. - 176 sid.
• Rashevsky PK En kurs i differentialgeometri . - 3:e uppl. - M. - L. : GITTL, 1950. - 428 sid.
• Rozendorn E.R. Problem i differentialgeometri . - M. : Nauka, 1971. - 64 sid.
• Sternberg S. Lectures on Differential Geometry = Lectures on Differential Geometry / Per. från engelska. D.V. Alekseevsky. - M . : Mir, 1970. - 412 sid.
• Troitsky EV Differentialgeometri och topologi . - M. : MGU, 2003. - 52 sid.
• Finikov S.P. Differentialgeometri. Föreläsningskurs . - M. : MGU, 1961. - 158 sid.
• Finikov S. P. Projektiv-differentialgeometri . - M. - L. : ONTI, 1937. - 264 sid.
• Skopenkov A. Grunderna för differentialgeometri i intressanta problem . — M. : MTsNMO, 2008.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss runt världen Britannica (online) Moderna Ukraina
I bibliografiska kataloger BNF : 133188233 GND : 4012248-7 J9U : 987007565328605171 LCCN : sh85054146 NDL : 00560656 NKC : ph119440